Lektion 14

Vektorgeometrie II

Geraden und Ebenen im Raum, Durchstosspunkt, Abstand, Kreuzprodukt

Prüfungsrelevantca. 60 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

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Eine Ebene $E$ im Raum.

Nach dieser Lektion

Du stellst Parameter- und Koordinatengleichungen von Ebenen auf.
Du berechnest Durchstosspunkte und Abstände.
Du berechnest Flächen mit dem Kreuzprodukt.

An der Prüfung: Geraden und Ebenen im Raum: Ebenengleichungen, Durchstosspunkte, Abstände und die Lage von Geraden zueinander.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

Ebene $E : x + 2 y + 4 z = 4$ mit Normalenvektor $n$ blau. Gerade $g$ dunkel (gestrichelt: unter $E$ ) mit Stützpunkt $S$ ( $p$ ) und Richtung $v$ . Lot von $S$ auf $E$ orange, Durchstoss grün.

Durchstoss bei $t = - 0, 67$ im Punkt $D (- 1, 33 ∣ - 0, 67 ∣ 1, 67)$ .

Höhe des Stützpunkts

h

Richtung

v_{z}

true

$n \cdot v$

$4 - n \cdot p$

−4

$t beim Durchstoss$

−0,67

$Abstand d (S, E)$

0,87

Durchstoss bei $t = - 0, 67$ im Punkt $D (- 1, 33 ∣ - 0, 67 ∣ 1, 67)$ .

Ebene $E : x + 2 y + 4 z = 4$ mit Normalenvektor $n$ blau. Gerade $g$ dunkel (gestrichelt: unter $E$ ) mit Stützpunkt $S$ ( $p$ ) und Richtung $v$ . Lot von $S$ auf $E$ orange, Durchstoss grün.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Mach $g$ parallel zu $E$ , ohne dass sie in $E$ liegt.
(offen)
Lege $g$ in die Ebene.
(offen)
Lass $g$ die Ebene bei $t = 1$ durchstossen.
(offen)

Entdecke:

Bei welchem $v_{z}$ ist $n \cdot v = 0$ ? Und was passiert mit dem Durchstosspunkt, wenn du dich dieser Stellung näherst?

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Gerade im Raum

g : r = p + t v

$p$ ist der Stützpunkt, $v$ die Richtung.
Jedes $t$ liefert einen Punkt $r$ der Geraden.

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Stützpunkt $P$ und die Gerade $g$ .

MerkeStützpunkt plus Vielfache der Richtung.

g : r = 002 + t 21 0, 5

$p = (0 ∣ 0 ∣ 2)$ ist der Stützpunkt, $v = (2 ∣ 1 ∣ 0, 5)$ die Richtung.
$t = 2$ liefert $(0 + 4 ∣ 0 + 2 ∣ 2 + 1) = (4 ∣ 2 ∣ 3)$ .

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$t = 2$ : der Punkt $(4 ∣ 2 ∣ 3)$ .

MerkeStützpunkt plus Vielfache der Richtung.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Gerade im Raum», Schritt 4

2Kreuzprodukt

F = ∣ u \times v ∣

Komponente		Rechnung
$x$	→	$u_{y} v_{z} - u_{z} v_{y}$
$y$	→	$u_{z} v_{x} - u_{x} v_{z}$
$z$	→	$u_{x} v_{y} - u_{y} v_{x}$

Die Länge $F$ ist die Fläche des Parallelogramms aus $u$ und $v$ .
Das Ergebnis steht senkrecht auf $u$ und $v$ .
Jede Zeile nutzt die beiden anderen Komponenten in der Reihenfolge $x, y, z, x, \dots$

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Zwei Vektoren $u$ und $v$ .

MerkeRechnest du

n

aus, prüfe

n \cdot u = 0

F = 2 - 1 0 \times 02 - 1 = 21

Komponente		Rechnung
$x$	→	$(- 1) \cdot (- 1) - 0 \cdot 2 = 1$
$y$	→	$0 \cdot 0 - 2 \cdot (- 1) = 2$
$z$	→	$2 \cdot 2 - (- 1) \cdot 0 = 4$

Die Länge $1 + 4 + 16 = 21$ ist die Fläche des Parallelogramms.
$(1 ∣ 2 ∣ 4)$ steht senkrecht auf $u$ : $2 - 2 + 0 = 0$ , ebenso auf $v$ .
Zeile $y$ nutzt $z$ und $x$ : $0 \cdot 0 - 2 \cdot (- 1) = 2$ .

