Lektion 09

Winkel & Dreiecke

Winkelsätze, Winkelsumme, besondere Dreiecke und Vierecke

Prüfungsrelevantca. 35 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

Jedes Dreieck hat drei Winkel: $α$ (alpha), $β$ (beta) und $γ$ (gamma).

Nach dieser Lektion

Du erkennst Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel und rechnest damit.
Du nutzt die Winkelsumme in Dreieck, Viereck und Vieleck.
Du rechnest in gleichschenkligen und gleichseitigen Dreiecken.

An der Prüfung: Gehört zum Grundstoff der Aufnahmeprüfungen an FMS, Gymnasium und BMS. Oft als kleine Rechenaufgabe mit Skizze.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

$α + β + γ = 18 0^{\circ}$ , egal was du einstellst.

Winkel

α

Winkel

β

true

$α + β$

110°

$γ$

70°

$α + β + γ = 18 0^{\circ}$ , egal was du einstellst.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Stelle ein rechtwinkliges Dreieck ein.
(offen)
Mach es gleichseitig: alle drei Winkel gleich.
(offen)
Gleichschenklig mit $γ = 4 0^{\circ}$ : Welche zwei gleichen Winkel $α = β$ brauchst du?
(offen)

Entdecke:

Ändere $α$ : $γ$ schrumpft, und das Winkelband bleibt immer $18 0^{\circ}$ lang. Stell $α = β$ ein: Wo liegt dann die Ecke mit $γ$ ?

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Neben- und Scheitelwinkel

α + β = 18 0^{\circ}

Nebenwinkel liegen nebeneinander auf einer Geraden: zusammen $18 0^{\circ}$ .
Scheitelwinkel liegen sich gegenüber: gleich gross.

Zwei Geraden schneiden sich. Ein Winkel heisst $α$ .

MerkeGerade

= 18 0^{\circ}

. Gegenüber

=

gleich.

5 0^{\circ} + 13 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

Nebenwinkel: $18 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 13 0^{\circ}$ .
Scheitelwinkel: Gegenüber von $5 0^{\circ}$ liegen wieder $5 0^{\circ}$ .

Scheitelwinkel: gegenüber, auch $5 0^{\circ}$ .

MerkeGerade

= 18 0^{\circ}

. Gegenüber

=

gleich.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Neben- und Scheitelwinkel», Schritt 4

2Winkel an Parallelen

Name		Beziehung
$Stufenwinkel$	→	$α = α^{'}$
$Wechselwinkel$	→	$α = α^{'}$
$Erg a ¨ nzungswinkel$	→	$α + β = 18 0^{\circ}$

Das gilt nur, wenn $g ∥ h$ ist ( $g$ parallel zu $h$ ).
$α^{'}$ (alpha Strich) ist ein zweiter Winkel, so gross wie $α$ .

$g ∥ h$ , die Gerade $k$ schneidet beide. Ein Winkel: $α$ .

MerkeStufen- und Wechselwinkel: gleich. Ergänzungswinkel: zusammen

18 0^{\circ}

Name		Beziehung
$Stufenwinkel$	→	$6 5^{\circ} = 6 5^{\circ}$
$Wechselwinkel$	→	$6 5^{\circ} = 6 5^{\circ}$
$Erg a ¨ nzungswinkel$	→	$6 5^{\circ} + 11 5^{\circ} = 18 0^{\circ}$

Nur weil $g ∥ h$ ist, sind oben und unten beide $6 5^{\circ}$ .
Der Winkel unten heisst $α^{'}$ : wieder $6 5^{\circ}$ .

Ergänzungswinkel: $6 5^{\circ} + 11 5^{\circ} = 18 0^{\circ}$ .

MerkeStufen- und Wechselwinkel: gleich. Ergänzungswinkel: zusammen

18 0^{\circ}

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Winkel an Parallelen», Schritt 4

3Winkelsumme

(n - 2) \cdot 18 0^{\circ}

Figur		Winkelsumme
$Dreieck$	→	$18 0^{\circ}$
$Viereck$	→	$36 0^{\circ}$
$F u ¨ nfeck$	→	$54 0^{\circ}$
$Sechseck$	→	$72 0^{\circ}$

Vieleck mit $n$ Ecken: von einer Ecke aus in $n - 2$ Dreiecke zerlegen.
Regelmässig (alle Seiten und Winkel gleich): ein Winkel ist $\frac{( n - 2 ) \cdot 18 0 ^{\circ}}{n}$ .
Die Aussenwinkel ( $18 0^{\circ}$ minus Innenwinkel) ergeben zusammen immer $36 0^{\circ}$ .

Ein Vieleck mit $n$ Ecken.

MerkeJede Ecke mehr:

+ 18 0^{\circ}

(5 - 2) \cdot 18 0^{\circ} = 54 0^{\circ}

Figur		Winkelsumme
$Dreieck$	→	$18 0^{\circ}$
$Viereck$	→	$36 0^{\circ}$
$F u ¨ nfeck$	→	$54 0^{\circ}$
$Sechseck$	→	$72 0^{\circ}$

Zerlegen: $5 - 2 = 3$ Dreiecke.
Regelmässiges Fünfeck: ein Winkel ist $54 0^{\circ} : 5 = 10 8^{\circ}$ .
Aussenwinkel: $18 0^{\circ} - 10 8^{\circ} = 7 2^{\circ}$ , und $5 \cdot 7 2^{\circ} = 36 0^{\circ}$ .

