Lektion 18

Kombinatorik

Produktregel, Fakultät, Permutationen, Variationen, Kombinationen, Lotto

Prüfungsrelevantca. 40 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

Vier Personen, vier Stühle: Wie viele Sitzordnungen gibt es?

Nach dieser Lektion

Du zählst Anordnungen mit Produktregel, Fakultät und Permutationen (auch mit gleichen Elementen).
Du unterscheidest Variationen (Reihenfolge wichtig) von Kombinationen (Reihenfolge egal) und rechnest mit $(k n)$ .
Du berechnest Wahrscheinlichkeiten als «günstige durch mögliche», auch bei Lotto-Aufgaben.

An der Prüfung: Gehört zum Stoff der Mittelschule und kommt in Abschlussprüfungen vor, oft zusammen mit Wahrscheinlichkeit.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

2

Faktoren, ab

n

abwärts

mit Reihenfolge

=

5 \cdot 4 = 20

jede Auswahl wird

2! = 2

-mal gezählt

: 2!

=

2

Teams

=

(2 5) = 20 : 2 = 10

Orange: ein Team, die Tafel zählt zuerst mit Reihenfolge und teilt dann durch $k!$ .

Jedes Team gibt $2$ Listen mit Reihenfolge. Darum teilst du durch $2$ .

Personen

n

Teamgrösse

k

true

$mit Reihenfolge$

$k!$

$Teams$

Jedes Team gibt $2$ Listen mit Reihenfolge. Darum teilst du durch $2$ .

Orange: ein Team, die Tafel zählt zuerst mit Reihenfolge und teilt dann durch $k!$ .

Aufträge

0 von 3 geschafft

Finde eine Einstellung mit genau $15$ Teams.
(offen)
Bei $n = 8$ : Welche Teamgrösse $k$ gibt die meisten Teams?
(offen)
Bei welchem $k$ gibt es $6$ -mal so viele Listen wie Teams?
(offen)

Entdecke:

Zuerst zählst du die Listen mit Reihenfolge, dann teilst du durch $k!$ . So entsteht $(k n)$ .

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Produktregel und Fakultät

n! = n \cdot (n - 1) \dots 2 \cdot 1

Personen		Anordnungen
$3$	→	$3!$
$4$	→	$4!$
$5$	→	$5!$
$6$	→	$6!$
$10$	→	$10!$

Schritte nacheinander: Möglichkeiten multiplizieren.
$n$ verschiedene Dinge ordnen (Permutation): $n!$ (« $n$ Fakultät») Reihenfolgen.
Festlegung: $0! = 1$ .

Eine Anordnung der Buchstaben.

MerkeFakultäten wachsen sehr schnell.

3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6

Personen		Anordnungen
$3$	→	$3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$
$4$	→	$4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$
$5$	→	$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$
$6$	→	$6 \cdot 5 \dots 1 = 720$
$10$	→	$10 \cdot 9 \dots 1 = 3628800$

Drei Plätze nacheinander: $3$ , dann $2$ , dann $1$ Möglichkeit, multiplizieren.
$3$ verschiedene Buchstaben ordnen: $3! = 6$ Reihenfolgen.
Festlegung: $0! = 1$ , ebenso ist $1! = 1$ .

$3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$

MerkeFakultäten wachsen sehr schnell:

10! = 3628800

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Produktregel und Fakultät», Schritt 4

2Reihenfolge wichtig

\frac{n !}{( n - k )!} = n \cdot (n - 1) \dots (n - k + 1)

Fall		Anzahl
$n verschiedene ordnen$	→	$n!$
$mit gleichen Elementen$	→	$\frac{n !}{n _{1} ! n _{2} ! \dots}$
$k aus n, ohne Zur u ¨ cklegen$	→	$\frac{n !}{( n - k )!}$
$k aus n, mit Zur u ¨ cklegen$	→	$n^{k}$

Podest (Variation) für $k$ von $n$ Läufern: $n$ , dann $n - 1$ , … Möglichkeiten.
Je $n_{1}, n_{2}, \dots$ gleiche Elemente: durch $n_{1}! n_{2}! \dots$ teilen, sonst doppelt gezählt.

Podest für $k$ von $n$ Läufern.

MerkeWenn die Reihenfolge zählt, wird nicht geteilt.

\frac{5 !}{( 5 - 3 )!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60

Fall		Anzahl
$5 verschiedene ordnen$	→	$5! = 120$
$AABBB ordnen$	→	$\frac{5 !}{2 ! 3 !} = 10$
$3 aus 5, ohne Zur u ¨ cklegen$	→	$\frac{5 !}{2 !} = 60$
$3 aus 5, mit Zur u ¨ cklegen$	→	$5^{3} = 125$

Podest für $3$ von $5$ Läufern: $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ .
Wörter aus M, A, M, A: je $2$ gleiche, also $\frac{4 !}{2 ! 2 !} = 6$ .

