Lektion 05

Quadratische Funktionen II

abc-Formel, Diskriminante, Schnittpunkte mit Geraden

Prüfungsrelevantca. 40 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

Zwei Schnittpunkte mit der x-Achse: Diskriminante $D > 0$ .

Nach dieser Lektion

Du löst $a x^{2} + b x + c = 0$ sicher mit der abc-Formel.
Du entscheidest mit der Diskriminante, wie viele Lösungen es gibt.
Du berechnest Schnittpunkte von Parabel und Gerade.

An der Prüfung: Nullstellen und Schnittpunkte sind das Handwerk hinter Flächenberechnungen und Kurvendiskussionen.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

Grün: Nullstellen. $D = b^{2} - 4 a c$ zählt sie: zwei bei $D > 0$ , eine bei $D = 0$ , sonst keine.

Scheitelpunktform: $y = 0, 5 (x + 2)^{2} - 4, 5$

Öffnungsfaktor

a

Faktor

b

Konstante

c

true

$x_{S}$

−2

$y_{S}$

−4,5

$D = b^{2} - 4 a c$

$Nullstellen$

Scheitelpunktform: $y = 0, 5 (x + 2)^{2} - 4, 5$
Nach oben geöffnet, breiter als die Normalparabel $y = x^{2}$ . Der Scheitel ist der tiefste Punkt.
$D = 9 > 0$ : zwei Nullstellen, $x_{1} = - 5$ und $x_{2} = 1$ .
Abstand von $x_{1}$ zu $x_{2}$ : $D : ∣ a ∣ = 6$ .

Grün: Nullstellen. $D = b^{2} - 4 a c$ zählt sie: zwei bei $D > 0$ , eine bei $D = 0$ , sonst keine.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Stell $D = 0$ ein: Die Parabel berührt die x-Achse.
(offen)
Finde $a$ , $b$ , $c$ mit $D < 0$ und dem Scheitel über der x-Achse.
(offen)
Stell zwei Nullstellen mit Abstand 4 ein.
(offen)

Entdecke:

Schieb $c$ langsam nach oben und beobachte $D$ : Bei welchem Vorzeichen verschwinden die Nullstellen?

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Die abc-Formel

x_{1, 2} = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

Zuerst auf die Form $a x^{2} + b x + c = 0$ bringen.
$b$ mit Vorzeichen einsetzen: $b = - 7$ gibt $- b = 7$ .

$a x^{2} + b x + c = 0$

MerkeMinus vor

b

nicht vergessen.

x_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 3 )}{2 \cdot 1}

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$ : $a = 1$ , $b = - 2$ , $c = - 3$ .
$b = - 2$ gibt $- b = 2$ : $x = \frac{2 \pm 4}{2}$ .

Die Achse liegt in der Mitte: $x = 1$ .

MerkeMinus vor

b

nicht vergessen.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Die abc-Formel», Schritt 4

2Diskriminante

D = b^{2} - 4 a c

Diskriminante		Nullstellen
$D > 0$	→	$2$
$D = 0$	→	$1$
$D < 0$	→	$0$

$D$ steht unter der Wurzel der abc-Formel.

$D > 0$ : zwei Nullstellen.

Merke

D < 0

: Die Wurzel gibt es nicht.

D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 16

Diskriminante		Nullstellen
$x^{2} - 2 x - 3 : D = 16$	→	$2$
$x^{2} - 2 x + 1 : D = 0$	→	$1$
$x^{2} - 2 x + 4 : D = - 12$	→	$0$

$D = 16$ steht unter der Wurzel: $16 = 4$ .

$x^{2} - 2 x + 4$ : $D = - 12 < 0$ , keine Nullstelle.

Merke

D = - 12 < 0

- 12

gibt es nicht.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Diskriminante», Schritt 4

3Schnell ohne Formel

Gleichung		Weg
$a x^{2} + b x = 0$	→	$x (a x + b) = 0$
$a x^{2} + c = 0$	→	$x = \pm - \frac{c}{a}$
$x^{2} - 5 x + 6 = 0$	→	$(x - 2) (x - 3) = 0$

Fehlt $c$ : ausklammern. Fehlt $b$ : Wurzel ziehen.
Bei $a = 1$ : Summe der Lösungen $= - b$ , Produkt $= c$ .

$a x^{2} + b x = 0$ : $c$ fehlt.

MerkePrüfe zuerst, ob

b

oder

c

fehlt.

Gleichung		Weg
$x^{2} - 4 x = 0$	→	$x (x - 4) = 0$
$2 x^{2} - 8 = 0$	→	$x = \pm 4 = \pm 2$
$x^{2} - 7 x + 10 = 0$	→	$(x - 2) (x - 5) = 0$

$x^{2} - 4 x$ : $c$ fehlt, also $x$ ausklammern.
$x^{2} - 7 x + 10$ : $2 + 5 = 7 = - b$ , $2 \cdot 5 = 10 = c$ .

$x (x - 4) = 0$ , also $x = 0$ oder $x = 4$ .

MerkePrüfe zuerst, ob

b

oder

c

fehlt.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Schnell ohne Formel», Schritt 4

4Parabel und Gerade

Ber u ¨ hren: D = 0

Gleichsetzen, alles auf eine Seite, dann $D$ prüfen.

$D > 0$ : Die Gerade schneidet die Parabel $p$ zweimal.

MerkeEine Lösung heisst: Gerade berührt die Parabel.

Ber u ¨ hren: D = (- 1)^{2} - 4 \cdot \frac{1}{4} = 0

$x^{2} = x - \frac{1}{4}$ , also $x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0$ , dann $D = 0$ .

$y = x - 1$ : $D = - 3 < 0$ , kein Schnittpunkt.

MerkeEine Lösung

x = \frac{1}{2}

y = x - \frac{1}{4}

berührt die Parabel.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Parabel und Gerade», Schritt 4

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Löse $3 x^{2} - 5 x = 2$ mit der abc-Formel.

3 x^{2} - 5 x

=

2

Die Gleichung: $3 x^{2} - 5 x$ (Kurve) trifft die Höhe $2$ .

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Normalform
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Diskriminante
…
3
Formel einsetzen
…

Typische Fehler

✗
Bei negativem $b$ das Vorzeichen in $- b$ falsch setzen: Bei $b = - 7$ ist $- b = + 7$ .
✗
$b^{2}$ mit negativem $b$ ohne Klammer in den Rechner tippen: $- 7^{2} = - 49$ , aber $(- 7)^{2} = 49$ .
✗
Vergessen, dass $D = 0$ die Bedingung für «Berühren» ist.

Prüfungstipp

Wörter wie «berühren» oder «Tangente» bei Parabel und Gerade bedeuten fast immer: Gleichsetzen und $D = 0$ . Damit bestimmst du den unbekannten Parameter.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an einer Abschlussprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Hilfsmittel legt deine Schule fest. Üben: Formelsammlung erlaubt, Taschenrechner nur, wo die Aufgabe es sagt.

2 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Parabel berührt Gerade
Wasserstrahl am Hang

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Abo.

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Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du löst $a x^{2} + b x + c = 0$ sicher mit der abc-Formel.
Du entscheidest mit der Diskriminante, wie viele Lösungen es gibt.
Du berechnest Schnittpunkte von Parabel und Gerade.

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Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Eine Lehrperson antwortet meist innert 24 Stunden. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

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