Lektion 09

Zins und Zinseszins

Zins für Tage (30/360), gemischte Verzinsung, Zinseszins nach jeder Grösse aufgelöst, äquivalenter Zinssatz, Wachstum eines Umsatzes

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In 30 Sekunden

CHF 1000 liegen auf einem Konto mit $5 %$ Zins pro Jahr.

Nach dieser Lektion

Du rechnest Zins für Tage nach der Methode 30/360 und die gemischte Verzinsung.
Du rechnest Zinseszins mit $K_{n} = K_{0} \cdot q^{n}$ und löst nach $K_{0}$ , $q$ und $n$ auf.
Du rechnest einen Jahreszins in einen äquivalenten Zinssatz pro Monat um und umgekehrt.

An der Prüfung: Gehört in der Richtung Wirtschaft und Dienstleistungen zum Stoff der BM-Abschlussprüfung: Zinseszins, oft mit Laufzeit oder Zinssatz als Unbekannte.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

true

Blau: Startkapital CHF 10 000. Orange: dazugekommener Zins. Violett: doppeltes Startkapital.

Bei einfacher Verzinsung wären es nur $14500$ CHF: Zins auf Zins bringt $1079, 67$ CHF mehr.

Zinssatz

p

Laufzeit

n

$Kapital K_{n}$

15 579,67CHF

$Zins insgesamt$

5579,67CHF

Bei einfacher Verzinsung wären es nur $14500$ CHF: Zins auf Zins bringt $1079, 67$ CHF mehr.
Noch nicht verdoppelt: Dafür braucht es $ln 2 : ln q \approx 23, 4$ Jahre.

Blau: Startkapital CHF 10 000. Orange: dazugekommener Zins. Violett: doppeltes Startkapital.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Stelle $p = 6 %$ ein: Nach wie vielen vollen Jahren ist das Kapital erstmals doppelt so gross? Stelle $n$ genau so ein.
(offen)
Mit $n = 10$ Jahren: Finde einen Zinssatz, mit dem es am Ende mehr als CHF $16000$ sind.
(offen)
Mit höchstens $3 %$ : Bring den Zins insgesamt über das Startkapital.
(offen)

Entdecke:

Jedes Jahr wird das Kapital mit demselben Faktor $q$ multipliziert. Darum wächst der orange Zins immer schneller: Er wird selbst mitverzinst. Ein höherer Zinssatz verkürzt die Zeit bis zur Verdopplung stark.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Zins für Tage

Z = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{t}{360}

Zeitraum		Zinstage
	→	$30$
	→	$12 \cdot 30 = 360$
	→	$20 + 2 \cdot 30 + 20 = 100$

$K$ : Kapital, $p$ : Zinssatz pro Jahr in Prozent, $t$ : Zinstage.
Banken zählen jeden Monat mit $30$ Tagen, das Jahr mit $360$ (Methode 30/360).
Für $t = 360$ ergibt sich der Jahreszins $K \cdot \frac{p}{100}$ .

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

Ein Jahr zu $360$ Tagen.

Jeder ganze Monat: $t = 30$ Zinstage.

$12 \cdot 30 = 360$ : Das Bankjahr hat 360 Zinstage.

Im Juni bis zum 20.: $20$ Tage. Zusammen $t = 100$ .

MerkeZinstage: jeder Monat

30

, das Jahr

360

Z = 12000 \cdot \frac{1 , 5}{100} \cdot \frac{100}{360} = 50

Zeitraum		Zinstage
	→	$30$
	→	$12 \cdot 30 = 360$
	→	$20 + 2 \cdot 30 + 20 = 100$

$K = 12000$ CHF und $p = 1, 5$ , vom 10. März bis 20. Juni.
Rest März $20$ , April und Mai je $30$ , Juni $20$ : $t = 100$ .
Jahreszins $12000 \cdot 0, 015 = 180$ CHF, für $100$ Tage $50$ CHF.

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

Jahreszins 180 Franken, davon $\frac{100}{360}$ : $Z = 50$ .

Jeder ganze Monat: $t = 30$ Zinstage.

$12 \cdot 30 = 360$ : Das Bankjahr hat 360 Zinstage.

Im Juni bis zum 20.: $20$ Tage. Zusammen $t = 100$ .

