Lektion 02

Brüche & Dezimalzahlen

Kürzen, Erweitern, Rechnen mit Brüchen, Dezimalzahlen

Grundlageca. 40 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

Ein Bruch zerlegt ein Ganzes in gleiche Teile: $\frac{3}{4}$ sind drei von vier.

Nach dieser Lektion

Du kürzt Brüche mit dem grössten gemeinsamen Teiler (ggT) und erweiterst sie.
Du findest den Hauptnenner (gemeinsamen Nenner) mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV).
Du addierst, subtrahierst, multiplizierst und dividierst Brüche.
Du wandelst Brüche in Dezimalzahlen um und umgekehrt.

An der Prüfung: Gehört zum Grundstoff der Aufnahmeprüfungen an FMS, Gymnasium und BMS. Meist ohne Taschenrechner.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

Beide Balken sind gleich lang gefärbt: Erweitern ändert den Wert nicht.

Nicht kürzbar: Zähler und Nenner haben keinen gemeinsamen Teiler.

Zähler

p

Nenner

q

Erweitern mit

k

true

$Wert$

0,75

$ggT$

Nicht kürzbar: Zähler und Nenner haben keinen gemeinsamen Teiler.

Beide Balken sind gleich lang gefärbt: Erweitern ändert den Wert nicht.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Stelle einen anderen Bruch ein, der gleich viel ist wie $\frac{1}{2}$ .
(offen)
Zeige $\frac{2}{3}$ im oberen Balken. Der untere soll in Zwölftel geteilt sein.
(offen)
Finde einen Bruch mit Nenner $8$ , der sich nicht kürzen lässt.
(offen)

Entdecke:

Erweitern schneidet feiner, der gefärbte Teil bleibt gleich lang. Kürzen ist das Gegenteil: gröber schneiden.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Kürzen und Erweitern

\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}

Zähler $a$ und Nenner $b$ mit derselben Zahl $k$ malnehmen oder teilen.
Der Wert bleibt gleich, nur die Teile werden feiner oder gröber.
Kürze mit dem ggT, dann bist du in einem Schritt fertig.

Zähler und Nenner haben den gemeinsamen Teiler $k$ .

MerkeKürzen und Erweitern ändern nie den Wert.

\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 6}{4 \cdot 6} = \frac{18}{24}

Zähler und Nenner mit $6$ malnehmen oder durch $6$ teilen.
$\frac{18}{24}$ ist gleich viel wie $\frac{3}{4}$ , nur feiner geteilt.
$ggT (18, 24) = 6$ : in einem Schritt von $\frac{18}{24}$ zu $\frac{3}{4}$ .

Beide durch $6$ : $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ .

MerkeKürzen und Erweitern ändern nie den Wert.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Kürzen und Erweitern», Schritt 4

2Addieren und Subtrahieren

\frac{a}{n} + \frac{c}{n} = \frac{a + c}{n}

Gleichnamig machen (gleicher Nenner): Hauptnenner $n$ = kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) der Nenner.
Jeder Bruch wird erweitert. Der Faktor hat die Farbe seines Bruchs.
Dann nur die Zähler $a$ und $c$ addieren, der Nenner $n$ bleibt.

n

=

kgV der Nenner

Verschieden grosse Teile kannst du nicht zusammenzählen.

MerkeNur gleich grosse Teile kannst du zusammenzählen.

\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3 + 2}{6} = \frac{5}{6}

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ : Hauptnenner $kgV (2, 3) = 6$ .
$\frac{1}{2}$ mal $3$ gibt $\frac{3}{6}$ , $\frac{1}{3}$ mal $2$ gibt $\frac{2}{6}$ .
Dann $3 + 2 = 5$ Sechstel: $\frac{5}{6}$ , der Nenner $6$ bleibt.

\frac{1}{2} + \frac{1}{3}

\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2}

\frac{3}{6} + \frac{2}{6}

=

\frac{5}{6}

Fünf Sechstel zusammen.

MerkeNur gleich grosse Teile kannst du zusammenzählen.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Addieren und Subtrahieren», Schritt 4

3Malnehmen und Teilen

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

Mal: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Vorher kürzen!
Geteilt: mit dem Kehrwert malnehmen (Zähler und Nenner vertauscht).
Teilen heisst: Wie oft passt der zweite Bruch hinein?

