Trigonometrie I

sin, cos, tan im rechtwinkligen Dreieck, Einheitskreis, Bogenmass

Prüfungsrelevantca. 40 Min.Adaptiver Trainer

Auf einen Blick

Ein rechtwinkliges Dreieck mit Winkel $α$ .

Nach dieser Lektion

✓
Du berechnest Seiten und Winkel in rechtwinkligen Dreiecken.
✓
Du verstehst $sin$ und $cos$ am Einheitskreis.
✓
Du rechnest zwischen Grad- und Bogenmass um und kennst die exakten Werte.

An der Prüfung: Dreiecksberechnungen kommen in Geometrie- und Vektoraufgaben, das Bogenmass bei trigonometrischen Funktionen.

Schritt 2

Entdecken

Spiel zuerst. Formeln ergeben mehr Sinn, wenn du schon gesehen hast, was sie tun.

Winkel

α

40°

cos α

0,766

sin α

0,643

Bogenmass: $α = 0, 698$ . Probier aus: Bei welchen zwei Winkeln ist $sin α = 0, 5$ ? Sie liegen symmetrisch zur y-Achse.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1SOH CAH TOA

Funktion		Verhältnis
$sin α$	→	$\frac{G}{H}$
$cos α$	→	$\frac{A}{H}$
$tan α$	→	$\frac{G}{A}$

$G$ liegt gegenüber $α$ , $A$ daneben, $H$ ist die längste Seite.

Merke

G

= Gegenkathete (gegenüber

α

A

= Ankathete (neben

α

2Der Einheitskreis

P (cos α ∣ sin α)

Kreis mit Radius 1, Winkel von der x-Achse gegen den Uhrzeigersinn.
$cos$ ist die x-Koordinate, $sin$ die y-Koordinate.

$0^{\circ} < α < 9 0^{\circ}$ : $cos$ und $sin$ positiv.

MerkeBlau:

cos

, orange:

sin

. Das Vorzeichen folgt dem Quadranten.

3Bogenmass

18 0^{\circ} = π \Rightarrow x = α \cdot \frac{π}{18 0 ^{\circ}}

Grad		Bogenmass
$3 0^{\circ}$	→	$\frac{π}{6}$
$4 5^{\circ}$	→	$\frac{π}{4}$
$6 0^{\circ}$	→	$\frac{π}{3}$
$9 0^{\circ}$	→	$\frac{π}{2}$
$36 0^{\circ}$	→	$2 π$

Einheitskreis: Radius $r = 1$ .

MerkeAbleiten und Integrieren von

sin

cos

: immer im Bogenmass.

4Exakte Werte

Winkel		sin \| cos \| tan
$0^{\circ}$	→	$0 ∣ 1 ∣ 0$
$3 0^{\circ}$	→	$\frac{1}{2} ∣ \frac{3}{2} ∣ \frac{3}{3}$
$4 5^{\circ}$	→	$\frac{2}{2} ∣ \frac{2}{2} ∣ 1$
$6 0^{\circ}$	→	$\frac{3}{2} ∣ \frac{1}{2} ∣ 3$
$9 0^{\circ}$	→	$1 ∣ 0 ∣ n. d.$

Der Viertelkreis von $0^{\circ}$ bis $9 0^{\circ}$ .

Merke

sin

\frac{0}{2}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, \frac{4}{2}

cos

läuft rückwärts.

Schritt 4

Musterbeispiel

Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Von einem Punkt in 50 m Entfernung sieht man die Spitze eines Turms unter 3 2^{\circ} . Wie hoch ist der Turm?

Ein Turm in 50 m Entfernung, Spitze unter $3 2^{\circ}$ .

Wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Skizze
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Funktion wählen
…
3
Rechnen
…

Typische Fehler

✗
Den Rechner im falschen Modus (RAD statt DEG oder umgekehrt) haben.
✗
Gegen- und Ankathete verwechseln: Sie hängen vom Winkel ab, den du betrachtest.
✗
$sin^{- 1}$ als $\frac{1}{s i n}$ lesen. Es ist die Umkehrfunktion $arcsin$ .

Prüfungstipp

Zeichne immer zuerst eine Skizze und markiere den Winkel. 80 % der Fehler in der Trigonometrie sind Zuordnungsfehler, keine Rechenfehler.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du berechnest Seiten und Winkel in rechtwinkligen Dreiecken.
Du verstehst $sin$ und $cos$ am Einheitskreis.
Du rechnest zwischen Grad- und Bogenmass um und kennst die exakten Werte.

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