Lektion 08

Funktionen & Diagramme

Wertetabelle, Punkte im Koordinatensystem, Graph lesen, Geraden, Steigung, Tarifvergleich

Prüfungsrelevantca. 40 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

Taxi: 6 CHF Grundpreis plus 2 CHF pro km. Jede Fahrt ist ein Punkt.

Nach dieser Lektion

Du liest Punkte und Werte aus Wertetabelle, Koordinatensystem und Graph ab.
Du stellst für Alltagssituationen die Gleichung $y = m x + q$ auf.
Du berechnest, wo sich zwei Tarife kreuzen, und sagst, welcher günstiger ist.

An der Prüfung: Gehört zum Grundstoff der Aufnahmeprüfungen an FMS, Gymnasium und BMS. Lineare Funktionen erscheinen oft als Sachaufgabe mit Tarifen.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

Blau: Taxi A. Orange: Taxi B. Wo sie sich kreuzen, kosten beide gleich viel.

Bis 4 km ist Taxi A günstiger, danach Taxi B.

Taxi A: Grundpreis

q_{A}

Taxi A: Preis pro km

m_{A}

Taxi B: Grundpreis

q_{B}

Taxi B: Preis pro km

m_{B}

true

$Schnittpunkt: km$

$Schnittpunkt: CHF$

Bis 4 km ist Taxi A günstiger, danach Taxi B.

Blau: Taxi A. Orange: Taxi B. Wo sie sich kreuzen, kosten beide gleich viel.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Stelle zwei Taxis ein, die sich bei 6 km kreuzen.
(offen)
Mache Taxi B für jede Strecke günstiger.
(offen)
Finde zwei parallele Tarife.
(offen)

Entdecke:

Die Steigung ist der Preis pro km, der Startwert der Grundpreis. Wer billig startet, aber viel pro km verlangt, ist nur auf kurzen Strecken im Vorteil.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Wertetabelle und Punkte

P (x ∣ y)

Stunden x		Preis y (CHF)
$x_{1}$	→	$y_{1}$
$x_{2}$	→	$y_{2}$
$x_{3}$	→	$y_{3}$
$x_{4}$	→	$y_{4}$

Jede Zeile ist ein Punkt im Koordinatensystem.
$P_{1} (x_{1} ∣ y_{1})$ heisst: Punkt 1 mit den Werten $x_{1}$ und $y_{1}$ .
Erst $x$ nach rechts, dann $y$ nach oben.

Velo mieten: die ersten zwei Zeilen, $P_{1}$ und $P_{2}$ .

MerkeZuerst gehen (

x

), dann steigen (

y

P (2 ∣ 11)

Stunden x		Preis y (CHF)
$0$	→	$5$
$1$	→	$8$
$2$	→	$11$
$3$	→	$14$

Die Zeile « $2$ Stunden, $11$ CHF» ist der Punkt $(2 ∣ 11)$ .
$P_{3} (2 ∣ 11)$ : Punkt 3 mit $x_{3} = 2$ und $y_{3} = 11$ .
Erst $2$ nach rechts, dann $11$ nach oben.

Verbunden ergibt es eine Gerade.

MerkeZuerst gehen (

x

), dann steigen (

y

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Wertetabelle und Punkte», Schritt 4

2Gerade lesen

y = m x + q

$q$ : Startwert, hier schneidet die Gerade die $y$ -Achse.
$m$ : Steigung, so viel wächst $y$ pro 1 Einheit $x$ .
Funktionen $y = m x + q$ heissen linear: Ihr Graph ist eine Gerade.

Velo mieten: eine Gerade $y = m x + q$ .

Merke

q

ist der Start,

m

ist «pro Einheit».

y = 3 x + 5

$q = 5$ : Startwert, hier schneidet die Gerade die $y$ -Achse.
$m = 3$ : Pro Stunde wächst der Preis um $3$ CHF.
$y = 3 x + 5$ ist linear: Ihr Graph ist eine Gerade.

Pro Stunde $+ 3$ CHF: Steigung $m = 3$ .

Merke

q

ist der Start,

m

ist «pro Einheit».