$3 \cdot 18 0^{\circ} = 54 0^{\circ}$

MerkeJede Ecke mehr:

+ 18 0^{\circ}

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Winkelsumme», Schritt 4

4Besondere Dreiecke

γ = 18 0^{\circ} - 2 α

Dreieck		Winkel
$gleichschenklig$	→	$α = β$
$gleichseitig$	→	$α = β = γ = 6 0^{\circ}$
$rechtwinklig$	→	$α + β = 9 0^{\circ}$

Gleichschenklig: zwei gleich lange Seiten (Schenkel), Basiswinkel $α = β$ , Spitzenwinkel $γ$ .

Zwei gleich lange Seiten (Schenkel).

MerkeGleiche Seiten, gleiche Winkel gegenüber.

7 0^{\circ} = 18 0^{\circ} - 2 \cdot 5 5^{\circ}

Dreieck		Winkel
$gleichschenklig$	→	$5 5^{\circ} = 5 5^{\circ}$
$gleichseitig$	→	$6 0^{\circ} + 6 0^{\circ} + 6 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$
$rechtwinklig$	→	$5 5^{\circ} + 3 5^{\circ} = 9 0^{\circ}$

Gleichschenklig: zwei gleich lange Seiten (Schenkel), Basiswinkel $α = β$ , Spitzenwinkel $γ$ .

Spitzenwinkel: $18 0^{\circ} - 2 \cdot 5 5^{\circ} = 7 0^{\circ}$ .

MerkeGleiche Seiten, gleiche Winkel gegenüber.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Besondere Dreiecke», Schritt 4

5Besondere Vierecke

α = γ α + β = 18 0^{\circ}

Parallelogramm und Raute: Gegenüberliegende Winkel sind gleich gross.
Nachbarwinkel ergänzen sich zu $18 0^{\circ}$ , wie die Ergänzungswinkel an Parallelen.
Raute (vier gleich lange Seiten): Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.
Die Winkel bei $A, B, C, D$ heissen $α, β, γ, δ$ (delta).

Parallelogramm: Gegenseiten sind parallel.

MerkeGegenüber gleich, nebeneinander zusammen

18 0^{\circ}

7 0^{\circ} = 7 0^{\circ} 7 0^{\circ} + 11 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

$7 0^{\circ}$ bei $A$ : Gegenüber bei $C$ sind es auch $7 0^{\circ}$ .
Nachbarwinkel: $18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 11 0^{\circ}$ , wie die Ergänzungswinkel an Parallelen.
Raute: Die Diagonalen kreuzen sich unter $9 0^{\circ}$ .
Hier: $α = γ = 7 0^{\circ}$ und $β = δ = 11 0^{\circ}$ .

Nebeneinander: $7 0^{\circ} + 11 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ .

MerkeGegenüber gleich, nebeneinander zusammen

18 0^{\circ}

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Besondere Vierecke», Schritt 4

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Zwei Strassen kreuzen sich. Der stumpfe Winkel $α$ ist doppelt so gross wie sein Nebenwinkel $β$ . Berechne $α$ , $β$ und die beiden übrigen Winkel an der Kreuzung.

Zwei Geraden. Der stumpfe Winkel $α$ ist doppelt so gross wie $β$ .

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Nebenwinkel
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Scheitelwinkel
…
3
Probe
…

Typische Fehler

✗
Stufen- und Wechselwinkel verwechseln, oder sie benutzen, obwohl die Geraden nicht parallel sind.
✗
Bei der Winkelsumme vergessen: Dreieck $18 0^{\circ}$ , Viereck $36 0^{\circ}$ (nicht $18 0^{\circ}$ ).
✗
Im gleichschenkligen Dreieck den Spitzenwinkel mit einem Basiswinkel verwechseln. Die gleichen Winkel liegen an der Basis.

Prüfungstipp

Zeichne die Skizze gross ab und schreibe jeden berechneten Winkel gleich hinein. So siehst du, welche Winkel noch fehlen.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an der Aufnahmeprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Je nach Kanton ohne oder teilweise mit Taschenrechner. Unsere Aufgaben sind ohne Taschenrechner lösbar. Was in deinem Kanton gilt, steht auf der Kantons-Seite.

3 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Dachgiebel
Dreieck konstruieren und prüfen
Rautenfenster

Zurzeit gratis: Mit einem Gratis-Konto siehst du Aufgaben und Lösungswege.

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Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du erkennst Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel und rechnest damit.
Du nutzt die Winkelsumme in Dreieck, Viereck und Vieleck.
Du rechnest in gleichschenkligen und gleichseitigen Dreiecken.

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Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Eine Lehrperson antwortet meist innert 24 Stunden. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

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