Lektion 08

Folgen, Reihen & Finanzen

Arithmetische und geometrische Folgen und Reihen, Zinseszins, Sparpläne

Prüfungsrelevantca. 45 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

Jeden Schritt kommt gleich viel dazu: eine Treppe.

Nach dieser Lektion

Du erkennst arithmetische und geometrische Folgen und gibst sie explizit und rekursiv an.
Du berechnest Summen der ersten $n$ Glieder (Reihen) mit den Summenformeln.
Du rechnest Zinseszins, Sparplan und Abschreibung mit einem festen Faktor pro Jahr.

An der Prüfung: Gehört zum Stoff der Mittelschule und kommt in Abschlussprüfungen vor, oft mit Zins- und Sparplanrechnungen.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

1 000 CHF für $n$ Jahre angelegt, $K_{n}$ ist das Kapital nach $n$ Jahren. Blau: Zinseszins (Zins auf Zins). Orange: einfacher Zins.

Der Zinseszins liegt $80$ CHF vor dem einfachen Zins.

Zinssatz

p

(%)

Jahre

n

true

$Mit Zinseszins$

1480CHF

$Mit einfachem Zins$

1400CHF

Der Zinseszins liegt $80$ CHF vor dem einfachen Zins.

1 000 CHF für $n$ Jahre angelegt, $K_{n}$ ist das Kapital nach $n$ Jahren. Blau: Zinseszins (Zins auf Zins). Orange: einfacher Zins.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Stelle $4 %$ ein: Nach wie vielen Jahren sind die $1000$ CHF verdoppelt?
(offen)
Stell $n = 15$ ein und finde einen Zinssatz, der das Geld verdoppelt.
(offen)
Zinseszins soll mehr als doppelt so viel Zins bringen wie einfacher Zins.
(offen)

Entdecke:

Der einfache Zins wächst gerade: jedes Jahr gleich viel. Beim Zinseszins gibt es auch Zins auf Zins, darum wird die Kurve immer steiler.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Arithmetische Folge

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

$a_{n}$ ist das $n$ -te Glied. Jedes ist um die Differenz $d$ grösser.
Rekursiv: $a_{n + 1} = a_{n} + d$ . Die Formel oben heisst explizit.
$d < 0$ : Die Folge fällt. Die Punkte liegen auf einer Geraden.

Startglied $a_{1}$ und Differenz $d$ .

MerkeKonstante Differenz: addieren.

a_{n} = 3 + (n - 1) \cdot 2

$a_{1} = 3$ , jedes Glied ist um $2$ grösser: $3, 5, 7, \dots$
Rekursiv: $a_{2} = a_{1} + 2 = 5$ . Explizit: $a_{10} = 3 + 9 \cdot 2 = 21$ .
Mit $- 2$ fällt sie: $3, 1, - 1$ . Mit $2$ liegen die Punkte auf $y = 2 x + 1$ .

Die Punkte liegen auf $y = 2 x + 1$ .

MerkeKonstante Differenz: addieren.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Arithmetische Folge», Schritt 4

2Geometrische Folge

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}

Jedes Glied ist $q$ -mal so gross wie das vorherige (Faktor $q$ ): $a_{n + 1} = a_{n} \cdot q$ .
$q > 1$ wächst, $0 < q < 1$ fällt.
Der Graph besteht aus Punkten auf einer Exponentialkurve.

Startglied $a_{1}$ und Faktor $q$ .

MerkeKonstanter Faktor: multiplizieren.

a_{n} = 3 \cdot 2^{n - 1}

Jedes Glied ist $2$ -mal so gross: $a_{2} = 3 \cdot 2 = 6$ .
$2 > 1$ wächst, mit $0, 5$ fällt sie: $3, 1, 5, 0, 75, \dots$
Die Punkte liegen auf der Exponentialkurve $y = 1, 5 \cdot 2^{x}$ .

Die Punkte liegen auf $y = 1, 5 \cdot 2^{x}$ .

MerkeKonstanter Faktor: multiplizieren.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Geometrische Folge», Schritt 4

3Summenformeln

Folge		Summe der ersten n Glieder
$arithmetisch$	→	$s_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$
$geometrisch$	→	$s_{n} = a_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$

Gauss: $1 + 2 + \dots + 100 = 50 \cdot 101 = 5050$ .
Eine solche Summe heisst Reihe. Geometrisch gilt die Formel für $q \neq = 1$ .

$s_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ als Treppe.

