Ableitung & Kurvendiskussion

Ableitungsregeln, Tangenten, Extrema, Wendepunkte, Extremwertaufgaben

Sehr prüfungsrelevantca. 60 Min.Adaptiver Trainer

Auf einen Blick

Bergauf zeigt die Tangente nach oben: Die Steigung ist positiv.

Nach dieser Lektion

✓
Du leitest Polynome, $e^{x}$ , $ln x$ , $sin x$ und Produkte/Verkettungen ab.
✓
Du führst eine vollständige Kurvendiskussion durch.
✓
Du löst Extremwertaufgaben mit Haupt- und Nebenbedingung.

An der Prüfung: Aufgabe 1 der Passerelle ist fast immer eine Kurvendiskussion, dazu kommt regelmässig eine Extremwertaufgabe.

Schritt 2

Entdecken

Spiel zuerst. Formeln ergeben mehr Sinn, wenn du schon gesehen hast, was sie tun.

$f (x) = - x^{3} + 3 x^{2}$

Stelle

x_{0}

1.00

Steigung der Tangente: $f^{'} (x_{0}) = 3, 00$

Der Graph steigt hier.

Graph der Ableitung

f^{'}

zeigen (rot gestrichelt)

Entdecke: Wo der rote Graph die x-Achse schneidet, hat $f$ ein Extremum. Wo der rote Graph selbst ein Extremum hat, hat $f$ einen Wendepunkt.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Regeln

Funktion		Ableitung
$x^{n}$	→	$n x^{n - 1}$
$e^{x}$	→	$e^{x}$
$ln x$	→	$\frac{1}{x}$
$sin x$	→	$cos x$
$cos x$	→	$- sin x$

Produktregel: $(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
Kettenregel: $(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$

MerkeInnere Ableitung nicht vergessen:

(e^{2 x})^{'} = 2 e^{2 x}

2Tangente

y = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0})

Zwei Zutaten: Funktionswert $f (x_{0})$ und Steigung $f^{'} (x_{0})$ .

$x_{0} = - 2$ : Steigung $- 1$ , Tangente $y = - x - 1$

MerkeZuerst

f (x_{0})

und

f^{'} (x_{0})

ausrechnen, dann einsetzen.

3Kurvendiskussion

Gesucht		Bedingung
$Nullstellen N$	→	$f (x) = 0$
$Extrema H, T$	→	$f^{'} (x) = 0$
$Wendepunkt W$	→	$f^{''} (x) = 0$

$f^{''} < 0$ : Hochpunkt $H$ . $f^{''} > 0$ : Tiefpunkt $T$ .

Nullstellen $N$ : $f (x) = 0$

MerkeGefragt sind Punkte: Immer auch die

y

-Koordinate ausrechnen.

4Extremwertaufgaben

1. Zielgrösse als Formel aufschreiben (Hauptbedingung).
2. Nebenbedingung einsetzen: nur noch eine Variable.
3. Ableiten, $= 0$ setzen. 4. Randwerte prüfen, im Kontext antworten.

MerkeNicht nur

x

angeben, sondern die gefragte Grösse.

Schritt 4

Musterbeispiel

Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Diskutiere f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} (Nullstellen, Extrema, Wendepunkt).

$f (x) = - x^{3} + 3 x^{2}$

Wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Nullstellen
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Extrema
…
3
Wendepunkt
…

Typische Fehler

✗
Nur die x-Koordinate eines Extremums angeben. Gefragt sind meist die Koordinaten.
✗
Bei der Kettenregel die innere Ableitung vergessen: $(e^{2 x})^{'} = 2 e^{2 x}$ .
✗
Bei Extremwertaufgaben den Randwert nicht prüfen oder die Frage nicht beantworten.

Prüfungstipp

Eine sauber gezeichnete Skizze bringt oft eigene Punkte (z. B. «Zeichnen Sie einen Graphen von $f$ im Intervall…»). Trag Nullstellen, Extrema und Wendepunkt ein und beschrifte die Achsen.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie in der Passerelle. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

1 Aufgabe auf Prüfungsniveau

Kurvendiskussion mit Tangente und Fläche

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Danach: echte Prüfungen im Prüfungsarchiv.

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

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