Lektion 11

Vektorgeometrie II

Geraden und Ebenen im Raum, Durchstosspunkt, Abstand, Kreuzprodukt

MatheSehr prüfungsrelevantca. 60 Min.Adaptiver Trainer

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In 30 Sekunden

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Eine Ebene $E$ im Raum.

Nach dieser Lektion

Du stellst Geradengleichungen im Raum und Koordinatengleichungen von Ebenen auf.
Du berechnest Durchstosspunkte und Abstände.
Du berechnest Flächen mit dem Kreuzprodukt.

An der Prüfung: Seit 2023 in jeder Prüfung: Ebenengleichungen, Durchstosspunkte, Abstände, windschiefe Geraden.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

true

Ebene $E : x + 2 y + 4 z = 4$ mit Normalenvektor $n$ blau. Gerade $g$ dunkel (gestrichelt: unter $E$ ) mit Stützpunkt $S$ ( $p$ ) und Richtung $v$ . Lot von $S$ auf $E$ orange, Durchstoss grün.

Durchstoss bei $t = - 0, 67$ im Punkt $D (- 1, 33 ∣ - 0, 67 ∣ 1, 67)$ .

Höhe des Stützpunkts

h

Richtung

v_{z}

$n \cdot v$

$4 - n \cdot p$

−4

$t beim Durchstoss$

−0,67

$Abstand d (S, E)$

0,87

Durchstoss bei $t = - 0, 67$ im Punkt $D (- 1, 33 ∣ - 0, 67 ∣ 1, 67)$ .

Ebene $E : x + 2 y + 4 z = 4$ mit Normalenvektor $n$ blau. Gerade $g$ dunkel (gestrichelt: unter $E$ ) mit Stützpunkt $S$ ( $p$ ) und Richtung $v$ . Lot von $S$ auf $E$ orange, Durchstoss grün.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Mach $g$ parallel zu $E$ , ohne dass sie in $E$ liegt.
(offen)
Lege $g$ in die Ebene.
(offen)
Lass $g$ die Ebene bei $t = 1$ durchstossen.
(offen)

Entdecke:

Bei welchem $v_{z}$ ist $n \cdot v = 0$ ? Und was passiert mit dem Durchstosspunkt, wenn du dich dieser Stellung näherst?

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Gerade im Raum

g : r = p + t v

$p$ ist der Stützpunkt, $v$ die Richtung.
Jedes $t$ liefert einen Punkt $r$ der Geraden.

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Stützpunkt $P$ und die Gerade $g$ .

MerkeStützpunkt plus Vielfache der Richtung.

g : r = 002 + t 21 0, 5

$p = (0 ∣ 0 ∣ 2)$ ist der Stützpunkt, $v = (2 ∣ 1 ∣ 0, 5)$ die Richtung.
$t = 2$ liefert $(0 + 4 ∣ 0 + 2 ∣ 2 + 1) = (4 ∣ 2 ∣ 3)$ .

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$t = 2$ : der Punkt $(4 ∣ 2 ∣ 3)$ .

MerkeStützpunkt plus Vielfache der Richtung.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Gerade im Raum», Schritt 4

2Kreuzprodukt

F = ∣ u \times v ∣

Komponente		Rechnung
$x$	→	$u_{y} v_{z} - u_{z} v_{y}$
$y$	→	$u_{z} v_{x} - u_{x} v_{z}$
$z$	→	$u_{x} v_{y} - u_{y} v_{x}$

Die Länge $F$ ist die Fläche des Parallelogramms aus $u$ und $v$ .
Das Ergebnis steht senkrecht auf $u$ und $v$ .
Jede Zeile nutzt die beiden anderen Komponenten in der Reihenfolge $x, y, z, x, \dots$

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Zwei Vektoren $u$ und $v$ .

MerkeRechnest du

n

aus, prüfe

n \cdot u = 0

F = 2 - 1 0 \times 02 - 1 = 21

Komponente		Rechnung
$x$	→	$(- 1) \cdot (- 1) - 0 \cdot 2 = 1$
$y$	→	$0 \cdot 0 - 2 \cdot (- 1) = 2$
$z$	→	$2 \cdot 2 - (- 1) \cdot 0 = 4$

Die Länge $1 + 4 + 16 = 21$ ist die Fläche des Parallelogramms.
$(1 ∣ 2 ∣ 4)$ steht senkrecht auf $u$ : $2 - 2 + 0 = 0$ , ebenso auf $v$ .
Zeile $y$ nutzt $z$ und $x$ : $0 \cdot 0 - 2 \cdot (- 1) = 2$ .

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$u \times v = (1 ∣ 2 ∣ 4)$ , Fläche $21 \approx 4, 58$ .

MerkeRechnest du

n

aus, prüfe

n \cdot u = 0

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Kreuzprodukt», Schritt 4

3Koordinatengleichung

E : a x + b y + c z = d

$n = (a ∣ b ∣ c)$ steht senkrecht auf $E$ .
Aus drei Punkten: $n = A B \times A C$ .
Dann einen Punkt einsetzen: Das liefert $d$ .

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Die Ebene $E$ , der Punkt $A$ liegt darin.

MerkeDie Koeffizienten sind der Normalenvektor.

E : 1 x + 2 y + 4 z = 4

$n = (1 ∣ 2 ∣ 4)$ steht senkrecht auf $E$ .
Aus $A (0 ∣ 0 ∣ 1)$ , $B (2 ∣ - 1 ∣ 1)$ , $C (0 ∣ 2 ∣ 0)$ : $A B \times A C = (1 ∣ 2 ∣ 4)$ .
$A$ einsetzen: $1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 4 \cdot 1 = 4$ , also $d = 4$ .