Platz 3: drei bleiben. $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$

MerkeWenn die Reihenfolge zählt, wird nicht geteilt.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Reihenfolge wichtig», Schritt 4

3Reihenfolge egal

(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

Binomialkoeffizient $(k n)$ : Listen mit Reihenfolge durch $k!$ teilen.
Symmetrie: $(k n) = (n - k n)$ .
Pascal: Jede Zahl ist die Summe der zwei darüber.

Das Pascal-Dreieck: Zeile $n$ enthält $(k n)$ .

MerkeErst zählen mit Reihenfolge, dann durch

k!

teilen.

(2 5) = \frac{5 !}{2 ! ( 5 - 2 )!} = 10

$5 \cdot 4 = 20$ Listen mit Reihenfolge durch $2! = 2$ teilen: $10$ Teams.
Symmetrie: $(2 5) = (3 5) = 10$ .
Pascal: $(2 5) = 4 + 6 = 10$ , die zwei Zahlen darüber.

$4 + 6 = 10 = (2 5)$

MerkeErst zählen mit Reihenfolge, dann durch

k!

teilen.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Reihenfolge egal», Schritt 4

4Wahrscheinlichkeit durch Zählen

P = \frac{g u ¨ nstige}{m o ¨ gliche}

Ziehung k aus N		P
$alle k richtig$	→	$\frac{1}{( k N )}$
$genau r richtig$	→	$\frac{( r k ) ( k - r N - k )}{( k N )}$

$P$ ist die Wahrscheinlichkeit. Mögliche: alle $(k N)$ Ziehungen.
Günstige: erst die Richtigen wählen, dann die Falschen, multiplizieren.
Gegenereignis: $P (mindestens eins) = 1 - P (keins)$ .

Zwei Personen werden gezogen: Jedes Paar ist möglich.

MerkeGünstige und mögliche mit derselben Zählweise bestimmen.

P = \frac{1}{10}

Lotto 6 aus 42		P
$6 Richtige$	→	$\frac{1}{( 6 42 )} = \frac{1}{5 245 786}$
$genau 3 Richtige$	→	$\frac{( 3 6 ) ( 3 36 )}{( 6 42 )} \approx 2, 7 %$

Mögliche: alle Paare aus $5$ Personen, $(2 5) = 10$ .
Günstige bei genau 3 Richtigen: $(3 6) \cdot (3 36) = 20 \cdot 7140$ .
Gegenereignis: Mindestens eine von zwei bestimmten Personen: $1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$ .

Ein bestimmtes Paar: $P = \frac{1}{10}$

MerkeGünstige und mögliche mit derselben Zählweise bestimmen.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Reihenfolge egal», Schritt 4

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Fünf verschiedene Bücher $A, B, C, D, E$ werden ins Regal gestellt. Auf wie viele Arten geht das? Und auf wie viele, wenn $A$ und $B$ nebeneinander stehen sollen?

Fünf Bücher, fünf Plätze im Regal.

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Alle Bücher ordnen
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
A und B als Block
…
3
Block umdrehen
…

Typische Fehler

✗
Anzahlen addieren statt multiplizieren: Zwei Wahlen nacheinander ergeben ein Produkt.
✗
Reihenfolge nicht beachtet: Kommt es auf sie an, wird nicht durch $k!$ geteilt, kommt es nicht darauf an, schon.
✗
Bei Wahrscheinlichkeiten günstige und mögliche Fälle mit verschiedenen Zählweisen bestimmen (einmal mit, einmal ohne Reihenfolge).

Prüfungstipp

Frage dich zuerst: Zählt die Reihenfolge? Wird etwas zurückgelegt? Schreibe dann den Ansatz hin (z. B. $(2 8) \cdot (2 6)$ ), bevor du rechnest. Bei «mindestens» hilft oft das Gegenereignis.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an einer Abschlussprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Hilfsmittel legt deine Schule fest. Üben: Formelsammlung erlaubt, Taschenrechner nur, wo die Aufgabe es sagt.

2 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Passwort, Turnier und Lose
Jasskarten verteilen

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Abo.

Gratis-Konto erstellen

Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du zählst Anordnungen mit Produktregel, Fakultät und Permutationen (auch mit gleichen Elementen).
Du unterscheidest Variationen (Reihenfolge wichtig) von Kombinationen (Reihenfolge egal) und rechnest mit $(k n)$ .
Du berechnest Wahrscheinlichkeiten als «günstige durch mögliche», auch bei Lotto-Aufgaben.

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Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Eine Lehrperson antwortet meist innert 24 Stunden. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

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