Lektion 13

Ableitung & Kurvendiskussion

Ableitungsregeln, Tangenten, Extrema, Wendepunkte, Extremwertaufgaben

MatheSehr prüfungsrelevantca. 60 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

Bergauf zeigt die Tangente nach oben: Die Steigung ist positiv.

Nach dieser Lektion

Du leitest Polynome, $e^{x}$ , $ln x$ , $sin x$ und Produkte/Verkettungen ab.
Du führst eine vollständige Kurvendiskussion durch.
Du löst Extremwertaufgaben mit Haupt- und Nebenbedingung.

An der Prüfung: Aufgabe 1 der Passerelle ist fast immer eine Kurvendiskussion, dazu kommt regelmässig eine Extremwertaufgabe.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

true

$f (x) = - x^{3} + 3 x^{2}$ mit Tangente und Steigungsdreieck: $m = f^{'} (x_{0})$ .

Steigt: $f^{'} (x_{0}) > 0$ , die Tangente zeigt nach oben.

Stelle

x_{0}

$f (x_{0})$

1,41

$f^{'} (x_{0})$

2,88

Steigt: $f^{'} (x_{0}) > 0$ , die Tangente zeigt nach oben.

$f (x) = - x^{3} + 3 x^{2}$ mit Tangente und Steigungsdreieck: $m = f^{'} (x_{0})$ .

Aufträge

0 von 3 geschafft

Schieb die Tangente auf den Hochpunkt.
(offen)
Finde die Stelle mit der grössten Steigung.
(offen)
Finde eine Stelle mit Steigung $- 9$ . Es gibt zwei.
(offen)

Entdecke:

Wo ist $f^{'} (x_{0}) = 0$ , und wie liegt die Tangente an diesen Stellen? Wo ist $f$ am steilsten, und wie gross ist $f^{'} (x_{0})$ dort?

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Regeln

Funktion		Ableitung
$x^{n}$	→	$n x^{n - 1}$
$\frac{1}{x} = x^{- 1}$	→	$- \frac{1}{x ^{2}}$
$e^{x}$	→	$e^{x}$
$ln x$	→	$\frac{1}{x}$
$sin x$	→	$cos x$
$cos x$	→	$- sin x$

Produktregel: $(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
Kettenregel: $(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ (innere Ableitung $g^{'}$ )

MerkeInnere Ableitung nicht vergessen:

(e^{2 x})^{'} = 2 e^{2 x}

Funktion		Ableitung
$- x^{3} + 3 x^{2}$	→	$- 3 x^{2} + 6 x$
$\frac{1}{x ^{2}} = x^{- 2}$	→	$- 2 x^{- 3} = - \frac{2}{x ^{3}}$
$3 e^{x}$	→	$3 e^{x}$
$5 ln x$	→	$\frac{5}{x}$
$2 sin x$	→	$2 cos x$
$4 cos x$	→	$- 4 sin x$

Produktregel: $(x^{2} s i n x)^{'} = 2 x s i n x + x^{2} c o s x$
Kettenregel: $(sin (3 x))^{'} = cos (3 x) \cdot 3$

MerkeInnere Ableitung nicht vergessen:

(e^{2 x})^{'} = 2 e^{2 x}

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Regeln», Schritt 4

2Tangente

y = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0})

Zwei Zutaten: Funktionswert $f (x_{0})$ und Steigung $f^{'} (x_{0})$ .

Links fällt $f$ : Die Steigung $f^{'} (x_{0})$ ist negativ.

MerkeZuerst

f (x_{0})

und

f^{'} (x_{0})

ausrechnen, dann einsetzen.

y = 1 \cdot (x - 2) + 1 = x - 1

Bei $f (x) = \frac{1}{4} x^{2}$ und $x_{0} = 2$ : $f (2) = 1$ und $f^{'} (2) = 1$ .

$x_{0} = 2$ : Steigung $1$ , Tangente $y = x - 1$

MerkeZuerst

f (x_{0})

und

f^{'} (x_{0})

ausrechnen, dann einsetzen.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Tangente», Schritt 4

3Kurvendiskussion

Gesucht		Bedingung
$Nullstellen N$	→	$f (x) = 0$
$Hoch-, Tiefpunkt H, T$	→	$f^{'} (x) = 0$
$Wendepunkt W$	→	$f^{''} (x) = 0$

$f^{''}$ ist die Ableitung von $f^{'}$ (Krümmung). $f^{''} < 0$ : Hochpunkt $H$ , $f^{''} > 0$ : Tiefpunkt $T$ .
Wendepunkt: Dort wechselt die Krümmung, von Rechts- zu Linkskurve oder umgekehrt.
Grenzverhalten: Für $x \to \infty$ (immer grössere $x$ ) geht $x e^{- x}$ gegen $0$ : Der Graph nähert sich der Asymptote $y = 0$ .

Nullstellen $N$ : $f (x) = 0$

MerkeGefragt sind Punkte: Immer auch die

y

-Koordinate ausrechnen.