Merke

100

von

360

Tagen: gut ein Viertel des Jahreszinses.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Zinseszins», Schritt 4

2Zinseszins

K_{n} = K_{0} \cdot q^{n}, q = 1 + \frac{p}{100}

Verzinsung		Kapital nach n Jahren
	→	$K_{0} \cdot (1 + n \cdot \frac{p}{100})$
	→	$K_{0} \cdot q^{n}$

$q$ heisst Zinsfaktor: Bei $3 %$ ist $q = 1, 03$ .
Grundformel des Zinseszinses: Der Zins bleibt auf dem Konto und bringt selbst Zins.
Angebrochene Jahre mit Zins für Tage: Das heisst gemischte Verzinsung.

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

Startkapital $K_{0}$ .

Nach 5 Jahren: $1000 \cdot (1 + 5 \cdot 0, 1) = 1500$ .

Nach 5 Jahren: $1000 \cdot 1, 1^{5} = 1610, 51$ .

MerkeProzent in den Faktor

q

verwandeln, dann hoch

n

K_{6} = 8000 \cdot 1, 025^{6} \approx 9277, 55

Verzinsung		Kapital nach n Jahren
	→	$K_{0} \cdot (1 + n \cdot \frac{p}{100})$
	→	$K_{0} \cdot q^{n}$

Bei $p = 2, 5$ ist der Zinsfaktor $q = 1, 025$ .
Nach $6$ Jahren sind es $9277, 55$ CHF, davon $1277, 55$ CHF Zins.
Ein halbes Jahr mehr: $9277, 55 \cdot (1 + 0, 025 \cdot \frac{180}{360}) \approx 9393, 52$ .

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

Jedes Jahr mal $1, 025$ , also alle zwei Jahre mal $1, 02 5^{2}$ .

Nach 5 Jahren: $1000 \cdot (1 + 5 \cdot 0, 1) = 1500$ .

Nach 5 Jahren: $1000 \cdot 1, 1^{5} = 1610, 51$ .

Merke

+ 2, 5 %

wird zu

q = 1, 025

, dann hoch

6

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Zinseszins», Schritt 4

3Nach jeder Grösse auflösen

n = \frac{ln ( K _{n} : K _{0} )}{ln q}

gesucht		Formel
$K_{0}$	→	$K_{n} : q^{n}$
$q$	→	$n K_{n} : K_{0}$
$n$	→	$ln (K_{n} : K_{0}) : ln q$

Abzinsen: $K_{0} = K_{n} : q^{n}$ ist der heutige Wert eines späteren Betrags.
Ist $n$ gesucht, holt der Logarithmus den Exponenten herunter: $ln (q^{n}) = n \cdot ln q$ .
Bei ganzen Jahren aufrunden und mit $n - 1$ und $n$ prüfen.

Das Kapital wächst: $K_{0} \cdot q^{x}$ .

MerkeExponent gesucht: Logarithmus. Faktor gesucht:

n

-te Wurzel.

n = \frac{ln ( 8 000 : 5 000 )}{ln 1 , 04} \approx 11, 98

gesucht		Beispiel
$K_{0}$	→	$8000 : 1, 04^{12} \approx 4996, 78$
$q$	→	$12 8000 : 5000 \approx 1, 04$
$n$	→	$ln 1, 6 : ln 1, 04 \approx 11, 98$

Abgezinst: $8000$ CHF in $12$ Jahren sind bei $4 %$ heute $4996, 78$ CHF wert.
Von $5000$ auf $8000$ bei $4 %$ : $n = ln 1, 6 : ln 1, 04 \approx 11, 98$ .
Aufgerundet $12$ Jahre: $K_{11} \approx 7697, 27$ , $K_{12} \approx 8005, 16$ .

Die Kurve trifft das Ziel bei $n \approx 11, 98$ .

Merke

11, 98

Jahre reichen nicht ganz: erst nach

12

Jahren.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Nach jeder Grösse auflösen», Schritt 4

4Äquivalenter Zinssatz

q_{m} = m q

Periode		äquivalenter Faktor
$Halbjahr, m = 2$	→	$q_{2} = q$
$Quartal, m = 4$	→	$q_{4} = 4 q$
$Monat, m = 12$	→	$q_{12} = 12 q$

Zins $m$ -mal im Jahr, zum Beispiel jeden Monat: $m = 12$ Perioden.
Äquivalent heisst: nach einem Jahr gleich viel, also $q_{m}^{m} = q$ .
Gibt die Bank $p : m$ pro Periode, ist der Jahreszins effektiv höher.

