Lektion 13

Kreise

Kreisgleichung, Mittelpunkt und Radius, Tangente, Schnitt mit Geraden

Prüfungsrelevantca. 45 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

Alle Punkte im Abstand $r$ von $M$ bilden einen Kreis.

Nach dieser Lektion

Du liest Mittelpunkt und Radius aus jeder Kreisgleichung ab (quadratisch ergänzen).
Du bestimmst Tangenten mit der Eigenschaft «Tangente steht senkrecht auf dem Radius».
Du berechnest Schnittpunkte von Kreis und Gerade.

An der Prüfung: Kreise verbinden Geometrie und Algebra: Kreisgleichung aufstellen, Tangente, Schnittpunkte und Sehnen.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

Kreis blau, Gerade orange, Abstände violett.

$d = 1 < r$ : zwei Schnittpunkte, die Gerade ist eine Sekante.

x-Wert des Mittelpunkts

a

y-Wert des Mittelpunkts

b

Radius

r

Höhe der Geraden

q

true

$Abstand d$

$Radius r$

$d = 1 < r$ : zwei Schnittpunkte, die Gerade ist eine Sekante.

Kreis blau, Gerade orange, Abstände violett.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Mach die Gerade zur Tangente.
(offen)
Finde eine Passante ohne Schnittpunkt.
(offen)
Lass die Gerade durch den Mittelpunkt $M$ laufen.
(offen)

Entdecke:

Schiebe $g$ langsam durch den Kreis. Wann ändert sich die Anzahl der Schnittpunkte, und wie gross ist dann $d$ ?

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Kreisgleichung

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

Mittelpunkt $M (a ∣ b)$ und Radius $r$ liest du direkt ab.
In der Klammer steht $- a$ bzw. $- b$ : Vorzeichen drehen.

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

MerkeRechts steht

r^{2}

, nicht

r

(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 9

Mittelpunkt $M (- 3 ∣ 2)$ und Radius $3$ liest du direkt ab.
$(x + 3)^{2}$ heisst $a = - 3$ , $(y - 2)^{2}$ heisst $b = 2$ .

Rechts steht $r^{2} = 9$ , also $r = 3$ .

MerkeRechts steht

9 = 3^{2}

, der Radius ist

3

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Kreisgleichung», Schritt 4

2Quadratisch ergänzen

x^{2} + p x = (x + \frac{p}{2})^{2} - \frac{p ^{2}}{4}

Ergänzen		Quadrat
$x^{2} - 4 x$	→	$(x - 2)^{2} - 4$
$y^{2} + 6 y$	→	$(y + 3)^{2} - 9$

$x$ und $y$ getrennt ergänzen.
Abgezogene Quadrate nach rechts, z. B. bei $x^{2} - 4 x + y^{2} + 6 y = 12$ : $r^{2} = 12 + 4 + 9 = 25$ .

MerkeHalbe Zahl in die Klammer, ihr Quadrat abziehen.

x^{2} - 2 x = (x - 1)^{2} - 1

Ergänzen		Quadrat
$x^{2} - 2 x$	→	$(x - 1)^{2} - 1$
$y^{2} + 2 y$	→	$(y + 1)^{2} - 1$

$x$ und $y$ getrennt: halbe Zahlen $- 1$ und $1$ .
Bei $x^{2} - 2 x + y^{2} + 2 y = 7$ : $r^{2} = 7 + 1 + 1 = 9$ .

MerkeHalbe Zahl

- 1

in die Klammer, ihr Quadrat

1

abziehen.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Quadratisch ergänzen», Schritt 4

3Tangente und Radius

u (x - x_{P}) + v (y - y_{P}) = 0

$M P = (u, v)$ steht senkrecht auf der Tangente: ihr Normalenvektor.
Probe: $P$ muss die Gleichung erfüllen.

Kreis um $M$ und ein Punkt $P$ darauf.

