Logarithmen

Definition, Logarithmengesetze, Exponential- und Log-Gleichungen

Prüfungsrelevantca. 40 Min.Adaptiver Trainer

Auf einen Blick

Welcher Exponent macht aus $2$ die $8$ ?

Nach dieser Lektion

✓
Du verstehst $lo g_{b} (x)$ als «Welcher Exponent?».
✓
Du wendest die drei Logarithmengesetze an.
✓
Du löst Exponential- und Logarithmusgleichungen und beachtest den Definitionsbereich.

An der Prüfung: Regelmässig in den Kurzaufgaben: Definitionsbereich von $ln$ -Funktionen, Gleichungen, Ableitungen.

Schritt 2

Entdecken

Spiel zuerst. Formeln ergeben mehr Sinn, wenn du schon gesehen hast, was sie tun.

Der Wert $v$ steht auf der y-Achse, der Exponent auf der x-Achse.

lo g_{2} (8) = ? ⟺ 2^{?} = 8

Basis

b

2Wert

v

$lo g_{b} v$

$Probe: b^{l o g_{b} v}$

$v > 1$ : Der Exponent ist positiv.
Genau: $2^{3} = 8$ , also $lo g_{2} 8 = 3$ .

Aufträge

0 von 3 geschafft

Finde $b$ und $v$ mit $lo g_{b} v = 2$ .
(offen)
Finde $v$ mit $lo g_{b} v = 0$ .
(offen)
Finde ein $v$ mit negativem Logarithmus.
(offen)

Entdecke:

Die Graphen sind Spiegelbilder an $y = x$ : $lo g_{b}$ macht $b^{x}$ rückgängig.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Definition

lo g_{b} (x) = y ⟺ b^{y} = x

Potenz		Logarithmus
$2^{3} = 8$	→	$lo g_{2} 8 = 3$
$1 0^{2} = 100$	→	$lo g 100 = 2$
$e^{0} = 1$	→	$ln 1 = 0$

Nur für $x > 0$ definiert.
$ln$ hat die Basis $e$ , $lo g$ die Basis 10.

MerkeDer Logarithmus ist der gesuchte Exponent.

2Die drei Gesetze

Zusammen		Zerlegt
$lo g (u \cdot v)$	→	$lo g u + lo g v$
$lo g \frac{u}{v}$	→	$lo g u - lo g v$
$lo g (u^{k})$	→	$k \cdot lo g u$

log₂ 42

$lo g_{2} 4 = 2$

Merke

lo g (u + v)

lässt sich nicht zerlegen.

3Exponentialgleichung

b^{x} = c \Rightarrow x = \frac{ln c}{ln b}

Beide Seiten logarithmieren.
Gesetz 3 holt den Exponenten herunter.

$2^{x} = 5$ : Wo trifft $2^{x}$ die Höhe 5?

MerkeDer Logarithmus holt die Unbekannte aus dem Exponenten.

4Definitionsbereich

ln (g (x)) \Rightarrow g (x) > 0

Zuerst $D$ bestimmen, am Ende die Lösungen prüfen.

$y = ln x$ gibt es nur für $x > 0$ .

MerkeScheinlösungen mit

x \in / D

streichen.

Schritt 4

Musterbeispiel

Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Löse die Gleichung 2 ln x - ln (x + 3) = ln 4 .

Linke Seite (blau) und $ln 4$ (orange).

Wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Definitionsbereich
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Gesetze anwenden
…
3
ln weglassen
…
4
Definitionsbereich prüfen
…

Typische Fehler

✗
$lo g (u + v)$ in $lo g u + lo g v$ zerlegen. Das gilt nur für Produkte!
✗
Den Definitionsbereich vergessen und Scheinlösungen behalten.
✗
$ln$ und $lo g$ verwechseln: Am Rechner ist «log» die Basis 10.

Prüfungstipp

Siehst du $ln x$ zweimal in verschiedenen Potenzen, ist Substitution fast immer der Schlüssel.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

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1 Aufgabe auf Prüfungsniveau

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Du verstehst $lo g_{b} (x)$ als «Welcher Exponent?».
Du wendest die drei Logarithmengesetze an.
Du löst Exponential- und Logarithmusgleichungen und beachtest den Definitionsbereich.

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