Lektion 10

Schwingungen und Wellen

Harmonische Schwingung, Federpendel, Fadenpendel, Wellen, Schall

Prüfungsrelevantca. 50 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

Die Masse schwingt um die Ruhelage: Über der Zeit entsteht eine Sinuskurve.

Nach dieser Lektion

Du beschreibst eine harmonische Schwingung mit Amplitude, Periodendauer, Frequenz und Auslenkung.
Du berechnest die Periodendauer von Feder- und Fadenpendel.
Du rechnest mit $c = λ f$ und erklärst Schall, Reflexion und Interferenz.

An der Prüfung: Schwingungen und Wellen gehören zum Stoff der Mittelschule. Wie ausführlich sie behandelt werden, hängt von Schule und Richtung der Berufsmaturität ab.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

Links die Masse, rechts ihre Auslenkung $y (t)$ auf gleicher Höhe. Grün: Rückstellkraft $F$ .

Zeit

t

Nahe der Ruhelage: Mehr Energie ist Bewegungsenergie. In der Ruhelage ist die Masse am schnellsten, $v_{ma x} = 0, 15 m/s$ .

Masse

m

Federkonstante

D

Amplitude

A

true

Energie jetzt

E_{k in} = \frac{1}{2} m v^{2}

4,50mJ

E_{p o t} = \frac{1}{2} D y^{2}

0,00mJ

Summe E_{g es}

4,50mJ

$T = 2 π m / D$

1,26s

$f = 1/ T$

0,80Hz

$gr o ¨ sstes Tempo v_{ma x}$

0,15m/s

- Nahe der Ruhelage: Mehr Energie ist Bewegungsenergie. In der Ruhelage ist die Masse am schnellsten, $v_{ma x} = 0, 15 m/s$ .
- Nahe am Umkehrpunkt: Mehr Energie steckt in der gespannten Feder, $E_{p o t} \geq E_{k in}$ . Bei $\pm A$ steht die Masse kurz still.
$E_{k in}$ und $E_{p o t}$ tauschen dauernd, die Summe $E_{g es} = 4, 5 mJ$ bleibt. Die Amplitude ändert $T$ nicht, nur $m$ und $D$ zählen.

Links die Masse, rechts ihre Auslenkung $y (t)$ auf gleicher Höhe. Grün: Rückstellkraft $F$ .

Aufträge

0 von 3 geschafft

Stelle $m$ und $D$ so ein, dass $T$ genau eine Sekunde dauert.
(offen)
Verdopple die Masse auf 0,8 kg: Um welchen Faktor wächst $T$ ?
(offen)
Halte die Zeit an, wenn $E_{k in}$ und $E_{p o t}$ gleich gross sind.
(offen)

Entdecke:

Schau, wie die Masse links und der Punkt auf der Kurve rechts im Gleichschritt laufen. An den Umkehrpunkten ist der grüne Kraftpfeil am längsten und $v = 0$ , in der Ruhelage ist es umgekehrt. Vierfache Masse heisst doppelte Periodendauer: $T$ ist proportional zu $m$ . Die Pfeile $v$ und $F$ zeigen nur Richtung und Verlauf, ihre grösste Länge bleibt gleich. Energiebalken: voll heisst $E_{g es}$ dieses Versuchs.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Harmonische Schwingung

y (t) = A sin (\frac{2 π}{T} t), f = \frac{1}{T}

$A$ : Amplitude, die grösste Auslenkung.
$T$ : Periodendauer, $f$ : Frequenz in $Hz = 1/ s$ .
Harmonisch heisst: Die rücktreibende Kraft ist proportional zur Auslenkung, $F = - D y$ .

Sinuskurve: Start in der Ruhelage, dann nach oben.

MerkeFür

sin (2 π t / T)

muss der Taschenrechner auf Bogenmass (RAD) stehen.

y (t) f = 3 cm \cdot sin (\frac{2 π}{1 , 26 s} t) = \frac{1}{1 , 26 s} \approx 0, 80 Hz

$A = 3 cm$ : so weit schwingt die Masse über und unter die Ruhelage.
$T \approx 1, 26 s$ , also $f \approx 0, 80 Hz$ .
Bei $y = 3 cm$ : $F = - 10 \frac{N}{m} \cdot 0, 03 m = - 0, 3 N$ .

Periodendauer $T \approx 1, 26 s$ von Berg zu Berg, also $f \approx 0, 80 Hz$ .

MerkeAuf RAD:

y (0, 2 s) = 3 cm \cdot sin 1 \approx 2, 52 cm

. Im Gradmodus (DEG) falsch:

0, 05 cm

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Harmonische Schwingung», Schritt 4

2Federpendel und Fadenpendel

T = 2 π \frac{m}{D}, T = 2 π \frac{l}{g}

Feder: Mehr Masse oder weichere Feder macht $T$ grösser.
Faden: Nur die Länge $l$ zählt, nicht die Masse ( $g$ : Fallbeschleunigung).
Die Amplitude beeinflusst $T$ nicht (beim Faden für kleine Winkel).

Mit der Masse $m_{0}$ gehört die Periodendauer $T_{0}$ .