MerkeArithmetisch: Mittel von erstem und letztem Glied mal

n

Folge		Summe der ersten n Glieder
$arithmetisch$	→	$s_{10} = \frac{10}{2} (1 + 10) = 55$
$geometrisch$	→	$s_{5} = 3 \cdot \frac{2 ^{5} - 1}{2 - 1} = 93$

Gauss im Kleinen: $1 + 2 + \dots + 10 = 5 \cdot 11 = 55$ .
$3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93$ , die Formel gilt wegen $2 \neq = 1$ .

$2 s = 10 \cdot 11$ , also $s = 55$ .

MerkeMittel von

1

und

10

ist

5, 5

, mal

10

gibt

55

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Summenformeln», Schritt 4

4Zins, Sparplan, Abschreibung

K_{n} = K_{0} \cdot q^{n}

Situation		Faktor q
$+ p % Zins$	→	$q = 1 + \frac{p}{100}$
$- p % Abschreibung$	→	$q = 1 - \frac{p}{100}$
$Sparplan, E pro Jahresende$	→	$K_{n} = E \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$

$K_{0}$ : Startkapital, $K_{n}$ : Kapital nach $n$ Jahren, $p$ : Zinssatz in Prozent.
Der Sparplan (Einzahlung $E$ pro Jahresende) ist eine geometrische Reihe mit $a_{1} = E$ .

Drei Einzahlungen zu $E$ , Faktor $q$ .

MerkeProzent in Faktor

q

verwandeln, dann potenzieren.

K_{10} = 1000 \cdot 1, 04^{10} \approx 1480, 24

Situation		Faktor q
$+ 4 % Zins$	→	$q = 1, 04$
$- 20 % Abschreibung$	→	$q = 0, 8$
$Sparplan, 1000 pro Jahr$	→	$1000 \cdot \frac{1 , 04 ^{3} - 1}{0 , 04}$

$K_{0} = 1000$ CHF und $p = 4$ : Nach $10$ Jahren sind es $K_{10} \approx 1480, 24$ CHF.
Der Sparplan ist eine geometrische Reihe mit $a_{1} = 1000$ : $K_{3} = 3121, 60$ .

Summe: $1000 \cdot \frac{1 , 0 4 ^{3} - 1}{0 , 04} = 3121, 60$ .

Merke

+ 4 %

wird zu

q = 1, 04

, dann potenzieren.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Zins, Sparplan, Abschreibung», Schritt 4

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Im Lauftraining läufst du in der 1. Woche $4$ km, und jede Woche kommen $1, 5$ km dazu. Gib die Formel für die $n$ -te Woche an. Wie weit läufst du in der 9. Woche, und in welcher Woche sind es $22$ km?

Die ersten Wochen: $4$ , $5, 5$ , $7$ , $8, 5$ , $10$ , $11, 5$ km.

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Differenz und Formel
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
9. Woche
…
3
22 km erreicht
…

Typische Fehler

✗
Bei $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ den Faktor $n - 1$ mit $n$ verwechseln: $a_{1}$ hat noch keinen Schritt gemacht.
✗
Prozent falsch in den Faktor umrechnen: $- 15 %$ ist $q = 0, 85$ , nicht $0, 15$ oder $1, 15$ .
✗
Zinseszins mit einfachem Zins verwechseln: $K_{0} (1 + n \cdot \frac{p}{100})$ statt $K_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}$ .

Prüfungstipp

Bei «nach wie vielen Jahren» löst du $q^{n} = Ziel$ mit dem Logarithmus, $n = \frac{ln ( Ziel )}{ln q}$ , und rundest auf. Prüfe das Ergebnis mit $n - 1$ und $n$ .

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an einer Abschlussprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Hilfsmittel legt deine Schule fest. Üben: Formelsammlung erlaubt, Taschenrechner nur, wo die Aufgabe es sagt.

2 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Stadion, Konto und Maschine
Trainingsplan für den Skimarathon

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Abo.

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Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du erkennst arithmetische und geometrische Folgen und gibst sie explizit und rekursiv an.
Du berechnest Summen der ersten $n$ Glieder (Reihen) mit den Summenformeln.
Du rechnest Zinseszins, Sparplan und Abschreibung mit einem festen Faktor pro Jahr.

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Tippe bei jedem Lernziel an, wie sicher du dich fühlst. Dann siehst du hier, was du noch tun kannst.

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Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Eine Lehrperson antwortet meist innert 24 Stunden. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

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