Lektion 03

Gleichungen & Ungleichungen II

Gleichungssysteme, Betragsgleichungen, Wurzelgleichungen

Prüfungsrelevantca. 45 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

Eine Gleichung mit $x$ und $y$ : ganz viele Lösungen, alle auf einer Geraden.

Nach dieser Lektion

Du löst Gleichungssysteme mit zwei und drei Unbekannten.
Du löst Betragsgleichungen mit Fallunterscheidung.
Du löst Wurzelgleichungen und machst die Probe.

An der Prüfung: Gleichungssysteme brauchst du für Aufgaben mit Parametern («Bestimmen Sie a und b so, dass…») und um Funktionen aus Bedingungen aufzustellen.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

Blau: $x + y = 3$ . Orange: deine zweite Gleichung.

Eine Lösung: $x = 1$ und $y = 2$ .

Zahl bei

x

a

Zahl bei

y

b

Rechte Seite

c

true

$x$

$y$

Eine Lösung: $x = 1$ und $y = 2$ .

Blau: $x + y = 3$ . Orange: deine zweite Gleichung.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Stelle die Lösung $(2 ∣ 1)$ ein.
(offen)
Mach die zweite Gerade parallel: keine Lösung.
(offen)
Finde ein System mit unendlich vielen Lösungen.
(offen)

Entdecke:

Jede Gleichung ist eine Gerade. Die Lösung des Systems liegt auf beiden: im Schnittpunkt.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Einsetzen oder addieren

{x + y = 3 2 x - y = 0

Einsetzen: eine Variable freistellen und in die andere Gleichung setzen.
Addieren: so rechnen, dass beim Addieren eine Variable wegfällt.

Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte.

MerkeZiel: eine Gleichung mit nur einer Unbekannten.

{x + y = 3 2 x - y = 0

Einsetzen: Aus $2 x - y = 0$ folgt $y = 2 x$ , also $x + 2 x = 3$ .
Addieren: $(x + y) + (2 x - y) = 3 + 0$ gibt $3 x = 3$ .

$x = 1$ in $y = 2 x$ einsetzen: $y = 2$ .

MerkeZiel: eine Gleichung mit nur einer Unbekannten.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Einsetzen oder addieren», Schritt 4

2Betrag: zwei Fälle

∣ T ∣ = c \Rightarrow T = c oder T = - c

Rechte Seite		Lösungen
$c > 0$	→	$zwei$
$c = 0$	→	$eine$
$c < 0$	→	$keine$

$T$ ist der Term zwischen den Betragsstrichen, $c$ die Zahl rechts.

$∣ T ∣ = c$ : Schnitt von $y = ∣ T ∣$ mit $y = c$ .

MerkeBeide Fälle rechnen, nie nur den positiven.

x - 1 = 2 oder x - 1 = - 2

Rechte Seite		Lösungen
$∣ x - 1∣ = 2$	→	$zwei: - 1 und 3$
$∣ x - 1∣ = 0$	→	$eine: 1$
$∣ x - 1∣ = - 2$	→	$keine$

$T$ ist der Term zwischen den Betragsstrichen, $c$ die Zahl rechts.

Fall $x - 1 = - 2$ : $x = - 1$ .

MerkeBeide Fälle rechnen, nie nur den positiven.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Betrag: zwei Fälle», Schritt 4

3Wurzel: Probe machen

T = R \Rightarrow T = R^{2}

$T$ : Term unter der Wurzel, $R$ : rechte Seite.
Wurzel zuerst allein stellen, dann quadrieren.
Quadrieren kann Scheinlösungen erzeugen.

Beide Seiten als Graphen: $y = T$ und $y = R$ .

MerkeOhne Probe ist die Lösung nicht sicher.

x + 2 = x \Rightarrow x + 2 = x^{2}

$T = x + 2$ unter der Wurzel, $R = x$ rechts.
Die Wurzel steht schon allein: Quadrieren gibt $x^{2} - x - 2 = 0$ .
$x = 2$ oder $x = - 1$ , aber $1 = 1 \neq = - 1$ : $- 1$ ist eine Scheinlösung.

Dort bei $x = - 1$ gilt $1 \neq = - 1$ : Scheinlösung.

MerkeOhne Probe ist die Lösung nicht sicher.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Wurzel: Probe machen», Schritt 4

4Bedingung wird Gleichung

Bedingung		Gleichung
$geht durch P (x_{P} ∣ y_{P})$	→	$f (x_{P}) = y_{P}$
$hat bei x = - 1 den Wert 5$	→	$f (- 1) = 5$
$Nullstelle bei n$	→	$f (n) = 0$
$schneidet die y -Achse bei q$	→	$f (0) = q$

MerkeJede Bedingung ergibt genau eine Gleichung.

Bedingung		Gleichung
$geht durch P (2 ∣ 3)$	→	$f (2) = 3$
$Scheitel bei x = 1$	→	$- \frac{b}{2 a} = 1$
$Nullstelle bei 3$	→	$f (3) = 0$
$schneidet die y -Achse bei 4$	→	$f (0) = 4$

MerkeJede Bedingung ergibt genau eine Gleichung.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Bedingung wird Gleichung», Schritt 4

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Löse das System $x + 2 y = 5$ und $3 x - y = 8$ mit dem Einsetzungsverfahren.

I x + 2 y

=

5

II 3 x - y

=

8

Jede Gleichung ist eine Gerade: $I$ blau, $II$ orange.

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Variable freistellen
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
In die zweite einsetzen
…
3
Zweite Variable
…

Typische Fehler

✗
Bei Betragsgleichungen nur den positiven Fall rechnen.
✗
Bei Wurzelgleichungen die Probe weglassen und eine Scheinlösung behalten.
✗
Beim Additionsverfahren eine Seite der Gleichung nicht mitmultiplizieren.

Prüfungstipp

Übersetze jede Textbedingung in eine Gleichung: «geht durch $P$ » heisst $f (x_{P}) = y_{P}$ , «Nullstelle bei $3$ » heisst $f (3) = 0$ , «schneidet die y-Achse bei $4$ » heisst $f (0) = 4$ .

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an einer Abschlussprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Hilfsmittel legt deine Schule fest. Üben: Formelsammlung erlaubt, Taschenrechner nur, wo die Aufgabe es sagt.

2 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Gleichungssystem, Betrag, Wurzel und Parameter
Preise von Skitageskarten

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Abo.

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Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du löst Gleichungssysteme mit zwei und drei Unbekannten.
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Du löst Wurzelgleichungen und machst die Probe.

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Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

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