Lektion 03

Prozente & Zins

Grundwert, Prozentwert, Rabatt, Mehrwertsteuer, Zins

Sehr prüfungsrelevantca. 35 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

Sneakers kosten CHF 80. Das ist der Grundwert: $100 %$ .

Nach dieser Lektion

Du berechnest Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz.
Du rechnest Rabatt, Aufschlag und Mehrwertsteuer mit einem Faktor.
Du rechnest einfache Jahreszinsen und mehrere Prozentänderungen hintereinander.

An der Prüfung: Gehört zum Grundstoff der Aufnahmeprüfungen an FMS, Gymnasium und BMS. Oft ohne Taschenrechner.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

Endwert

=

100 % \cdot 0, 8 \cdot 0, 9

Faktoren multiplizieren, nicht Prozente addieren

=

72 %

Blau bleibt, rot fällt weg, grün kommt dazu, gestrichelt ist der Anfang.

Wirklich sind es $- 28 %$ , nicht $- 30 %$ .

Preis vorher

G

(CHF)

1. Änderung in %

2. Änderung in %

true

$Gesamtfaktor$

0,72

$Endwert$

72CHF

$Wirkliche A ¨ nderung$

−28%

Wirklich sind es $- 28 %$ , nicht $- 30 %$ .

Blau bleibt, rot fällt weg, grün kommt dazu, gestrichelt ist der Anfang.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Stell $- 30 %$ und dann $+ 20 %$ ein und lies den Gesamtfaktor ab.
(offen)
Stelle $+ 10 %$ und $- 10 %$ ein: Du bist nicht wieder bei $100 %$ .
(offen)
Finde zwei Aufschläge, die zusammen den Faktor $1, 5$ ergeben.
(offen)

Entdecke:

Jede Änderung bezieht sich auf den aktuellen Preis. Darum multiplizierst du die Faktoren: $0, 8 \cdot 0, 9 = 0, 72$ , nicht $0, 7$ .

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Prozentwert im Kopf

W = G \cdot \frac{p}{100}

Prozent		Kopfrechnen
$50 %$	→	$G : 2$
$25 %$	→	$G : 4$
$10 %$	→	$G : 10$
$1 %$	→	$G : 100$
$15 %$	→	$10 % + 5 %$

$G$ Grundwert (das Ganze, $100 %$ ), $p$ Prozentsatz, $W$ Prozentwert (der Teil).

Der Grundwert $G$ ist $100 %$ .

Merke

10 %

ist der Schlüssel zu fast jedem Prozentsatz.

36 = 240 \cdot \frac{15}{100}

Prozent		Kopfrechnen
$50 %$	→	$240 : 2 = 120$
$25 %$	→	$240 : 4 = 60$
$10 %$	→	$240 : 10 = 24$
$1 %$	→	$240 : 100 = 2, 4$
$15 %$	→	$24 + 12 = 36$

$G$ Grundwert (das Ganze, $100 %$ ), $p$ Prozentsatz, $W$ Prozentwert (der Teil).

$15 % = 24 + 12 = 36$

Merke

10 %

ist der Schlüssel zu fast jedem Prozentsatz.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Prozentwert im Kopf», Schritt 4

2Grundwert, Prozentsatz

Gesucht		Rechnung
$Prozentwert W$	→	$W = G \cdot \frac{p}{100}$
$Grundwert G$	→	$G = W \cdot \frac{100}{p}$
$Prozentsatz p$	→	$p = \frac{W}{G} \cdot 100 %$

Der Grundwert ist $100 %$ . Er steht nach dem Wort «von».

$25 %$ sind $W$ . Wie viel sind $100 %$ ?

MerkeDer Grundwert ist immer

100 %

Gesucht		Rechnung
$Prozentwert W$	→	$30 = 120 \cdot \frac{25}{100}$
$Grundwert G$	→	$120 = 30 \cdot \frac{100}{25}$
$Prozentsatz p$	→	$25 % = \frac{30}{120} \cdot 100 %$

« $25 %$ von $120$ sind $30$ »: Der Grundwert $120$ steht nach «von».

$G = 4 \cdot 30 = 120$

MerkeDer Grundwert ist immer

100 %

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Grundwert, Prozentsatz», Schritt 4

3Rabatt, Aufschlag, Mehrwertsteuer

neu = alt \cdot (1 \pm \frac{p}{100})

Änderung		Faktor
$- 20 % Rabatt$	→	$\cdot 0, 8$
$+ 25 % Aufschlag$	→	$\cdot 1, 25$
$+ 8, 1 % Mehrwertsteuer$	→	$\cdot 1, 081$
$- 20 % dann - 10 %$	→	$\cdot 0, 8 \cdot 0, 9 = 0, 72$

$\pm$ heisst: $+$ beim Aufschlag, $-$ beim Rabatt.
Die Mehrwertsteuer ( $8, 1 %$ ) wird auf den Preis ohne Steuer aufgeschlagen.

