Extremwertaufgaben

Hauptbedingung, Nebenbedingung, Zielfunktion optimieren

Sehr prüfungsrelevantca. 50 Min.Adaptiver Trainer

Auf einen Blick

Jede Extremwertaufgabe beginnt mit der Hauptbedingung.

Nach dieser Lektion

✓
Du übersetzt eine Textaufgabe in eine Zielfunktion mit einer Variablen.
✓
Du findest das Optimum mit der Ableitung und prüfst Randwerte.
✓
Du beantwortest die Frage im Sachzusammenhang.

An der Prüfung: Fast jede Passerelle enthält eine Extremwertaufgabe (oft 4 bis 5 Punkte): grösste Fläche, kleinstes Volumen, schnellster Weg.

Schritt 2

Entdecken

Spiel zuerst. Formeln ergeben mehr Sinn, wenn du schon gesehen hast, was sie tun.

V (2) = (30 - 2 \cdot 2)^{2} \cdot 2 = 1352

Eckquadrat

x

(cm)2

$x$

2cm

$Boden$

26cm

$V$

1352cm³

Die Kurve steigt noch: Ein grösseres $x$ lohnt sich.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Finde das grösste Volumen.
(offen)
Finde ein $x$ rechts vom Maximum mit $V = 1000 cm^{3}$ .
(offen)
Wähle $x$ so gross, dass kein Boden mehr bleibt.
(offen)

Entdecke:

Das Maximum liegt dort, wo die Kurve waagrecht ist: $V^{'} (x) = 0$ . Genau das rechnest du im Musterbeispiel.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

11. Hauptbedingung

A = x \cdot y

Was soll maximal oder minimal werden?
Als Formel mit allen Variablen aufschreiben.

Gehege an einer Wand: 60 m Zaun für drei Seiten.

MerkeEine Formel mit zwei Variablen ist normal.

22. Nebenbedingung

2 x + y = 60 \Rightarrow y = 60 - 2 x

Die Einschränkung nach einer Variablen auflösen.
Einsetzen: $A (x) = x (60 - 2 x)$ .

MerkeAm Ende bleibt nur eine Variable übrig.

33. Ableiten

A^{'} (x) = 60 - 4 x = 0 \Rightarrow x = 15

$A^{''} (x) = - 4 < 0$ : Das ist ein Hochpunkt.

$A (x) = 60 x - 2 x^{2}$

MerkeAbleitung null setzen heisst: waagrechte Tangente.

44. Rand und Antwort

Definitionsbereich: $0 < x < 30$ . Die Ränder prüfen.
Dort ist $A = 0$ , also kleiner als der Hochpunkt.
Antwort mit Einheit: $x = 15 m$ , $y = 30 m$ , $A = 450 m^{2}$ .

Ränder: $A (0) = A (30) = 0$ .

MerkeNicht nur

x

angeben, sondern die gefragte Grösse.

Schritt 4

Musterbeispiel

Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Aus einem quadratischen Karton (30 cm Seitenlänge) wird durch Ausschneiden gleich grosser Eckquadrate eine offene Schachtel gefaltet. Für welche Seitenlänge x der Eckquadrate ist das Volumen maximal?

Aus den Ecken werden Quadrate der Seite $x$ ausgeschnitten.

Wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Hauptbedingung
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Definitionsbereich
…
3
Ableiten
…
4
Prüfen
…

Typische Fehler

✗
Die Nebenbedingung nicht einsetzen und mit zwei Variablen ableiten wollen.
✗
Randwerte nicht prüfen.
✗
Nur $x$ angeben, obwohl nach der maximalen Fläche oder den Massen gefragt ist.

Prüfungstipp

Schreib die vier Schritte als Überschriften hin (Hauptbedingung, Nebenbedingung, Ableitung, Antwort). Die Korrektoren vergeben dafür Teilpunkte, auch wenn du dich am Schluss verrechnest.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie in der Passerelle. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

1 Aufgabe auf Prüfungsniveau

Extremwertaufgabe: grösstes Dreieck

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Danach: echte Prüfungen im Prüfungsarchiv.

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du übersetzt eine Textaufgabe in eine Zielfunktion mit einer Variablen.
Du findest das Optimum mit der Ableitung und prüfst Randwerte.
Du beantwortest die Frage im Sachzusammenhang.

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