Ein Schritt am Jahresende: mal $q$ .

MerkeÄquivalent:

m

kleine Schritte ergeben zusammen den Jahresfaktor.

q_{12} = 12 1, 06 \approx 1, 004868

Periode		äquivalenter Faktor
$Halbjahr, m = 2$	→	$1, 06 \approx 1, 029563$
$Quartal, m = 4$	→	$4 1, 06 \approx 1, 014674$
$Monat, m = 12$	→	$12 1, 06 \approx 1, 004868$

$6 %$ pro Jahr, Zins jeden Monat: $m = 12$ .
Äquivalent: $q_{12} \approx 1, 004868$ , also $0, 4868 %$ pro Monat.
Mit $6 : 12 = 0, 5 %$ pro Monat: $1, 00 5^{12} \approx 1, 0617$ , effektiv $6, 17 %$ .

Beide Wege enden bei 1060 Franken.

MerkeÄquivalent sind

0, 4868 %

pro Monat, nicht

0, 5 %

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Äquivalenter Zinssatz», Schritt 4

Im Alltag

Wo dir das ausserhalb der Schule begegnet.

Konto auflösen

CHF 8000 auf dem Konto, $1 %$ Zins pro Jahr.

Du löst Mitte Mai ein Konto mit CHF 8000 zu $1 %$ Zins auf. Seit Neujahr sind es $4 \cdot 30 + 15 = 135$ Zinstage, also $Z = 8000 \cdot 0, 01 \cdot \frac{135}{360} = 30$ Franken.

Teuerung

Ein Einkauf kostet heute CHF 100.

Steigen die Preise jedes Jahr um $2 %$ , kostet ein Einkauf von heute CHF 100 in 10 Jahren $100 \cdot 1, 0 2^{10} \approx 121, 90$ Franken.

Kinderkonto

Zur Geburt: CHF 3000 auf dem Kinderkonto.

Zur Geburt legen die Grosseltern CHF 3000 zu $2 %$ an. Mit 18 Jahren sind es $3000 \cdot 1, 0 2^{18} \approx 4284, 74$ Franken.

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Am 30. Juni 2025 zahlst du CHF 20 000 auf ein Konto mit $2 %$ Zins pro Jahr ein. Die Bank schreibt den Zins jeweils am 31. Dezember gut, danach wird er mitverzinst. Wie viel ist am 31. Dezember 2029 auf dem Konto?

K_{0} = 20000, p = 2

CHF 20 000 ab 30. Juni 2025, $2 %$ pro Jahr.

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Zins für Tage im ersten Jahr
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Vier volle Jahre Zinseszins
…
3
Zinsanteil
…

Typische Fehler

✗
Prozent nicht umrechnen: Bei $p = 3$ ist der Zinsfaktor $q = 1, 03$ , nicht $3$ und nicht $0, 03$ .
✗
Zinstage mit dem Kalender zählen: Banken rechnen jeden Monat mit $30$ Tagen und das Jahr mit $360$ .
✗
Bei «nach wie vielen Jahren» abrunden: $n \approx 11, 65$ heisst, erst nach $12$ Jahren reicht es.

Prüfungstipp

Schreib zuerst $q = 1 + \frac{p}{100}$ hin und markiere, welche Grösse gesucht ist. Für $n$ den Logarithmus, für $q$ die $n$ -te Wurzel, für $K_{0}$ durch $q^{n}$ teilen.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an einer Abschlussprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Hilfsmittel legt deine Schule fest. Üben: Formelsammlung erlaubt, Taschenrechner nur, wo die Aufgabe es sagt.

2 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Lehrlingslohn auf dem Sparkonto
Umsatz eines Velogeschäfts und Monatszins

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Abo.

Gratis-Konto erstellen

Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du rechnest Zins für Tage nach der Methode 30/360 und die gemischte Verzinsung.
Du rechnest Zinseszins mit $K_{n} = K_{0} \cdot q^{n}$ und löst nach $K_{0}$ , $q$ und $n$ auf.
Du rechnest einen Jahreszins in einen äquivalenten Zinssatz pro Monat um und umgekehrt.

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