Lektion 01

Zahlen & Rechenregeln

Vorrangregeln, negative Zahlen, Teilbarkeit, grösster gemeinsamer Teiler (ggT) und kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Grundlageca. 35 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

Zahlen gibt es auch unter null: Links von der Null liegen die Minuszahlen.

Nach dieser Lektion

Du rechnest Terme (Rechnungen aus Zahlen und Rechenzeichen) mit Klammern und Punkt-vor-Strich in der richtigen Reihenfolge.
Du rechnest mit negativen Zahlen: addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren.
Du bestimmst Teiler, ggT und kgV mit der Primfaktorzerlegung.

An der Prüfung: Gehört zum Grundstoff der Aufnahmeprüfungen an FMS, Gymnasium und BMS. Meist ohne Taschenrechner.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

Der Pfeil zeigt, wohin du beim Abziehen gehst.

Du ziehst etwas Positives ab: Der Pfeil zeigt nach links.

Start

a

Abziehen

b

true

$Ergebnis$

−3

$Bewegung$

−5

Du ziehst etwas Positives ab: Der Pfeil zeigt nach links.
Das Ergebnis liegt links von der Null: Es ist negativ.

Der Pfeil zeigt, wohin du beim Abziehen gehst.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Zieh etwas ab und lande trotzdem rechts vom Start.
(offen)
Lande bei genau $- 5$ , obwohl du mit einer positiven Zahl startest.
(offen)
Stelle $a - b = 7$ ein, mit negativem $b$ .
(offen)

Entdecke:

Eine negative Zahl abziehen heisst: nach rechts gehen. Darum gilt $a - (- b) = a + b$ .

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Rechenreihenfolge

2 + 3 \cdot 4 = 14

1. Klammern und Potenzen (eine Hochzahl zeigt, wie oft man malnimmt: $3^{2} = 3 \cdot 3$ ).
2. Mal und geteilt, von links nach rechts.
3. Plus und minus, von links nach rechts.

Welche Rechnung kommt zuerst?

MerkePunkt vor Strich, Klammern zuerst.

4 + 3 \cdot 2 = 10

1. Klammer, dann Potenz: $(1 + 2)^{2} = 9$ .
2. Von links: $12 : 2 \cdot 3 = 6 \cdot 3 = 18$ .
3. Von links: $10 - 4 + 3 = 6 + 3 = 9$ .

Dann plus: 4 + 6 = 10, also CHF 10.

MerkePunkt vor Strich, Klammern zuerst.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Rechenreihenfolge», Schritt 4

2Negative Zahlen

(-) \cdot (-) = +

Rechnung		Ergebnis
$5 - 8$	→	$- 3$
$- 3 - 4$	→	$- 7$
$5 - (- 2)$	→	$5 + 2 = 7$
$(- 3) \cdot (- 4)$	→	$+ 12$
$(- 3) \cdot 4$	→	$- 12$
$- 12 : (- 3)$	→	$+ 4$

Minus minus gibt plus.
Mal und geteilt: gleiche Vorzeichen $+$ , verschiedene $-$ .

$(- 3) \cdot 4$ : vier Sprünge von $- 3$ .

MerkeGerade Anzahl Minus gibt Plus.

(- 2) \cdot (- 5) = + 10

Rechnung		Ergebnis
$2 - 5$	→	$- 3$
$- 3 - 2$	→	$- 5$
$2 - (- 5)$	→	$2 + 5 = 7$
$(- 2) \cdot (- 5)$	→	$+ 10$
$(- 2) \cdot 5$	→	$- 10$
$- 10 : (- 5)$	→	$+ 2$

Minus minus gibt plus: $2 - (- 5) = 7$ .
$(- 2) \cdot (- 5)$ : gleiche Vorzeichen, $+ 10$ . $(- 2) \cdot 5$ : verschiedene, $- 10$ .

$(- 2) \cdot 5 = - 10$

MerkeGerade Anzahl Minus gibt Plus.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Rechenreihenfolge», Schritt 4

3Teilbarkeit und Primfaktoren

60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5

Teilbar durch		wenn
$2$	→	$Endziffer gerade$
$3$	→	$Quersumme durch 3$
$4$	→	$letzte zwei Ziffern durch 4$
$5$	→	$Endziffer 0 oder 5$
$9$	→	$Quersumme durch 9$
$10$	→	$Endziffer 0$

Primzahlen ( $2, 3, 5, 7, 11 \dots$ ) haben nur $1$ und sich selbst als Teiler.
Quersumme: alle Ziffern addiert, z. B. $504$ : $5 + 0 + 4 = 9$ .

