Lektion 07

Logarithmen

Definition, Logarithmengesetze, Exponential- und Log-Gleichungen

Prüfungsrelevantca. 40 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

Welcher Exponent macht aus $2$ die $8$ ?

Nach dieser Lektion

Du verstehst $lo g_{b} (x)$ als «Welcher Exponent?».
Du wendest die drei Logarithmengesetze an.
Du löst Exponential- und Logarithmusgleichungen und beachtest den Definitionsbereich.

An der Prüfung: Der Logarithmus löst Gleichungen mit der Unbekannten im Exponenten und gehört zu Definitionsbereichen, Gleichungen und Ableitungen von Funktionen mit dem natürlichen Logarithmus $ln$ .

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

Die Frage: 2 hoch was gibt 8?

2^{?}

=

8

Die Antwort heisst Logarithmus.

lo g_{2} (8)

=

3

Probe: stimmt.

2^{3}

=

8

Dieselben drei Zahlen in zwei Schreibweisen: Basis blau, Wert orange, Exponent grün.

So liest du die Antwort: Die Basis bleibt unten, der Wert kommt in die Klammer, der Exponent ist das Ergebnis.

Basis

b

Wert

v

$lo g_{b} v$

$Probe: b^{l o g_{b} v}$

So liest du die Antwort: Die Basis bleibt unten, der Wert kommt in die Klammer, der Exponent ist das Ergebnis.
$v > 1$ : Der Exponent ist positiv.
Genau: $2^{3} = 8$ , also $lo g_{2} 8 = 3$ .

Dieselben drei Zahlen in zwei Schreibweisen: Basis blau, Wert orange, Exponent grün.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Finde $b$ und $v$ mit $lo g_{b} v = 2$ .
(offen)
Finde $v$ mit $lo g_{b} v = 0$ .
(offen)
Finde ein $v$ mit negativem Logarithmus.
(offen)

Entdecke:

Stell $b = 2$ und $v = 8$ ein und lies die Frage laut vor. Dann $b = 2$ , $v = 0, 5$ : Warum ist der Exponent negativ?

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Definition

lo g_{b} (x) = y heisst b^{y} = x

Potenz		Logarithmus
$2^{3} = 8$	→	$lo g_{2} 8 = 3$
$1 0^{2} = 100$	→	$lo g 100 = 2$
$e^{0} = 1$	→	$ln 1 = 0$

Nur für $x > 0$ definiert.
$ln$ hat die Basis $e \approx 2, 718$ . $lo g$ ohne Basis heisst $l g$ : Basis 10.

MerkeDer Logarithmus ist der gesuchte Exponent.

lo g_{4} (2) = 0, 5 heisst 4^{0, 5} = 2

Potenz		Logarithmus
$2^{3} = 8$	→	$lo g_{2} 8 = 3$
$1 0^{2} = 100$	→	$lo g 100 = 2$
$e^{0} = 1$	→	$ln 1 = 0$

$lo g_{4} 2$ gibt es, $lo g_{4} (- 2)$ nicht: $4^{y}$ ist immer positiv.
$ln e = 1$ (Basis $e$ ), $l g 1000 = 3$ (Basis 10).

MerkeDer Logarithmus ist der gesuchte Exponent.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Definition», Schritt 4

2Die drei Gesetze

Zusammen		Zerlegt
$lo g (u \cdot v)$	→	$l o g u + l o g v$
$lo g \frac{u}{v}$	→	$l o g u - l o g v$
$lo g (u^{k})$	→	$k \cdot l o g u$

log u

Der Balken $lo g u$ .

Merke

lo g (u + v)

lässt sich nicht zerlegen.

Zusammen		Zerlegt
$lo g_{2} (4 \cdot 8)$	→	$2 + 3 = 5$
$lo g_{2} \frac{4}{8}$	→	$2 - 3 = - 1$
$lo g_{2} (4^{2})$	→	$2 \cdot 2 = 4$

log₂ 42

log₂ 83

Summe = log₂ 325

$2 + 3 = 5 = lo g_{2} (4 \cdot 8) = lo g_{2} 32$

Merke

lo g_{2} (4 + 8) = lo g_{2} 12 \approx 3, 58

, nicht

2 + 3 = 5

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Die drei Gesetze», Schritt 4

3Exponentialgleichung

b^{x} = c \Rightarrow x = \frac{ln c}{ln b}

Beide Seiten logarithmieren.
Gesetz 3 holt den Exponenten herunter.
Substitution: $u = 2^{x}$ (oder $u = ln x$ ) ergibt eine quadratische Gleichung in $u$ .

$b^{x} = c$ : Wo trifft $b^{x}$ die Höhe $c$ ?

MerkeDer Logarithmus holt die Unbekannte aus dem Exponenten.

2^{x} = 5 \Rightarrow x = \frac{ln 5}{ln 2}

Beide Seiten logarithmieren: $ln (2^{x}) = ln 5$ .
Gesetz 3: $x \cdot ln 2 = ln 5$ , also $x \approx 2, 32$ .
Substitution: $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ wird mit $u = 2^{x}$ zu $u^{2} - 5 u + 4 = 0$ .

$x \approx 2, 32$

MerkeDer Logarithmus holt die Unbekannte aus dem Exponenten.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Exponentialgleichung», Schritt 4

4Definitionsbereich

ln (g (x)) \Rightarrow g (x) > 0

Zuerst den Definitionsbereich $D$ bestimmen, am Ende die Lösungen prüfen.

$y = ln x$ gibt es nur für $x > 0$ .

MerkeLösungen ausserhalb von

D

(Scheinlösungen) streichen.

ln (x - 2) \Rightarrow x - 2 > 0

Zuerst $D$ : $x > 2$ . Eine Lösung $x = 1$ wäre am Ende zu streichen.

Für $x \leq 2$ gibt es keinen Funktionswert.

MerkeLösungen ausserhalb von

D

(Scheinlösungen) streichen.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Die drei Gesetze», Schritt 4

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Berechne ohne Taschenrechner: $lo g_{3} 9$ , $lo g_{3} 1$ und $lo g_{3} \frac{1}{3}$ .

Die Kurve $y = lo g_{3} x$ : Ihre Höhe bei $x$ ist der gesuchte Exponent.

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Exponent für 9
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Exponent für 1
…
3
Exponent für ⅓
…

Typische Fehler

✗
$lo g (u + v)$ in $lo g u + lo g v$ zerlegen. Das gilt nur für Produkte!
✗
Den Definitionsbereich vergessen und Scheinlösungen behalten.
✗
$ln$ und $lo g$ verwechseln: Am Rechner ist «log» die Basis 10.

Prüfungstipp

Siehst du $ln x$ zweimal in verschiedenen Potenzen, ist Substitution fast immer der Schlüssel.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an einer Abschlussprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Hilfsmittel legt deine Schule fest. Üben: Formelsammlung erlaubt, Taschenrechner nur, wo die Aufgabe es sagt.

3 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Kurzaufgaben Logarithmus
Logarithmengesetze und Alphornkonzert
Abkühlung einer Tasse Tee

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Abo.

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Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du verstehst $lo g_{b} (x)$ als «Welcher Exponent?».
Du wendest die drei Logarithmengesetze an.
Du löst Exponential- und Logarithmusgleichungen und beachtest den Definitionsbereich.

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Schritt 8

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