MerkeVierfache Masse oder Länge heisst doppeltes

T

2 π \frac{0 , 4 kg}{10 N/m} 2 π \frac{0 , 392 m}{9 , 81 m/s ^{2}} \approx 1, 26 s \approx 1, 26 s

Feder: $1, 6 kg$ statt $0, 4 kg$ gibt $T \approx 2, 51 s$ .
Faden: $0, 392 m$ lang gibt $1, 26 s$ , mit leichter oder schwerer Kugel.
Mit $A = 5 cm$ statt $3 cm$ : $T$ bleibt $1, 26 s$ .

$3, 6 kg$ : dreifaches $T$ , $3, 77 s$ .

MerkeVierfache Masse oder Länge heisst doppeltes

T

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Federpendel und Fadenpendel», Schritt 4

3Wellen

c = λ f = \frac{λ}{T}

Wellenlänge $λ$ : Abstand zweier Wellenberge. $c$ : Ausbreitungsgeschwindigkeit.
Eine Welle transportiert Energie, aber kein Material.
Quer (Seil, Wasser) oder längs (Schall) zur Ausbreitungsrichtung.

Momentaufnahme einer Welle: Die Schwingung läuft entlang $x$ weiter.

MerkeBei fester

c

gehört eine höhere Frequenz zu einer kürzeren Wellenlänge.

c = 2 m \cdot 2 Hz = \frac{2 m}{0 , 5 s} = 4 m/s

$λ = 2 m$ : von Wellenberg zu Wellenberg.
Das Seil schwingt nur auf und ab, die Welle läuft $4 m$ pro Sekunde weiter.
Die Seilwelle ist quer: Das Seil schwingt senkrecht zu $x$ .

$f = 2 Hz$ : Pro Sekunde laufen $2$ Wellen vorbei, $c = 2 m \cdot 2 s^{- 1} = 4 m/s$ .

MerkeMit

4 Hz

statt

2 Hz

wird

λ = 1 m

kurz.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Wellen», Schritt 4

4Schall und Interferenz

c_{Luft} \approx 343 m/s, s_{Echo} = \frac{c t}{2}

Schall ist eine Längswelle: Luft wird verdichtet und verdünnt.
Reflexion: Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel, am Fels hörst du ein Echo.
Interferenz: Berg auf Berg verstärkt, Berg auf Tal löscht aus.

Eine Welle mit der Amplitude $A$ .

MerkeAuslöschung bei einem Gangunterschied (Wegdifferenz) von

λ /2

s_{Echo} = \frac{343 m/s \cdot 1 , 0 s}{2} = 171, 5 m

Bei $1000 Hz$ liegen die verdichteten Stellen $34, 3 cm$ auseinander.
Das Echo kommt nach $1, 0 s$ : Der Fels ist $171, 5 m$ entfernt.
Zwei Wasserwellen mit je $1 cm$ : Berg auf Berg $2 cm$ , Berg auf Tal $0$ .

Zweite Welle in Gegenphase: Summe $0 cm$ , Auslöschung.

MerkeBei

1000 Hz

löschen sich die Wellen bei rund

17 cm

Gangunterschied aus.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Schall und Interferenz», Schritt 4

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Ein Federschwinger macht in $12 s$ genau $15$ volle Schwingungen. Die Amplitude beträgt $4 cm$ , er startet in der Ruhelage nach oben. Berechne $T$ und $f$ des Schwingers. Wie weit ist er nach $0, 1 s$ ausgelenkt?

Federschwinger mit $A = 4 cm$ : $15$ Schwingungen in $12 s$ .

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Gegeben, gesucht, Ansatz
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Formal
…
3
Numerisch
…

Typische Fehler

✗
$T$ und $f$ verwechseln: $f = 1/ T$ und $T = 1/ f$ , nicht $f = T$ .
✗
Beim Fadenpendel die Masse oder bei beiden Pendeln die Amplitude in die Formel für $T$ einsetzen: Beide spielen keine Rolle.
✗
Den Taschenrechner nicht auf Bogenmass (RAD) stellen, wenn $sin (2 π t / T)$ berechnet wird, oder $g$ , $m$ , $l$ nicht in kg, m und s einsetzen.

Prüfungstipp

Rechne zuerst alles in die Grundeinheiten kg, m und s um, bevor du in $T = 2 π m / D$ oder $c = λ f$ einsetzt: Gramm, Zentimeter und Millisekunden sind die häufigste Fehlerquelle.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an einer Abschlussprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Hilfsmittel legt deine Schule fest. Üben: Formelsammlung erlaubt, Taschenrechner nur, wo die Aufgabe es sagt.

2 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Federpendel, Fadenpendel und Schall
Turmuhr mit Pendel und Glocke

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Abo.

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Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du beschreibst eine harmonische Schwingung mit Amplitude, Periodendauer, Frequenz und Auslenkung.
Du berechnest die Periodendauer von Feder- und Fadenpendel.
Du rechnest mit $c = λ f$ und erklärst Schall, Reflexion und Interferenz.

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Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Eine Lehrperson antwortet meist innert 24 Stunden. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

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