Zerlege 60, bis nur Primzahlen übrig sind.

MerkeJede Zahl ist ein Produkt von Primzahlen.

90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

90 teilbar durch		denn
$2$	→	$Endziffer 0 ist gerade$
$3$	→	$Quersumme 9 durch 3$
$4$	→	$nein: 90 nicht durch 4$
$5$	→	$Endziffer 0$
$9$	→	$Quersumme 9 durch 9$
$10$	→	$Endziffer 0$

$5$ ist eine Primzahl: nur $1$ und $5$ teilen sie. $9 = 3 \cdot 3$ ist keine.
Quersumme von $90$ : $9 + 0 = 9$ , also durch $3$ und durch $9$ teilbar.

$90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$

MerkeJede Zahl ist ein Produkt von Primzahlen.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Teilbarkeit und Primfaktoren», Schritt 4

4ggT und kgV

ggT = 6 kgV = 36

ggT (grösster gemeinsamer Teiler): das, was beide Zahlen gemeinsam haben.
kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches): alle Faktoren, Gemeinsames nur einmal.
$2 \cdot 2 \cdot 2$ schreibt man kurz $2^{3}$ (die Hochzahl $3$ zeigt, wie oft man malnimmt). kgV: von jeder Primzahl die grösste Hochzahl, ggT: die kleinste.

$12 = 2 \cdot 3 \cdot 2$ und $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$

MerkeggT teilt beide Zahlen, das kgV wird von beiden geteilt. Probe:

ggT \cdot kgV = 12 \cdot 18

ggT = 4 kgV = 24

ggT: $8$ und $12$ haben $2 \cdot 2 = 4$ gemeinsam.
kgV: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 24$ , die gemeinsamen $2 \cdot 2$ nur einmal.
$8 = 2^{3}$ , $12 = 2^{2} \cdot 3$ : kgV $2^{3} \cdot 3$ , ggT $2^{2}$ .

Alles zusammen: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 24$ . Das ist das kgV.

MerkeggT teilt beide Zahlen, das kgV wird von beiden geteilt. Probe:

4 \cdot 24 = 96 = 8 \cdot 12

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «ggT und kgV», Schritt 4

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Berechne ohne Taschenrechner: $- 2 \cdot (5 - 8)^{2} + 18 : (- 3)$ .

Welche Rechnung kommt zuerst? Die Klammer.

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Klammer, dann Potenz
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Mal und geteilt
…
3
Plus und minus
…

Typische Fehler

✗
Von links nach rechts rechnen: $2 + 3 \cdot 4$ ergibt nicht $20$ , sondern $14$ .
✗
Bei $a - (- b)$ das zweite Minus vergessen: Das Ergebnis ist $a + b$ .
✗
ggT und kgV verwechseln: Der ggT ist nie grösser als die kleinere Zahl, das kgV nie kleiner als die grössere.

Prüfungstipp

Schreibe jeden Rechenschritt in eine eigene Zeile und kreise ein, was du gerade rechnest. So findest du Vorzeichenfehler sofort.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an der Aufnahmeprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Je nach Kanton ohne oder teilweise mit Taschenrechner. Unsere Aufgaben sind ohne Taschenrechner lösbar. Was in deinem Kanton gilt, steht auf der Kantons-Seite.

3 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Skilager, Terme und Fahrplan
Lift in der Tiefgarage
Nicos Fehler und zwei Behauptungen

Zurzeit gratis: Mit einem Gratis-Konto siehst du Aufgaben und Lösungswege.

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Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du rechnest Terme (Rechnungen aus Zahlen und Rechenzeichen) mit Klammern und Punkt-vor-Strich in der richtigen Reihenfolge.
Du rechnest mit negativen Zahlen: addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren.
Du bestimmst Teiler, ggT und kgV mit der Primfaktorzerlegung.

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Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Eine Lehrperson antwortet meist innert 24 Stunden. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

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