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$A B = (2 ∣ - 1 ∣ 0)$ und $A C = (0 ∣ 2 ∣ - 1)$ liegen in $E$ .

MerkeDie Koeffizienten

1, 2, 4

sind der Normalenvektor.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Koordinatengleichung», Schritt 4

4Durchstoss und Abstand

Abstand = \frac{∣ a x _{P} + b y _{P} + c z _{P} - d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

Durchstoss: Gerade in $E$ einsetzen, nach $t$ lösen.
Abstand mit der Abstandsformel (auch Hessesche Normalform genannt): Punkt $P$ einsetzen, durch $∣ n ∣$ teilen.

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Gerade $g$ und Ebene $E$ .

MerkeDer Nenner ist die Länge von

n

Abstand = \frac{∣ 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 4 \cdot 5 - 4∣}{1 ^{2} + 2 ^{2} + 4 ^{2}}

Durchstoss: $(3 - t) + 2 t + 4 (- 1 + t) = 4$ , also $t = 1$ und $D (2 ∣ 1 ∣ 0)$ .
Abstand: $P (1 ∣ 2 ∣ 5)$ einsetzen gibt $21$ , durch $∣ n ∣ = 21$ teilen.

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$P (1 ∣ 2 ∣ 5)$ : $d = \frac{21}{21} = 21 \approx 4, 58$

MerkeDer Nenner

21

ist die Länge von

n = (1 ∣ 2 ∣ 4)

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Durchstoss und Abstand», Schritt 4

Im Alltag

Wo dir das ausserhalb der Schule begegnet.

Gleitschirm

$g : r = (0 ∣ 0 ∣ 1200) + t (8 ∣ 6 ∣ - 1)$

Ein Gleitschirm startet bei $S (0 ∣ 0 ∣ 1200)$ und fliegt pro Sekunde $v = (8 ∣ 6 ∣ - 1)$ Meter. Auf 700 m Höhe landet er bei $t = 500$ , im Punkt $(4000 ∣ 3000 ∣ 700)$ .

Schatten

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Mastspitze $P (0 ∣ 0 ∣ 6)$ , Boden: die Ebene $z = 0$ .

Ein Sonnenstrahl durch die Spitze $P$ eines 6 m hohen Masts ist eine Gerade: $r = (0 ∣ 0 ∣ 6) + t (2 ∣ 1 ∣ - 1)$ . Sie durchstösst den Boden $z = 0$ bei $t = 6$ .

Dachfläche

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Dachkanten $u = (6 ∣ 0 ∣ 0)$ und $v = (0 ∣ 4 ∣ 3)$

Ein Dach wird von $u = (6 ∣ 0 ∣ 0)$ und $v = (0 ∣ 4 ∣ 3)$ aufgespannt (in Metern). Für Solarzellen ist $∣ u \times v ∣ = ∣ (0 ∣ - 18 ∣ 24) ∣ = 30$ m² Platz.

Drohne am Hang

Seitenansicht: Hang $E : 3 y - 4 z = 0$ und Drohne $P$ .

Eine Drohne bei $P (2 ∣ 10 ∣ 12)$ fliegt über dem Hang $E : 3 y - 4 z = 0$ (in Metern). Ihr Abstand zum Hang: $\frac{∣3 \cdot 10 - 4 \cdot 12∣}{5} = 3, 6$ m, weniger als die 4,5 m senkrecht darunter.

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Die Gerade $g$ geht durch $A (0 ∣ 2 ∣ 0)$ und $B (2 ∣ 1 ∣ 2)$ . In welchem Punkt durchstösst sie die Ebene $E : x + 2 y + 2 z = 12$ ?

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Die Ebene $E$ und die Punkte $A$ und $B$ .

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Gleichung von g
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
In E einsetzen
…
3
Durchstosspunkt
…

Typische Fehler

✗
Beim Kreuzprodukt die mittlere Komponente falsch berechnen (Reihenfolge $z x - x z$ ).
✗
Beim Abstand nicht durch $∣ n ∣$ teilen.
✗
Parallelität mit $n$ statt mit $n \cdot v = 0$ prüfen.

Prüfungstipp

Die Prüfungen geben oft eine Kontrolllösung an («Falls Sie (b) nicht lösen konnten, nehmen Sie $C (5 ∣ 6 ∣ - 2)$ »). Nutze sie! Auch wenn eine Teilaufgabe nicht klappt, kannst du die nächsten Punkte holen.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie in der Passerelle. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: An der echten Prüfung erlaubt: eine Formelsammlung und ein einfacher Taschenrechner (Casio FX-82 Solar oder TI-30 ECO RS). Quelle: Schweizerische Maturitätskommission (SMK).

2 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Ebene, Lotfusspunkt und Pyramide
Zwei Drohnen über einem Hang

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Abo.

Gratis-Konto erstellen

Danach: echte Prüfungen im Prüfungsarchiv.

Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du stellst Geradengleichungen im Raum und Koordinatengleichungen von Ebenen auf.
Du berechnest Durchstosspunkte und Abstände.
Du berechnest Flächen mit dem Kreuzprodukt.

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Tippe bei jedem Lernziel an, wie sicher du dich fühlst. Dann siehst du hier, was du noch tun kannst.

Mit einem Gratis-Konto wird dein Selbstcheck gespeichert und du (oder deine Eltern) siehst den Fortschritt über alle Themen. Gratis anmelden

Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Antwort von Ugi innert 2 Schultagen. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

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