Vektorgeometrie II

Geraden und Ebenen im Raum, Durchstosspunkt, Abstand, Kreuzprodukt

Sehr prüfungsrelevantca. 60 Min.Adaptiver Trainer

Auf einen Blick

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Eine Ebene $E$ im Raum.

Nach dieser Lektion

✓
Du stellst Parameter- und Koordinatengleichungen von Ebenen auf.
✓
Du berechnest Durchstosspunkte und Abstände.
✓
Du berechnest Flächen mit dem Kreuzprodukt.

An der Prüfung: Seit 2023 in jeder Prüfung: Ebenengleichungen, Durchstosspunkte, Abstände, windschiefe Geraden.

Schritt 2

Entdecken

Spiel zuerst. Formeln ergeben mehr Sinn, wenn du schon gesehen hast, was sie tun.

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Ebene blau, Gerade dunkel, Durchstoss grün, Lot orange.

g : r = 002 + t 21 0, 5

Höhe des Stützpunkts

h

2Richtung

v_{z}

0,5

$n \cdot v$

$t$

−0,67

$d (S, E)$

0,87

Durchstoss bei $t = - 0, 67$ im Punkt $D (- 1, 33 ∣ - 0, 67 ∣ 1, 67)$ .

Aufträge

0 von 3 geschafft

Mach $g$ parallel zu $E$ , ohne dass sie in $E$ liegt.
(offen)
Lege $g$ in die Ebene.
(offen)
Lass $g$ die Ebene bei $t = 1$ durchstossen.
(offen)

Entdecke:

Bei welchem $v_{z}$ ist $n \cdot v = 0$ ? Und was passiert mit dem Durchstosspunkt, wenn du dich dieser Stellung näherst?

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Gerade im Raum

g : r = p + t v

$p$ ist der Stützpunkt, $v$ die Richtung.
Jedes $t$ liefert einen Punkt der Geraden.

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Stützpunkt $P (1 ∣ 0 ∣ 0)$ und die Gerade $g$ .

MerkeStützpunkt plus Vielfache der Richtung.

2Koordinatengleichung

E : a x + b y + cz = d

$n = (a, b, c)$ steht senkrecht auf $E$ .
Aus drei Punkten: $n = A B \times A C$ .
Dann einen Punkt einsetzen: Das liefert $d$ .

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$E : x + 2 y + 4 z = 4$ , der Punkt $F (0 ∣ 0 ∣ 1)$ liegt darin.

MerkeDie Koeffizienten sind der Normalenvektor.

3Kreuzprodukt

F = ∣ u \times v ∣

Komponente		Rechnung
$x$	→	$u_{y} v_{z} - u_{z} v_{y}$
$y$	→	$u_{z} v_{x} - u_{x} v_{z}$
$z$	→	$u_{x} v_{y} - u_{y} v_{x}$

Das Ergebnis steht senkrecht auf $u$ und $v$ .
Jede Zeile nutzt die beiden anderen Komponenten, zyklisch.

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$u = (2 ∣ - 1 ∣ 0)$ , $v = (0 ∣ 2 ∣ - 1)$

MerkeRechnest du

n

aus, prüfe

n \cdot u = 0

4Durchstoss und Abstand

d = \frac{∣ a x _{P} + b y _{P} + c z _{P} - d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

Durchstoss: Gerade in $E$ einsetzen, nach $t$ lösen.
Abstand: Punkt einsetzen, durch $∣ n ∣$ teilen.

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Gerade $g$ und Ebene $E : x + 2 y + 4 z = 4$ .

MerkeDer Nenner ist die Länge von

n

Schritt 4

Musterbeispiel

Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Zeige, dass die Gerade g : r = 125 + t 21 - 1 parallel zur Ebene E : x + 2 y + 4 z = 4 liegt, und bestimme ihren Abstand von E .

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Gerade $g$ und Ebene $E : x + 2 y + 4 z = 4$ .

Wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Parallel prüfen
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Liegt g nicht in E?
…
3
Abstand mit Hesse
…

Typische Fehler

✗
Beim Kreuzprodukt die mittlere Komponente falsch berechnen (Reihenfolge $z x - x z$ ).
✗
Beim Abstand nicht durch $∣ n ∣$ teilen.
✗
Parallelität mit $n$ statt mit $n \cdot v = 0$ prüfen.

Prüfungstipp

Die Prüfungen geben oft eine Kontrolllösung an («Falls Sie (b) nicht lösen konnten, nehmen Sie $C (5 ∣ 6 ∣ - 2)$ »). Nutze sie! Auch wenn eine Teilaufgabe nicht klappt, kannst du die nächsten Punkte holen.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie in der Passerelle. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

1 Aufgabe auf Prüfungsniveau

Ebene, Lotfusspunkt und Pyramide

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Abo.

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Danach: echte Prüfungen im Prüfungsarchiv.

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du stellst Parameter- und Koordinatengleichungen von Ebenen auf.
Du berechnest Durchstosspunkte und Abstände.
Du berechnest Flächen mit dem Kreuzprodukt.

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