Lektion 10

Flächen & Umfang

Rechteck, Dreieck, Parallelogramm, Trapez, Kreis, zusammengesetzte Figuren

Prüfungsrelevantca. 40 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

Rechteck: Länge mal Breite. Hier $6 \cdot 4 = 24$ Quadrate.

Nach dieser Lektion

Du berechnest Umfang und Fläche von Rechteck, Dreieck, Parallelogramm und Trapez.
Du rechnest mit dem Kreis: Umfang $u = 2 π r$ und Fläche $A = π r^{2}$ .
Du zerlegst zusammengesetzte Figuren und rechnest Flächeneinheiten um.

An der Prüfung: Gehört zum Grundstoff der Aufnahmeprüfungen an FMS, Gymnasium und BMS. Oft als zusammengesetzte Figur oder mit Einheiten umrechnen.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

Das grüne Rechteck (Breite $m$ ) hat dieselbe Fläche wie das Trapez.

Trapez: $A = m \cdot h = 6 \cdot 4$ mit $m = \frac{a + c}{2}$ .

untere Seite

a

obere Seite

c

Höhe

h

true

$Mittellinie m$

$Fl a ¨ che A$

$Umfang u$

20,9

Trapez: $A = m \cdot h = 6 \cdot 4$ mit $m = \frac{a + c}{2}$ .

Das grüne Rechteck (Breite $m$ ) hat dieselbe Fläche wie das Trapez.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Mach daraus ein Dreieck.
(offen)
Mach daraus ein Rechteck.
(offen)
Stell die Fläche $A = 18$ ein.
(offen)

Entdecke:

Ein Trapez ist die Familie hinter den Formen: $c = 0$ gibt ein Dreieck, $c = a$ ein Rechteck. Welche Formel wird dann aus $\frac{( a + c ) \cdot h}{2}$ ?

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Rechteck & Parallelogramm

A = g \cdot h

Die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite, nicht die schräge Seite.
Umfang des Rechtecks: $u = 2 (L a ¨ nge + Breite)$ .

Höhe $h$ senkrecht zur Grundseite $g$ .

MerkeParallelogramm = Rechteck mit gleicher Grundseite und Höhe.

A = 7 \cdot 6 = 42 cm^{2}

Die Höhe $h = 6$ cm steht senkrecht auf $g = 7$ cm.
Rechteck $7 \times 6$ cm: $u = 2 (7 + 6) = 26$ cm.

… rechts anlegen: Rechteck $7 \times 6$ , also $42 cm^{2}$ .

MerkeParallelogramm = Rechteck mit gleicher Grundseite und Höhe.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Rechteck & Parallelogramm», Schritt 4

2Dreieck & Trapez

Figur		Fläche
$Dreieck$	→	$\frac{g \cdot h}{2}$
$Trapez$	→	$\frac{( a + c ) \cdot h}{2}$

Trapez: Mittellinie $m = \frac{a + c}{2}$ mal Höhe $h$ .
Das Dreieck ist ein Trapez mit $c = 0$ .

Trapez mit den parallelen Seiten $a$ und $c$ , Höhe $h$ .

MerkeTrapez = mittlere Breite mal Höhe.

Figur		Fläche
$Dreieck$	→	$\frac{8 \cdot 4}{2} = 16$
$Trapez$	→	$\frac{( 8 + 4 ) \cdot 4}{2} = 24$

Trapez: Mittellinie $m = \frac{8 + 4}{2} = 6$ mal Höhe $4$ .
Mit $c = 0$ wird es das Dreieck mit $g = 8$ , $h = 4$ .

Gleich grosses Rechteck: $6 \cdot 4 = 24$ .

MerkeTrapez = mittlere Breite mal Höhe.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Dreieck & Trapez», Schritt 4

3Der Kreis

A = π r^{2}, u = 2 π r

Durchmesser $d = 2 r$ .
Ohne Taschenrechner: $π \approx 3, 14$ oder $π$ im Resultat stehen lassen.
Fläche: zuerst $r^{2}$ , dann mal $π$ .