Alter Preis: $100 %$ .

MerkeProzentsätze nie addieren, wenn der Grundwert wechselt. Faktoren multiplizieren.

80 = 100 \cdot (1 - \frac{20}{100})

Änderung		Preis CHF 100
$- 20 % Rabatt$	→	$100 \cdot 0, 8 = 80$
$+ 25 % Aufschlag$	→	$100 \cdot 1, 25 = 125$
$+ 8, 1 % Mehrwertsteuer$	→	$100 \cdot 1, 081 = 108, 10$
$- 20 % dann - 10 %$	→	$100 \cdot 0, 72 = 72$

$\pm$ heisst: $+$ beim Aufschlag, $-$ beim Rabatt.
Die Mehrwertsteuer ( $8, 1 %$ ) wird auf den Preis ohne Steuer aufgeschlagen.

Nicht CHF 70: Der Grundwert ist beim zweiten Mal kleiner.

MerkeProzentsätze nie addieren, wenn der Grundwert wechselt. Faktoren multiplizieren.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Rabatt, Aufschlag, Mehrwertsteuer», Schritt 4

4Einfacher Jahreszins

Z = K \cdot \frac{p}{100} \cdot t

$Z$ Zins, $K$ Kapital (angelegtes Geld), $p$ Zinssatz pro Jahr, $t$ Zeit in Jahren.
Monate: $t = \frac{Monate}{12}$ .

Kapital $K$ zu $p %$ : jedes Jahr gleich viel Zins.

MerkeDer Zinssatz gilt pro Jahr: Die Zeit nie vergessen.

120 = 1000 \cdot \frac{4}{100} \cdot 3

$K = 1000$ CHF, $p = 4$ (also $4 %$ pro Jahr), $t = 3$ Jahre.
$6$ Monate: $t = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ , also nur $20$ CHF Zins.

Nach 3 Jahren: $120$ CHF. Jedes Jahr kommen 40 dazu.

MerkeDer Zinssatz gilt pro Jahr: Die Zeit nie vergessen.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Einfacher Jahreszins», Schritt 4

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Ein Velo kostet CHF $160$ . Für die Reservation zahlst du eine Anzahlung von $35 %$ . Wie viel sind das? Rechne im Kopf.

$100 %$ sind CHF 160, in zehn Kästchen geteilt.

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Zehn Prozent
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Zerlegen
…
3
Zusammenzählen
…

Typische Fehler

✗
$20 %$ und $10 %$ Rabatt zu $30 %$ zusammenzählen. Der zweite Rabatt bezieht sich auf den schon reduzierten Preis.
✗
Den Grundwert verwechseln: Der Rabatt gehört zum alten Preis, nicht zum neuen.
✗
Beim Zins die Zeit vergessen: Der Zinssatz gilt pro Jahr, 6 Monate sind $\frac{1}{2}$ Jahr.

Prüfungstipp

Schreib zuerst $G$ , $W$ und $p$ auf und markiere, was gesucht ist. Am Schluss prüfst du: Ist der Preis nach einem Rabatt kleiner als vorher?

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an der Aufnahmeprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Je nach Kanton ohne oder teilweise mit Taschenrechner. Unsere Aufgaben sind ohne Taschenrechner lösbar. Was in deinem Kanton gilt, steht auf der Kantons-Seite.

3 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Skilager-Budget
Velo im Ausverkauf
Preisänderung, Umfrage und Sparkonto

Zurzeit gratis: Mit einem Gratis-Konto siehst du Aufgaben und Lösungswege.

Gratis-Konto erstellen

Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du berechnest Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz.
Du rechnest Rabatt, Aufschlag und Mehrwertsteuer mit einem Faktor.
Du rechnest einfache Jahreszinsen und mehrere Prozentänderungen hintereinander.

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Tippe bei jedem Lernziel an, wie sicher du dich fühlst. Dann siehst du hier, was du noch tun kannst.

Mit einem Gratis-Konto wird dein Selbstcheck gespeichert und du (oder deine Eltern) siehst den Fortschritt über alle Themen. Gratis anmelden

Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Eine Lehrperson antwortet meist innert 24 Stunden. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

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