Lektion 19

Wahrscheinlichkeit

Baumdiagramm, Kombinatorik, bedingte Wahrscheinlichkeit, Binomialverteilung

Prüfungsrelevantca. 60 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

Jeder Wurf ist ein Ast, an dem seine Wahrscheinlichkeit steht.

Nach dieser Lektion

Du modellierst mehrstufige Experimente mit Baumdiagrammen.
Du rechnest «mindestens einmal» über das Gegenereignis.
Du arbeitest mit Vierfeldertafeln, bedingter Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit.

An der Prüfung: Baumdiagramm, bedingte Wahrscheinlichkeit und Binomialverteilung gehören zum Kern der Stochastik.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

$P$ : Wahrscheinlichkeit, $p$ : Chance pro Versuch, $n$ : Anzahl Versuche.

Noch unter $50 %$ : Die ersten Versuche bringen am meisten.

Chance pro Versuch: 1 von

k

Anzahl Versuche

n

true

$Chance p$

16,7%

$P (nie)$

57,9%

$P (mindestens einmal)$

42,1%

Noch unter $50 %$ : Die ersten Versuche bringen am meisten.

$P$ : Wahrscheinlichkeit, $p$ : Chance pro Versuch, $n$ : Anzahl Versuche.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Würfel ( $k = 6$ ): Stell das kleinste $n$ mit über $50 %$ ein.
(offen)
Würfel ( $k = 6$ ): Stell das kleinste $n$ mit über $90 %$ ein.
(offen)
Münze ( $k = 2$ ): Kleinstes $n$ für mehr als $95 %$ Chance auf Kopf?
(offen)

Entdecke:

«Mindestens einmal» rechnest du über das Gegenereignis: $1 - (1 - p)^{n}$ . Warum steigt die Kurve erst steil und dann flach?

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Pfadregeln

Entlang eines Pfads wird multipliziert.
Mehrere Pfade zum Ziel werden addiert.
Ohne Zurücklegen ändern sich die Brüche in Stufe 2.

Zwei Züge: An jedem Ast steht seine Wahrscheinlichkeit.

MerkePfad: mal. Pfade: plus.

Pfad rot-rot: $\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{10}$ .
Gleichfarbig: $\frac{1}{10} + \frac{3}{10} = \frac{2}{5}$ .
Nach rot liegt noch 1 rote von 4 da: $\frac{1}{4}$ statt $\frac{2}{5}$ .

Gleichfarbig: $\frac{1}{10} + \frac{3}{10} = \frac{2}{5}$

MerkePfad: mal. Pfade: plus.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Pfadregeln», Schritt 4

2Gegenereignis

P (\geq 1 Treffer) = 1 - (1 - p)^{n}

«Nie» ist leichter zu berechnen als «mindestens einmal».

$n$ Versuche: alle Möglichkeiten zusammen sind $100 %$ .

MerkeMindestens einmal = 1 minus nie.

P (\geq 1 Sechs) = 1 - (1 - \frac{1}{6})^{3}

«Nie eine 6»: $(\frac{5}{6})^{3} \approx 57, 9 %$ , also mindestens eine 6: $42, 1 %$ .

Mindestens eine 6: $1 - 0, 58 \approx 42 %$

MerkeMindestens einmal = 1 minus nie.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Gegenereignis», Schritt 4

3Binomialformel

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

$n$ Versuche, jeder mit Trefferchance $p$ . $X$ ist die Anzahl Treffer.
$(k n)$ (« $n$ über $k$ », kein Spaltenvektor!) zählt die Pfade mit genau $k$ Treffern.
Rechnen: Taste nCr oder $\frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ mit $n! = 1 \cdot 2 \dots n$ : $(2 5) = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10$ .

Jeder Balken ist ein Wert von $k$ , seine Höhe ist $P (X = k)$ .

MerkeGleiches

p

, unabhängige Versuche.

P (X = 2) = (2 5) 0, 5^{2} (1 - 0, 5)^{5 - 2}

$n = 5$ Würfe, jeder mit Chance $p = 0, 5$ auf Kopf.
$(2 5) = 10$ Pfade mit genau 2-mal Kopf, zusammen $\frac{10}{32}$ .
Rechnen: Taste nCr mit $5$ und $2$ gibt $10$ .

Genau 2-mal Kopf: $(2 5) \cdot 0, 5^{5} = \frac{10}{32}$

MerkeGleiches

p

, unabhängige Versuche.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Binomialformel», Schritt 4

4Bedingte Wahrscheinlichkeit

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

$P (A ∣ B)$ : Wie wahrscheinlich ist $A$ , wenn $B$ schon sicher ist?
$A \cap B$ : $A$ und $B$ treten beide ein.
Unabhängig: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ .

Vierfeldertafel: alle Wahrscheinlichkeiten auf einen Blick.

MerkeDie Grundmenge ist

B

, nicht alles.

P (A ∣ B) = \frac{0 , 12}{0 , 40} = 0, 30

Wenn $B$ sicher ist, hat $A$ die Wahrscheinlichkeit $30 %$ .
$P (A \cap B) = 0, 12$ : $A$ und $B$ treten beide ein.
Unabhängig: $0, 30 \cdot 0, 40 = 0, 12 = P (A \cap B)$ .

Nur Fälle mit $B$ zählen: $0, 12$ von $0, 40$ .

MerkeDie Grundmenge ist

B

mit

0, 40

, nicht alles.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Bedingte Wahrscheinlichkeit», Schritt 4

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

In einer Urne liegen 4 rote und 6 blaue Kugeln. Du ziehst zwei Kugeln ohne Zurücklegen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass (a) beide rot sind, (b) sie verschiedenfarbig sind, (c) mindestens eine rot ist?

Urne: 4 rot, 6 blau. Zwei Züge ohne Zurücklegen.

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Baumdiagramm
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
(a) beide rot
…
3
(b) verschiedenfarbig
…
4
(c) mindestens eine rot
…

Typische Fehler

✗
Wahrscheinlichkeiten von Versuchen addieren statt das Gegenereignis zu nutzen.
✗
Bei «verschiedenfarbig» nur einen der beiden Pfade zählen.
✗
Bei bedingter Wahrscheinlichkeit durch die falsche Grundmenge teilen.

Prüfungstipp

Schreib bei jeder Teilaufgabe das Ereignis in Worten auf, bevor du rechnest («Ereignis E: mindestens eine 6»). Das bringt Klarheit und macht deinen Lösungsweg bei der Korrektur sichtbar.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an einer Abschlussprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Hilfsmittel legt deine Schule fest. Üben: Formelsammlung erlaubt, Taschenrechner nur, wo die Aufgabe es sagt.

2 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Glücksrad
Medizinischer Test (bedingte Wahrscheinlichkeit)

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Abo.

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Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du modellierst mehrstufige Experimente mit Baumdiagrammen.
Du rechnest «mindestens einmal» über das Gegenereignis.
Du arbeitest mit Vierfeldertafeln, bedingter Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit.

Dein Stand bei «Wahrscheinlichkeit»

0 %

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Tippe bei jedem Lernziel an, wie sicher du dich fühlst. Dann siehst du hier, was du noch tun kannst.

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Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Eine Lehrperson antwortet meist innert 24 Stunden. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

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