Der Radius $r$ geht von der Mitte zum Rand.

Merke

r

ist der Radius, nicht der Durchmesser.

A = π \cdot 5^{2}, u = 2 π \cdot 5

Radius $5$ cm, also Durchmesser $d = 10$ cm.
$u \approx 2 \cdot 3, 14 \cdot 5 = 31, 4$ cm, oder genau $u = 10 π$ cm.
Fläche: zuerst $5^{2} = 25$ , dann $25 \cdot 3, 14 = 78, 5 cm^{2}$ .

Der Durchmesser ist $d = 2 \cdot 5 = 10$ cm.

Merke

r

ist der Radius, nicht der Durchmesser.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Der Kreis», Schritt 4

4Zerlegen & umrechnen

Flächeneinheit		Umrechnung
$1 cm^{2}$	→	$100 mm^{2}$
$1 dm^{2}$	→	$100 cm^{2}$
$1 m^{2}$	→	$100 dm^{2}$
$1 a (Are)$	→	$100 m^{2}$
$1 ha (Hektare)$	→	$10000 m^{2}$

Figur zerlegen: Teile addieren oder Ausschnitt subtrahieren.
Längen $\cdot 10$ heisst Flächen $\cdot 100$ .

Eine L-förmige Figur.

MerkeFlächen umrechnen: immer

\cdot 100

pro Stufe.

Flächeneinheit		Umrechnung
$1 cm^{2}$	→	$100 mm^{2}$
$1 dm^{2}$	→	$100 cm^{2}$
$1 m^{2}$	→	$100 dm^{2}$
$1 a (Are)$	→	$100 m^{2}$
$1 ha (Hektare)$	→	$10000 m^{2}$

Zerlegen: $30 + 9 = 39 m^{2}$ , oder abziehen: $48 - 9 = 39 m^{2}$ .
$1 m = 10 dm$ heisst mal $100$ : $39 m^{2} = 3900 dm^{2}$ .

Oder: Rechteck minus Ausschnitt, $48 - 9 = 39 m^{2}$ .

MerkeFlächen umrechnen: immer

\cdot 100

pro Stufe.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Zerlegen & umrechnen», Schritt 4

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Ein Parallelogramm hat die Grundseite $g = 8$ cm und die schräge Seite $5$ cm. Die Höhe misst $4$ cm. Berechne Fläche und Umfang.

Parallelogramm: $g = 8$ cm, schräge Seite $5$ cm.

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Höhe erkennen
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Fläche
…
3
Umfang
…

Typische Fehler

✗
Beim Dreieck das «durch $2$ » vergessen. Es ist ein halbes Rechteck.
✗
Beim Kreis den Durchmesser statt des Radius einsetzen oder $r^{2}$ mit $2 r$ verwechseln.
✗
Flächeneinheiten wie Längen umrechnen: Der Faktor ist $100$ , nicht $10$ .

Prüfungstipp

Schreib zuerst die Formel hin, dann erst die Zahlen. Beim Kreis darfst du $π$ stehen lassen: Das spart Rechenarbeit und Fehler.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an der Aufnahmeprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Je nach Kanton ohne oder teilweise mit Taschenrechner. Unsere Aufgaben sind ohne Taschenrechner lösbar. Was in deinem Kanton gilt, steht auf der Kantons-Seite.

3 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Pizza und Blech
Rasen im L-Garten
Stimmt die Behauptung?

Zurzeit gratis: Mit einem Gratis-Konto siehst du Aufgaben und Lösungswege.

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Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du berechnest Umfang und Fläche von Rechteck, Dreieck, Parallelogramm und Trapez.
Du rechnest mit dem Kreis: Umfang $u = 2 π r$ und Fläche $A = π r^{2}$ .
Du zerlegst zusammengesetzte Figuren und rechnest Flächeneinheiten um.

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Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Eine Lehrperson antwortet meist innert 24 Stunden. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

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