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$u \times v = (1 ∣ 2 ∣ 4)$ , Fläche $21 \approx 4, 58$ .

MerkeRechnest du

n

aus, prüfe

n \cdot u = 0

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Kreuzprodukt», Schritt 4

3Koordinatengleichung

E : a x + b y + c z = d

$n = (a ∣ b ∣ c)$ steht senkrecht auf $E$ .
Aus drei Punkten: $n = A B \times A C$ .
Dann einen Punkt einsetzen: Das liefert $d$ .

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Die Ebene $E$ , der Punkt $A$ liegt darin.

MerkeDie Koeffizienten sind der Normalenvektor.

E : 1 x + 2 y + 4 z = 4

$n = (1 ∣ 2 ∣ 4)$ steht senkrecht auf $E$ .
Aus $A (0 ∣ 0 ∣ 1)$ , $B (2 ∣ - 1 ∣ 1)$ , $C (0 ∣ 2 ∣ 0)$ : $A B \times A C = (1 ∣ 2 ∣ 4)$ .
$A$ einsetzen: $1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 4 \cdot 1 = 4$ , also $d = 4$ .

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$A B = (2 ∣ - 1 ∣ 0)$ und $A C = (0 ∣ 2 ∣ - 1)$ liegen in $E$ .

MerkeDie Koeffizienten

1, 2, 4

sind der Normalenvektor.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Koordinatengleichung», Schritt 4

4Durchstoss und Abstand

Abstand = \frac{∣ a x _{P} + b y _{P} + c z _{P} - d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

Durchstoss: Gerade in $E$ einsetzen, nach $t$ lösen.
Abstand: Punkt $P$ einsetzen, durch $∣ n ∣$ teilen.

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Gerade $g$ und Ebene $E$ .

MerkeDer Nenner ist die Länge von

n

Abstand = \frac{∣ 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 4 \cdot 5 - 4∣}{1 ^{2} + 2 ^{2} + 4 ^{2}}

Durchstoss: $(3 - t) + 2 t + 4 (- 1 + t) = 4$ , also $t = 1$ und $D (2 ∣ 1 ∣ 0)$ .
Abstand: $P (1 ∣ 2 ∣ 5)$ einsetzen gibt $21$ , durch $∣ n ∣ = 21$ teilen.

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$P (1 ∣ 2 ∣ 5)$ : $d = \frac{21}{21} = 21 \approx 4, 58$

MerkeDer Nenner

21

ist die Länge von

n = (1 ∣ 2 ∣ 4)

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Durchstoss und Abstand», Schritt 4

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Die Gerade $g$ geht durch $A (0 ∣ 2 ∣ 0)$ und $B (2 ∣ 1 ∣ 2)$ . In welchem Punkt durchstösst sie die Ebene $E : x + 2 y + 2 z = 12$ ?

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Die Ebene $E$ und die Punkte $A$ und $B$ .

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Gleichung von g
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
In E einsetzen
…
3
Durchstosspunkt
…

Typische Fehler

✗
Beim Kreuzprodukt die mittlere Komponente falsch berechnen (Reihenfolge $z x - x z$ ).
✗
Beim Abstand nicht durch $∣ n ∣$ teilen.
✗
Parallelität mit $n$ statt mit $n \cdot v = 0$ prüfen.

Prüfungstipp

Manche Aufgaben geben eine Kontrolllösung an («Falls Sie (b) nicht lösen konnten, nehmen Sie $C (5 ∣ 6 ∣ - 2)$ »). Nutze sie! Auch wenn eine Teilaufgabe nicht klappt, kannst du die nächsten Punkte holen.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an einer Abschlussprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Hilfsmittel legt deine Schule fest. Üben: Formelsammlung erlaubt, Taschenrechner nur, wo die Aufgabe es sagt.

2 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Ebene, Lotfusspunkt und Pyramide
Zwei Drohnen über einem Hang

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Abo.

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Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du stellst Parameter- und Koordinatengleichungen von Ebenen auf.
Du berechnest Durchstosspunkte und Abstände.
Du berechnest Flächen mit dem Kreuzprodukt.

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Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Eine Lehrperson antwortet meist innert 24 Stunden. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

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