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Gerade lesen», Schritt 4

3Steigung berechnen

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

Zwei Punkte der Geraden ablesen: $P$ und $Q$ .
$Δ x$ (Delta x) ist die Differenz $x_{2} - x_{1}$ , $Δ y$ ist $y_{2} - y_{1}$ .
$m > 0$ : steigt. $m < 0$ : fällt. $m = 0$ : waagrecht.

Gerade durch $P (x_{1} ∣ y_{1})$ und $Q (x_{2} ∣ y_{2})$ .

MerkeBeide Differenzen in derselben Reihenfolge rechnen.

m = \frac{2 - 6}{3 - 1} = - 2

Zwei Punkte der Geraden ablesen: $P (1 ∣ 6)$ und $Q (3 ∣ 2)$ .
$Δ x = 3 - 1 = 2$ und $Δ y = 2 - 6 = - 4$ .
$m = - 2 < 0$ : Die Gerade fällt.

Die Gerade fällt: $m = - 2$ .

MerkeBeide Differenzen in derselben Reihenfolge rechnen.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Steigung berechnen», Schritt 4

4Zwei Tarife vergleichen

m_{1} x + q_{1} = m_{2} x + q_{2}

Gleichsetzen (Tarif 1 mit $m_{1}$ , $q_{1}$ , Tarif 2 mit $m_{2}$ , $q_{2}$ ): Dort sind beide gleich teuer.
Rechne $x$ aus, dann den Preis mit einer der beiden Gleichungen.
Vor dem Schnittpunkt ist ein Tarif billiger, danach der andere.

Zwei Handyabos, Flex und Fix.

MerkeDer günstige Start gewinnt nicht immer.

5 x + 10 = x + 30

Gleichsetzen: Bei $5$ GB sind beide Abos gleich teuer.
$x = 5$ in Fix einsetzen: $5 + 30 = 35$ CHF.
Unter $5$ GB ist Flex billiger, darüber Fix.

Links ist Flex billiger, rechts Fix.

MerkeDer günstige Start gewinnt nicht immer.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Zwei Tarife vergleichen», Schritt 4

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Ein E-Scooter kostet 2 CHF Startgebühr plus 0,50 CHF pro Minute. Erstelle eine Wertetabelle für $0, 2, 4$ und $6$ Minuten, trage die Punkte ein und lies ab, wie lange du für 4,50 CHF fahren kannst.

Der Start: $2$ CHF, bevor du fährst.

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Tabelle und Punkte
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Verbinden
…
3
Ablesen
…

Typische Fehler

✗
$x$ und $y$ vertauschen: $P (3 ∣ 5)$ liegt $3$ nach rechts und $5$ hinauf, nicht umgekehrt.
✗
Steigung als $\frac{Δ x}{Δ y}$ rechnen oder die Differenzen in verschiedener Reihenfolge bilden.
✗
Beim Tarifvergleich nur den Grundpreis anschauen: Auch die Steigung entscheidet.

Prüfungstipp

Lies bei Sachaufgaben zuerst, was $x$ und was $y$ bedeutet und welche Einheit sie haben. Kontrolle am Schluss: Setze die Lösung in beide Gleichungen ein, beide müssen denselben Preis ergeben.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an der Aufnahmeprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Je nach Kanton ohne oder teilweise mit Taschenrechner. Unsere Aufgaben sind ohne Taschenrechner lösbar. Was in deinem Kanton gilt, steht auf der Kantons-Seite.

3 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Skiverleih im Skilager
Zwei Wassertanks
Gerade prüfen und Fehler finden

Zurzeit gratis: Mit einem Gratis-Konto siehst du Aufgaben und Lösungswege.

Gratis-Konto erstellen

Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du liest Punkte und Werte aus Wertetabelle, Koordinatensystem und Graph ab.
Du stellst für Alltagssituationen die Gleichung $y = m x + q$ auf.
Du berechnest, wo sich zwei Tarife kreuzen, und sagst, welcher günstiger ist.

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Schritt 8

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Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Eine Lehrperson antwortet meist innert 24 Stunden. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

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