Lektion 02

Gleichungen & Ungleichungen I

Lineare und quadratische Gleichungen, Bruchgleichungen, Lösungsmenge

Grundlageca. 35 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

Die Waage ist im Gleichgewicht: $2 x + 1 = x + 4$ .

Nach dieser Lektion

Du löst lineare Gleichungen mit Äquivalenzumformungen.
Du löst quadratische Gleichungen mit der passenden Methode.
Du bestimmst bei Bruchgleichungen zuerst die Definitionsmenge.

An der Prüfung: Handwerk für fast alle Aufgaben: Wer Gleichungen und Bruchgleichungen sicher löst, verliert in den Folgeschritten keine Punkte.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

Links blau, rechts orange: je eine Gerade. Die Lösung liegt im Schnittpunkt.

Genau eine Lösung: $x = 3$ . Dort schneiden sich die Geraden.

Steigung links

a

Zahl links

b

Steigung rechts

c

Zahl rechts

d

true

$x$

$y$

Genau eine Lösung: $x = 3$ . Dort schneiden sich die Geraden.

Links blau, rechts orange: je eine Gerade. Die Lösung liegt im Schnittpunkt.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Finde eine Gleichung ohne Lösung.
(offen)
Stelle die Lösung $x = 2$ ein.
(offen)
Finde eine Gleichung mit unendlich vielen Lösungen.
(offen)

Entdecke:

Eine Gleichung lösen heisst, den Schnittpunkt zweier Geraden finden. Machst du beide Geraden gleich steil ( $a = c$ ), gibt es entweder keinen Schnittpunkt oder unendlich viele.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Äquivalenzumformungen

Gleichung		Umformung
$x - a = b$	→	$x = b + a (+ a)$
$a x = b$	→	$x = \frac{b}{a} (: a)$
$\frac{x}{a} = b$	→	$x = a b (\cdot a)$

Auf beiden Seiten dasselbe tun.
Nie mit $0$ multiplizieren oder dividieren.

Waage im Gleichgewicht.

MerkeDie Waage bleibt im Gleichgewicht.

Gleichung		Umformung
$x - 3 = 5$	→	$x = 8 (+ 3)$
$2 x = 6$	→	$x = 3 (: 2)$
$\frac{x}{4} = 2$	→	$x = 8 (\cdot 4)$

Bei $2 x = 6$ links und rechts $: 2$ , also $x = 3$ .
Mal $0$ gäbe $0 = 0$ : Die Lösung wäre verloren.

Beide Seiten halbieren (: 2): $x = 3$ .

MerkeDie Waage bleibt im Gleichgewicht.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Äquivalenzumformungen», Schritt 4

2Quadratische Gleichungen

a x^{2} + b x + c = 0

Gleichung		Weg
$x^{2} + 5 x = 0$	→	$x (x + 5) = 0$
$x^{2} = 16$	→	$x = \pm 4$
$x^{2} - x - 6 = 0$	→	$(x - 3) (x + 2) = 0$

Zuerst auf $= 0$ bringen.
Nicht durch $x$ teilen: Du verlierst $x = 0$ .

Der Graph von $y = x^{2} - x - 6$ ist eine gebogene Kurve, eine Parabel.

MerkeLösungen: wo der Graph die x-Achse trifft.

x^{2} - 2 x - 3 = 0

Gleichung		Weg
$x^{2} + 5 x = 0$	→	$x (x + 5) = 0$
$x^{2} = 16$	→	$x = \pm 4$
$x^{2} - x - 6 = 0$	→	$(x - 3) (x + 2) = 0$

Zuerst auf $= 0$ bringen: $x^{2} - 2 x = 3$ wird $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ .
Bei $x^{2} = 2 x$ nicht durch $x$ teilen: $x = 0$ ginge verloren.

Lösungen sind die Nullstellen: $x = - 1$ und $x = 3$ .

MerkeLösungen: wo der Graph die x-Achse trifft.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Quadratische Gleichungen», Schritt 4

3Bruchgleichungen

Nenner \neq = 0

1. Definitionsmenge $D$ festlegen.
2. Mit dem Hauptnenner (HN) multiplizieren: Jeder Term bekommt den Faktor, der ihm fehlt.
3. Lösungen mit $D$ vergleichen.

\frac{3}{x - 2}

=

\frac{2}{x}

Jeder Nenner hat seine Farbe: $x - 2$ und $x$ .

MerkeScheinlösungen streichen, die nicht in

D

liegen.

x - 2 \neq = 0, x \neq = 0

1. $D = R ∖ {0, 2}$ : alle Zahlen ausser $0$ und $2$ .
2. Mal $HN$ : $3 \cdot x = 2 \cdot (x - 2)$
3. $3 x = 2 x - 4$ gibt $x = - 4$ , und $- 4$ liegt in $D$ .

\frac{3}{x - 2}

=

\frac{2}{x}

kein Nenner darf

0

sein

x \neq = 2, x \neq = 0

HN

=

x \cdot (x - 2)

\cdot HN

3 \cdot x

=

2 \cdot (x - 2)

Jeder Term bekommt den Faktor, der ihm fehlt.

MerkeScheinlösungen streichen, die nicht in

D

liegen.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Bruchgleichungen», Schritt 4

4Ungleichungen

c < 0 : aus a < b wird c a > c b

Wie Gleichungen, aber mit einer Ausnahme.
Mit einer negativen Zahl multiplizieren oder dividieren: Zeichen dreht.

Durch eine negative Zahl teilen: Das Zeichen dreht.

MerkeNegativ multiplizieren: Zeichen umdrehen.

aus - 2 x < 6 wird x > - 3

Wie die Gleichung $- 2 x = 6$ mit $x = - 3$ , nur mit $<$ .
Durch $- 2$ teilen: Aus $<$ wird $>$ .

$x > - 3$ : alles rechts von $- 3$ .

MerkeNegativ multiplizieren: Zeichen umdrehen.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Ungleichungen», Schritt 4

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Löse $3 x + 1 = x + 9$ mit Äquivalenzumformungen.

3 x + 1

=

x + 9

Waage im Gleichgewicht: Was du links wegnimmst, nimmst du auch rechts weg.

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Auf beiden Seiten − x
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Auf beiden Seiten − 1
…
3
Beide Seiten : 2
…

Typische Fehler

✗
Durch $x$ teilen und dabei die Lösung $x = 0$ verlieren. Besser ausklammern.
✗
Bei Bruchgleichungen die Definitionsmenge vergessen.
✗
Bei Ungleichungen das Zeichen nicht umdrehen.

Prüfungstipp

Schreib die Definitionsmenge als Erstes hin. Das kann in der Prüfung schon Punkte geben, und du sortierst Scheinlösungen automatisch aus.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an einer Abschlussprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Hilfsmittel legt deine Schule fest. Üben: Formelsammlung erlaubt, Taschenrechner nur, wo die Aufgabe es sagt.

2 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Bruchgleichung, Textaufgabe und Ungleichung
Velotour hin und zurück

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Abo.

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Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du löst lineare Gleichungen mit Äquivalenzumformungen.
Du löst quadratische Gleichungen mit der passenden Methode.
Du bestimmst bei Bruchgleichungen zuerst die Definitionsmenge.

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Tippe bei jedem Lernziel an, wie sicher du dich fühlst. Dann siehst du hier, was du noch tun kannst.

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Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Eine Lehrperson antwortet meist innert 24 Stunden. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

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