Gesucht		Bedingung
$Nullstellen N$	→	$x^{3} - 3 x + 2 = 0$
$Hoch-, Tiefpunkt H, T$	→	$3 x^{2} - 3 = 0$
$Wendepunkt W$	→	$6 x = 0$

Hochpunkt $H (- 1 ∣ 4)$ wegen $f^{''} (- 1) = - 6 < 0$ , Tiefpunkt $T (1 ∣ 0)$ wegen $f^{''} (1) = 6 > 0$ .
Wendepunkt: In $W (0 ∣ 2)$ wechselt $f$ von der Rechts- zur Linkskurve.
Grenzverhalten: Schon bei $x = 10$ ist $x e^{- x} = 10 e^{- 10} \approx 0, 00045$ .

$f^{''} (x) = 6 x = 0$ : $W (0 ∣ 2)$

MerkeGefragt ist der Punkt

H (- 1 ∣ 4)

, nicht nur

x = - 1

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Kurvendiskussion», Schritt 4

4Extremwertaufgaben

1. Zielgrösse als Formel aufschreiben (Hauptbedingung).
2. Nebenbedingung einsetzen: nur noch eine Variable.
3. Ableiten, $= 0$ setzen. 4. Randwerte prüfen, im Kontext antworten.

MerkeNicht nur

x

angeben, sondern die gefragte Grösse.

1. Rechteck mit Umfang $20 cm$ : Die Fläche $A = x \cdot y$ soll maximal werden.
2. $2 x + 2 y = 20$ gibt $y = 10 - x$ , also $A (x) = x (10 - x)$ .
3. $A^{'} (x) = 10 - 2 x = 0$ : $x = 5$ . 4. Rand: $A = 0$ , Antwort $A = 25 cm^{2}$ .

MerkeGefragt ist die Fläche

A = 25 cm^{2}

und nicht nur

x = 5

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Extremwertaufgaben», Schritt 4

Im Alltag

Wo dir das ausserhalb der Schule begegnet.

Velotacho

Weg nach $t$ Sekunden: $s (t) = 0, 5 t^{2}$ Meter.

Ein Velo rollt los und hat nach $t$ Sekunden $s (t) = 0, 5 t^{2}$ Meter zurückgelegt. Der Tacho zeigt die Steigung: $s^{'} (4) = 4$ Meter pro Sekunde, also $14, 4 km/h$ .

Passstrasse

Profil der Strasse bis zur Passhöhe bei $x = 2$ .

Eine Passstrasse steigt nach $h (x) = 0, 05 (3 x^{2} - x^{3})$ , beides in km. Am steilsten ist sie im Wendepunkt $x = 1$ : $h^{'} (1) = 0, 15$ , also $15 %$ Steigung.

Scheinwerfer

Strasse $f (x) = 0, 1 x^{2}$ von oben, das Auto bei $x_{0} = 5$ .

In der Kurve leuchten die Scheinwerfer geradeaus, entlang der Tangente. Auf der Strasse $y = 0, 1 x^{2}$ bei $x_{0} = 5$ zeigt das Licht entlang $y = x - 2, 5$ .

Höchsttemperatur

$T (t) = 12 + 6 t - t^{2}$ , $t$ in Stunden ab 12 Uhr.

Am Nachmittag gilt etwa $T (t) = 12 + 6 t - t^{2}$ (°C, $t$ in Stunden ab 12 Uhr). Aus $T^{'} (t) = 6 - 2 t = 0$ folgt: Um 15 Uhr ist es mit $21$ °C am wärmsten.

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Leite $f (x) = x \cdot e^{- x}$ ab und prüfe die Steigung bei $x = 0$ und $x = 1$ .

f (x)

=

x \cdot e^{- x}

Ein Produkt: erster Faktor blau, zweiter orange.

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Produktregel
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Kettenregel für v
…
3
Zusammensetzen
…
4
Steigungen prüfen
…

Typische Fehler

✗
Nur die x-Koordinate eines Extremums angeben. Gefragt sind meist die Koordinaten.
✗
Bei der Kettenregel die innere Ableitung vergessen: $(e^{2 x})^{'} = 2 e^{2 x}$ .
✗
Bei Extremwertaufgaben den Randwert nicht prüfen oder die Frage nicht beantworten.

Prüfungstipp

Eine sauber gezeichnete Skizze bringt oft eigene Punkte (z. B. «Zeichnen Sie einen Graphen von $f$ im Intervall…»). Trag Nullstellen, Extrema und Wendepunkt ein und beschrifte die Achsen.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie in der Passerelle. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: An der echten Prüfung erlaubt: eine Formelsammlung und ein einfacher Taschenrechner (Casio FX-82 Solar oder TI-30 ECO RS). Quelle: Schweizerische Maturitätskommission (SMK).

2 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Kurvendiskussion mit Tangenten
Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Abo.

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Danach: echte Prüfungen im Prüfungsarchiv.

Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du leitest Polynome, $e^{x}$ , $ln x$ , $sin x$ und Produkte/Verkettungen ab.
Du führst eine vollständige Kurvendiskussion durch.
Du löst Extremwertaufgaben mit Haupt- und Nebenbedingung.

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Tippe bei jedem Lernziel an, wie sicher du dich fühlst. Dann siehst du hier, was du noch tun kannst.

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Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Antwort von Ugi innert 2 Schultagen. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

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