Vektorgeometrie I

Vektoren, Länge, Skalarprodukt, Winkel, Geraden in 2D

Sehr prüfungsrelevantca. 45 Min.Adaptiver Trainer

Auf einen Blick

Ein Vektor ist ein Pfeil mit Richtung und Länge.

Nach dieser Lektion

✓
Du rechnest mit Vektoren: Verbindungsvektor, Länge, Mittelpunkt.
✓
Du berechnest Winkel mit dem Skalarprodukt.
✓
Du erkennst rechte Winkel an $a \cdot b = 0$ .

An der Prüfung: Eine ganze Prüfungsaufgabe (ca. 10 von 40 Punkten) ist fast immer Vektorgeometrie.

Schritt 2

Entdecken

Spiel zuerst. Formeln ergeben mehr Sinn, wenn du schon gesehen hast, was sie tun.

a blau, b orange, Summe grün, Differenz violett.

a = (1 3), b = (3 1) a \cdot b = (3) (1) + (1) (3) = 6

a

nach rechts3

a

nach oben1

b

nach rechts1

b

nach oben3

$a \cdot b$

$φ$

53,1°

$a \cdot b = 6 > 0$ : spitzer Winkel.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Mach die Vektoren senkrecht.
(offen)
Stelle einen stumpfen Winkel ein.
(offen)
Die Summe $a + b$ soll $(2 4)$ sein.
(offen)

Entdecke:

Dreh $b$ um $a$ herum. Bei welchem Skalarprodukt steht der Winkel genau auf $9 0^{\circ}$ ?

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Verbindungsvektor

A B = B - A

Spitze minus Fuss: Koordinaten einzeln subtrahieren.
Mittelpunkt: $M = \frac{1}{2} (A + B)$

$A (1 ∣ 1)$ und $B (4 ∣ 3)$

MerkeSpitze minus Fuss, nie umgekehrt.

2Länge

∣ v ∣ = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}

Vektor		Länge
$(4 3)$	→	$9 + 16 = 5$
$212$	→	$4 + 1 + 4 = 3$
$(1 1)$	→	$2 \approx 1, 41$

Quadrate der Komponenten addieren, dann die Wurzel ziehen.

MerkeDie Wurzel nicht vergessen.

3Skalarprodukt und Winkel

a \cdot b = a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} + a_{z} b_{z}

$cos φ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ ∣ b ∣}$
Beide Vektoren zeigen vom Scheitel des Winkels weg.

$a \cdot b = 8 + 3 = 11 > 0$ : spitzer Winkel.

MerkeSkalarprodukt

0

heisst: rechter Winkel.

4Parallelogramm und Rhombus

D = A + B C

$A B C D$ : Gegenüberliegende Seiten sind gleiche Vektoren, $A B = D C$ .
Die Diagonalen halbieren sich.
Rhombus: zusätzlich $∣ A B ∣ = ∣ A D ∣$ .

Gegeben $A$ , $B$ , $C$ , gesucht $D$ .

MerkeDieselbe Verschiebung wie von

B

nach

C

Schritt 4

Musterbeispiel

Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

A (1 ∣ 1 ∣ 0), B (3 ∣ 2 ∣ 2), C (- 1 ∣ 3 ∣ 1) . Zeige, dass das Dreieck A B C bei A rechtwinklig und gleichschenklig ist. Berechne die Fläche und ergänze es zum Quadrat A B D C .

↻ zum Drehen ziehen

Das Dreieck $A B C$ im Raum.

Wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Vektoren ab A
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Rechter Winkel
…
3
Gleich lang
…
4
Vierter Punkt
…

Typische Fehler

✗
$A B$ als $A - B$ rechnen.
✗
Den Winkel zwischen den falschen Vektoren berechnen. Beide müssen vom Scheitel des Winkels weg zeigen.
✗
Beim Betrag die Wurzel vergessen.

Prüfungstipp

Der grösste Winkel liegt immer gegenüber der längsten Seite. Berechne zuerst alle Längen, dann weisst du, welchen Winkel du brauchst.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du rechnest mit Vektoren: Verbindungsvektor, Länge, Mittelpunkt.
Du berechnest Winkel mit dem Skalarprodukt.
Du erkennst rechte Winkel an $a \cdot b = 0$ .

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