MerkeRadius und Tangente bilden einen rechten Winkel.

4 (x - 4) + 3 (y - 3) = 0

$M P = (4, 3)$ ist der Normalenvektor der Tangente.
Probe: $4 \cdot 4 + 3 \cdot 3 = 25$ , also liegt $P$ auf $4 x + 3 y = 25$ .

Tangente: $4 (x - 4) + 3 (y - 3) = 0$ , also $4 x + 3 y = 25$ .

MerkeRadius und Tangente bilden einen rechten Winkel.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Tangente und Radius», Schritt 4

4Kreis und Gerade

Abstand (Diskriminante)		Schnittpunkte
$d < r (D > 0)$	→	$zwei: Sekante$
$d = r (D = 0)$	→	$einer: Tangente$
$d > r (D < 0)$	→	$keiner: Passante$

Gerade einsetzen: quadratische Gleichung in $x$ .
Oder den Abstand $d$ von $M$ zur Geraden mit $r$ vergleichen.
Für $g : a x + b y = c$ und $M (x_{M} ∣ y_{M})$ ist $d = \frac{∣ a x _{M} + b y _{M} - c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ .

$d < r$ : zwei Schnittpunkte.

MerkeAbstand

d

gegen Radius

r

: Das entscheidet.

Abstand (Diskriminante)		Schnittpunkte
$d = 1, 8 < 3 (D > 0)$	→	$zwei: Sekante$
$d = 3 = r (D = 0)$	→	$einer: Tangente$
$d = 4, 2 > 3 (D < 0)$	→	$keiner: Passante$

Gerade $y = 1, 8$ einsetzen: $x^{2} = 9 - 1, 8^{2}$ gibt $x = \pm 2, 4$ .
Oder: Der Abstand von $M (0 ∣ 0)$ zur Geraden ist $d = 1, 8 < r = 3$ .
Im Labor: $g : 3 x - 4 y = 2$ und $M (1 ∣ - 1)$ geben $d = \frac{∣3 + 4 - 2∣}{9 + 16} = 1$ .

$d = 4, 2 > r$ : kein Schnittpunkt.

MerkeAbstand

d

gegen Radius

r

: Das entscheidet.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Kreis und Gerade», Schritt 4

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Ein Kreis hat den Mittelpunkt $M (4 ∣ 1)$ und geht durch $P (0 ∣ 4)$ . Bestimme seine Gleichung. Wo liegen $Q (7 ∣ 5)$ und $T (- 2 ∣ - 2)$ ?

Gegeben: $M$ , $P$ und zwei Prüfpunkte $Q$ , $T$ .

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Radius
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Gleichung
…
3
Punktprobe
…

Typische Fehler

✗
Vorzeichen beim Ablesen: $(x + 3)^{2}$ heisst $a = - 3$ .
✗
Beim quadratischen Ergänzen die abgezogenen Quadrate vergessen.
✗
Den Radius als $r^{2}$ angeben statt die Wurzel zu ziehen.

Prüfungstipp

Mach eine Skizze mit $M$ und $r$ . Eine Sehne verbindet zwei Punkte des Kreises. Viele Kreisaufgaben lassen sich mit einem rechtwinkligen Dreieck (Radius, halbe Sehne, Abstand zur Sehne) viel schneller lösen.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an einer Abschlussprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Hilfsmittel legt deine Schule fest. Üben: Formelsammlung erlaubt, Taschenrechner nur, wo die Aufgabe es sagt.

2 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Kreis, Tangente und Sehne
Kreis durch drei Punkte

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Abo.

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Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du liest Mittelpunkt und Radius aus jeder Kreisgleichung ab (quadratisch ergänzen).
Du bestimmst Tangenten mit der Eigenschaft «Tangente steht senkrecht auf dem Radius».
Du berechnest Schnittpunkte von Kreis und Gerade.

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Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Eine Lehrperson antwortet meist innert 24 Stunden. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

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