Lektion 06

Exponentialfunktionen

Wachstum und Zerfall, Wachstumsfaktor, Halbwertszeit

Prüfungsrelevantca. 35 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

Zwei Konten starten mit je 100 Fr.

Nach dieser Lektion

Du stellst $N (t) = N_{0} \cdot a^{t}$ aus einem Text auf.
Du rechnest mit Prozenten, Halbwertszeit und Verdopplungszeit.
Du kennst die Eigenschaften von $e^{x}$ .

An der Prüfung: Wachstum und Zerfall als Anwendung, dazu Kurzaufgaben und Kurvendiskussionen mit $e^{x}$ (Eulersche Zahl $e \approx 2, 718$ ).

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

Blau: exponentiell. Gestrichelt: linear mit gleichem Startzuwachs. Orange: $N_{0}$ . $T$ : Zeit, bis sich $N$ verdoppelt oder halbiert.

Wachstum: $a = 1, 05 > 1$ . Verdopplungszeit $T \approx 14, 2$ .

Anfangswert

N_{0}

Änderung pro Schritt

p

true

$Faktor a$

1,05

$Zeit T$

14,2

$N (10)$

114

Wachstum: $a = 1, 05 > 1$ . Verdopplungszeit $T \approx 14, 2$ .

Blau: exponentiell. Gestrichelt: linear mit gleichem Startzuwachs. Orange: $N_{0}$ . $T$ : Zeit, bis sich $N$ verdoppelt oder halbiert.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Finde ein Wachstum mit Verdopplungszeit etwa 10.
(offen)
Finde einen Zerfall mit Halbwertszeit etwa 5.
(offen)
Stelle $p = 0$ ein. Was passiert?
(offen)

Entdecke:

Ändere nur $N_{0}$ : Die Kurve wird höher, aber $T$ bleibt gleich.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Wachstumsfaktor

N (t) = N_{0} \cdot a^{t}

Änderung		Faktor
$+ 5 %$	→	$a = 1, 05$
$- 5 %$	→	$a = 0, 95$
$- 50 %$	→	$a = 0, 5$

Prozente werden multipliziert, nicht addiert.

$a > 1$ : Der Bestand wächst.

Merke

a > 1

wächst,

a < 1

schrumpft.

N (t) = 70 \cdot 1, 0 5^{t}

Änderung		Faktor
$+ 5 %$	→	$a = 1, 05$
$- 8 %$	→	$a = 0, 92$
$+ 12 %$	→	$a = 1, 12$

Nach 10 Schritten: $70 \cdot 1, 0 5^{10} \approx 114$ , nicht $70 + 50 % = 105$ .

$a = 0, 92$ : $70 \cdot 0, 9 2^{t}$ schrumpft.

Merke

a > 1

wächst,

a < 1

schrumpft.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Wachstumsfaktor», Schritt 4

2Halbwertszeit

N (t) = N_{0} \cdot (\frac{1}{2})^{t / T}

Nach jeder Zeit $T$ bleibt die Hälfte übrig. Verdopplungszeit: dasselbe mit dem Doppelten.
Faktor pro Zeiteinheit: $a^{T} = 0, 5$ , also $a = 0, 5^{1/ T}$ .
Umgekehrt: Zu einem Faktor $a < 1$ findest du $T$ durch Probieren, bis $a^{T} \approx 0, 5$ .

Zerfall ab dem Anfangswert $N_{0}$ .

MerkePro

T

halbiert sich der Bestand.

N (t) = 100 \cdot (\frac{1}{2})^{t / 5}

Nach $5$ bleiben $50$ , nach $10$ noch $25$ . Mit $+ 5 %$ verdoppelt sich ein Bestand etwa alle $14, 2$ .
Faktor pro Zeiteinheit: $a^{5} = 0, 5$ , also $a = 0, 5^{0, 2} \approx 0, 871$ .
Im Labor mit $- 13 %$ : $0, 8 7^{5} \approx 0, 50$ , also $T \approx 5$ .

Nach $2 T = 10$ : noch 25.

MerkeAlle

5

Zeiteinheiten halbiert sich der Bestand:

100 \to 50 \to 25

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Halbwertszeit», Schritt 4

3Die e-Funktion

e^{k t} = (e^{k})^{t} = a^{t}

$e \approx 2, 718$ ist eine feste Zahl, wie $π$ .
$N_{0} \cdot e^{k t}$ wächst wie $N_{0} \cdot a^{t}$ mit $a = e^{k}$ .
$e^{- x}$ ist an der y-Achse gespiegelt: Zerfall statt Wachstum.

