Lektion 04

Quadratische Funktionen I

Normalform, Scheitelpunktform, Öffnung, Scheitelpunkt

Prüfungsrelevantca. 40 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

Ein Ball fliegt: Seine Bahn ist eine Parabel.

Nach dieser Lektion

Du verstehst, was $a$ , $b$ und $c$ mit dem Graphen machen.
Du berechnest den Scheitelpunkt mit $x_{S} = - \frac{b}{2 a}$ .
Du wechselst zwischen Normalform und Scheitelpunktform.

An der Prüfung: Parabeln sind das Standardbeispiel für Funktionen und stecken oft in grösseren Aufgaben (Flächen, Tangenten, Extremwerte).

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

Orange: Scheitel S, grün: Nullstellen, violett: c. Gestrichelt: Symmetrieachse.

Scheitelpunktform: $y = (x - 1)^{2} - 4$

Öffnungsfaktor

a

Faktor

b

Konstante

c

true

$x_{S}$

$y_{S}$

−4

$Nullstellen$

Scheitelpunktform: $y = (x - 1)^{2} - 4$
Nach oben geöffnet, so breit wie die Normalparabel $y = x^{2}$ . Der Scheitel ist der tiefste Punkt.
Zwei Nullstellen: $x_{1} = - 1$ und $x_{2} = 3$ .

Orange: Scheitel S, grün: Nullstellen, violett: c. Gestrichelt: Symmetrieachse.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Verschiebe den Scheitel nach $S (2 ∣ - 1)$ .
(offen)
Nach unten geöffnet und ohne Nullstellen: Stell so eine Parabel ein.
(offen)
Die Parabel soll die x-Achse nur berühren.
(offen)

Entdecke:

Ändere nur $c$ : Die Parabel wandert senkrecht. Was macht $b$ mit dem Scheitel?

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Die Rolle von a

y = a x^{2}

$a > 0$ : nach oben offen (Tal), $a < 0$ : nach unten offen (Berg).
$∣ a ∣$ (Betrag, ohne Vorzeichen) gross: schmal. $∣ a ∣$ klein: breit.

Die Normalparabel $y = x^{2}$ (gestrichelt).

Merke

a

bestimmt Öffnung und Breite.

y = 2 x^{2}, y = 0, 5 x^{2}, y = - 2 x^{2}

$2 > 0$ : nach oben offen, $- 2 < 0$ : nach unten offen.
$∣ 2 ∣ = 2$ gross: schmal. $∣ 0, 5 ∣$ klein: breit.

$a = - 2$ : nach unten offen, gespiegelt.

Merke

a

bestimmt Öffnung und Breite.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Die Rolle von a», Schritt 4

2Scheitelpunktform

y = a (x - x_{S})^{2} + y_{S}

Den Scheitel $S (x_{S} ∣ y_{S})$ liest du direkt ab.
Vorzeichen drehen: $(x + 3)^{2}$ heisst $x_{S} = - 3$ .

$y = a (x - x_{S})^{2} + y_{S}$

MerkeVorzeichen in der Klammer drehen.

y = \frac{1}{2} (x - (- 3))^{2} + (- 2)

Den Scheitel $S (- 3 ∣ - 2)$ liest du direkt ab.
Vorzeichen drehen: $x - (- 3) = x + 3$ , also $y = \frac{1}{2} (x + 3)^{2} - 2$ .

$(x + 3)$ heisst $x_{S} = - 3$ . Das Vorzeichen dreht!

MerkeVorzeichen in der Klammer drehen.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Scheitelpunktform», Schritt 4

3Scheitel aus der Normalform

x_{S} = - \frac{b}{2 a}, y_{S} = f (x_{S})

Zuerst $x_{S}$ , dann einsetzen für $y_{S}$ .
Mit Nullstellen: $x_{S}$ liegt genau in ihrer Mitte.

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

MerkeDas Minus vor

\frac{b}{2 a}

nicht vergessen.

x_{S} = - \frac{- 4}{2 \cdot 1} = 2, y_{S} = f (2) = - 1

Zuerst $x_{S} = 2$ , dann einsetzen: $y_{S} = f (2) = - 1$ .
Nullstellen $1$ und $3$ : $x_{S} = 2$ liegt genau in ihrer Mitte.

$x_{S} = - \frac{- 4}{2 \cdot 1} = 2$ , also $S (2 ∣ - 1)$

MerkeDas Minus vor

\frac{- 4}{2 \cdot 1}

macht

x_{S}

positiv.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Scheitel aus der Normalform», Schritt 4

4Von der Scheitel- zur Normalform

Scheitelpunktform		Normalform
$2 (x - 1)^{2} + 3$	→	$2 x^{2} - 4 x + 5$
$- (x + 2)^{2} + 1$	→	$- x^{2} - 4 x - 3$
$\frac{1}{2} (x - 4)^{2} - 2$	→	$\frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 6$

Klammer mit der binomischen Formel auflösen, dann mit $a$ multiplizieren.

Merke

a

gilt für die ganze Klammer.

Scheitelpunktform		Normalform
$2 (x - 1)^{2} + 3$	→	$2 x^{2} - 4 x + 5$
$- (x + 2)^{2} + 1$	→	$- x^{2} - 4 x - 3$
$\frac{1}{2} (x - 4)^{2} - 2$	→	$\frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 6$

$(x - 1)^{2} - 4$ : Klammer gibt $x^{2} - 2 x + 1$ , mal $a = 1$ , dann $- 4$ : $x^{2} - 2 x - 3$ .

Merke

2 (x - 1)^{2} = 2 x^{2} - 4 x + 2

, nicht

2 x^{2} - 2 x + 1

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Von der Scheitel- zur Normalform», Schritt 4

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Der Graph von $f (x) = a x^{2}$ geht durch $P (2 ∣ - 1)$ . Bestimme $a$ und beschreibe die Parabel.

Gegeben: $P$ liegt auf dem Graphen. Gestrichelt: $y = x^{2}$ .

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
P einsetzen
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
a berechnen
…
3
Parabel beschreiben
…

Typische Fehler

✗
Das Minus in $x_{S} = - \frac{b}{2 a}$ vergessen.
✗
In der Scheitelpunktform das Vorzeichen falsch ablesen: $(x + 2)^{2}$ heisst $x_{S} = - 2$ .
✗
Beim Ausmultiplizieren den Faktor $a$ nur auf $x^{2}$ statt auf die ganze Klammer anwenden.

Prüfungstipp

Wenn eine Aufgabe sagt «Scheitel auf der y-Achse», heisst das $b = 0$ , also $f (x) = a x^{2} + c$ . Achte auf solche versteckten Bedingungen.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an einer Abschlussprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Hilfsmittel legt deine Schule fest. Üben: Formelsammlung erlaubt, Taschenrechner nur, wo die Aufgabe es sagt.

2 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Flugbahn eines Balls
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Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du verstehst, was $a$ , $b$ und $c$ mit dem Graphen machen.
Du berechnest den Scheitelpunkt mit $x_{S} = - \frac{b}{2 a}$ .
Du wechselst zwischen Normalform und Scheitelpunktform.

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Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Eine Lehrperson antwortet meist innert 24 Stunden. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

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