Der erste Bruch, in Teile vom zweiten geschnitten.

MerkeDurch einen Bruch teilen: mit dem Kehrwert malnehmen.

\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4} \frac{1}{2} : \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{1}

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}$ : Die $3$ oben und unten vorher kürzen, das gibt $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ .
$\frac{1}{2} : \frac{1}{6}$ : mit dem Kehrwert $\frac{6}{1} = 6$ malnehmen.
$\frac{1}{6}$ passt dreimal in $\frac{1}{2}$ , das Ergebnis ist $3$ .

$\frac{1}{2} : \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$

MerkeDurch einen Bruch teilen: mit dem Kehrwert malnehmen.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Malnehmen und Teilen», Schritt 4

4Bruch und Dezimalzahl

\frac{a}{b} = a : b

Bruch		Dezimalzahl
$\frac{1}{2}$	→	$0, 5$
$\frac{1}{4}$	→	$0, 25$
$\frac{3}{4}$	→	$0, 75$
$\frac{1}{5}$	→	$0, 2$
$\frac{1}{8}$	→	$0, 125$
$\frac{1}{3}$	→	$0, 3$

Bruch zu Dezimalzahl: Zähler durch Nenner teilen.
Dezimalzahl zu Bruch: Nenner $10$ , $100$ oder $1000$ , dann kürzen.
$0, 3$ heisst $0, 333 \dots$ : Die Ziffer unter dem Strich wiederholt sich ohne Ende.

Zwei Nachkommastellen: Hundertstel.

MerkeEin Bruch ist eine Division.

\frac{3}{4} = 3 : 4 = 0, 75

Bruch		Dezimalzahl
$\frac{1}{2}$	→	$0, 5$
$\frac{1}{4}$	→	$0, 25$
$\frac{3}{4}$	→	$0, 75$
$\frac{1}{5}$	→	$0, 2$
$\frac{1}{8}$	→	$0, 125$
$\frac{1}{3}$	→	$0, 3$

$\frac{3}{8}$ als Dezimalzahl: $3 : 8 = 0, 375$ .
$0, 35$ hat zwei Nachkommastellen: $\frac{35}{100}$ , mit $5$ gekürzt $\frac{7}{20}$ .
$\frac{2}{3} = 0, 6$ heisst $0, 666 \dots$ : Die $6$ wiederholt sich ohne Ende.

Mit $5$ kürzen: $\frac{35}{100} = \frac{7}{20}$ .

MerkeEin Bruch ist eine Division.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Malnehmen und Teilen», Schritt 4

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Kürze $\frac{36}{60}$ vollständig und schreibe den Bruch dann mit dem Nenner $20$ .

\frac{36}{60}

36 von 60 Teilen sind gefärbt.

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
ggT bestimmen
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Kürzen
…
3
Auf Nenner 20 erweitern
…

Typische Fehler

✗
Zähler und Nenner einzeln addieren: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ ist nicht $\frac{2}{5}$ . Erst gleichnamig machen.
✗
Beim Erweitern nur den Nenner malnehmen. Zähler und Nenner brauchen denselben Faktor.
✗
Beim Teilen durch einen Bruch den Kehrwert vergessen: $\frac{1}{2} : \frac{1}{4}$ ist $\frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ .

Prüfungstipp

Kürze vor dem Malnehmen: Du rechnest mit kleineren Zahlen und machst weniger Fehler. Gib das Ergebnis immer vollständig gekürzt an.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an der Aufnahmeprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Je nach Kanton ohne oder teilweise mit Taschenrechner. Unsere Aufgaben sind ohne Taschenrechner lösbar. Was in deinem Kanton gilt, steht auf der Kantons-Seite.

3 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Taschengeld, Rechnungen und Zahlengerade
Pizzaabend der Klasse
Rezept, Bruchfehler und Mitte

Zurzeit gratis: Mit einem Gratis-Konto siehst du Aufgaben und Lösungswege.

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Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du kürzt Brüche mit dem grössten gemeinsamen Teiler (ggT) und erweiterst sie.
Du findest den Hauptnenner (gemeinsamen Nenner) mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV).
Du addierst, subtrahierst, multiplizierst und dividierst Brüche.
Du wandelst Brüche in Dezimalzahlen um und umgekehrt.

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