$e \approx 2, 718$ : Der Graph von $e^{x}$ .

Merke

e^{k t}

ist Wachstum mit dem Faktor

e^{k}

pro Zeiteinheit.

e^{0, 5 t} = (e^{0, 5})^{t} \approx 1, 64 9^{t}

$e^{1} \approx 2, 718$ und $e^{2} \approx 7, 389$ .
$100 \cdot e^{0, 5 t}$ wächst wie $100 \cdot 1, 64 9^{t}$ : $+ 64, 9 %$ pro Zeiteinheit.
$e^{- x}$ bei $x = 1$ ist gleich $e^{x}$ bei $x = - 1$ : beide $\approx 0, 368$ .

$e^{- x}$ erreicht dieselbe Höhe $e$ bei $x = - 1$ .

Merke

e^{0, 5 t}

ist Wachstum mit dem Faktor

e^{0, 5} \approx 1, 649

pro Zeiteinheit.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Die e-Funktion», Schritt 4

4Exponent gesucht

a^{t} = c : t = ?

Probieren		Ergebnis
$a^{t} < c$	→	$zu klein: t gr o ¨ sser$
$a^{t} > c$	→	$zu gross: t kleiner$

Probieren: $t = 1, 2, 3, \dots$ einsetzen, bis der Zielwert überschritten ist.
Ablesen: Wo schneidet der Graph die Waagrechte $y = c$ ?

$a^{t} = c$ : Wo trifft der Graph die Höhe $c$ ?

MerkeExponent gesucht: probieren und am Graphen ablesen.

1, 5^{t} = 3 : t = ?

Probieren		Ergebnis
$1, 5^{2} = 2, 25$	→	$zu klein$
$1, 5^{3} = 3, 375$	→	$zu gross$

Probieren: $1, 5^{1} = 1, 5$ , $1, 5^{2} = 2, 25$ , erst $1, 5^{3} = 3, 375$ ist über $3$ .
Ablesen: Der Graph schneidet $y = 3$ bei $t \approx 2, 7$ .

Ablesen: Der Schnitt liegt bei $t \approx 2, 7$ .

MerkeExponent gesucht: probieren und am Graphen ablesen.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Exponent gesucht», Schritt 4

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Eine Stadt hat 40 000 Einwohner und wächst um 1,8 % pro Jahr. Wann sind es 50 000?

Start: 40 000. Ziel: 50 000.

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Modell
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Gleichung
…
3
Probieren
…
4
Ablesen
…

Typische Fehler

✗
Prozent addieren statt multiplizieren: Nach 10 Jahren mit 5 % sind es nicht $+ 50 %$ , sondern $\cdot 1, 0 5^{10} \approx 1, 63$ .
✗
Bei Abnahme $a = 0, 05$ statt $a = 0, 95$ verwenden.
✗
Den Exponenten durch Teilen «befreien» wollen: $1, 5^{t} = 3$ heisst nicht $t = 3 : 1, 5 = 2$ . Probiere: $1, 5^{2} = 2, 25$ ist noch zu klein.

Prüfungstipp

Exponent gesucht: probieren (Tabelle mit $t = 1, 2, 3, \dots$ ) und am Graphen ablesen. Später rechnest du das exakt mit $ln$ .

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an einer Abschlussprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Hilfsmittel legt deine Schule fest. Üben: Formelsammlung erlaubt, Taschenrechner nur, wo die Aufgabe es sagt.

2 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Bakterienkultur mit Antibiotikum
Koffein im Körper

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Abo.

Gratis-Konto erstellen

Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du stellst $N (t) = N_{0} \cdot a^{t}$ aus einem Text auf.
Du rechnest mit Prozenten, Halbwertszeit und Verdopplungszeit.
Du kennst die Eigenschaften von $e^{x}$ .

Dein Stand bei «Exponentialfunktionen»

0 %

0 von 3 Lernzielen eingeschätzt

Tippe bei jedem Lernziel an, wie sicher du dich fühlst. Dann siehst du hier, was du noch tun kannst.

Mit einem Gratis-Konto wird dein Selbstcheck gespeichert und du (oder deine Eltern) siehst den Fortschritt über alle Themen. Gratis anmelden

Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Eine Lehrperson antwortet meist innert 24 Stunden. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

Zur Community →

Melde dich gratis an, dann kannst du deine Frage direkt hier stellen. Eine Lehrperson antwortet dir.