Lektion 15

Vektorgeometrie I

Vektoren, Länge, Skalarprodukt, Winkel, Geraden in 2D

MathePrüfungsrelevantca. 45 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

Ein Vektor ist ein Pfeil mit Richtung und Länge.

Nach dieser Lektion

Du rechnest mit Vektoren: Verbindungsvektor, Länge, Mittelpunkt.
Du berechnest Winkel mit dem Skalarprodukt.
Du erkennst rechte Winkel an $a \cdot b = 0$ .

An der Prüfung: Vektoren sind die Grundlage der analytischen Geometrie: Länge, Skalarprodukt, Winkel und Geraden in der Ebene.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

true

a blau, b orange, Summe grün, Differenz dunkel.

$a \cdot b = 6 > 0$ : spitzer Winkel.

a

nach rechts

a

nach oben

b

nach rechts

b

nach oben

$a \cdot b$

$Winkel φ$

53,1°

$a \cdot b = 6 > 0$ : spitzer Winkel.

a blau, b orange, Summe grün, Differenz dunkel.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Mach die Vektoren senkrecht.
(offen)
Stelle einen stumpfen Winkel ein.
(offen)
Die Summe $a + b$ soll $(2 4)$ sein.
(offen)

Entdecke:

Dreh $b$ um $a$ herum. Bei welchem Skalarprodukt steht der Winkel genau auf $9 0^{\circ}$ ?

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Verbindungsvektor

A B = B - A

Spitze minus Fuss: Koordinaten einzeln subtrahieren.
Mittelpunkt: $M = \frac{1}{2} (A + B)$

Die Punkte $A$ und $B$ .

MerkeSpitze minus Fuss, nie umgekehrt.

A B = (3 4) - (1 1) = (2 3)

Spitze minus Fuss: $4 - 1 = 3$ und $3 - 1 = 2$ .
Mittelpunkt: $M = \frac{1}{2} (1 + 4 ∣ 1 + 3) = (2, 5 ∣ 2)$

Mittelpunkt $M (2, 5 ∣ 2)$

MerkeSpitze minus Fuss, nie umgekehrt.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Verbindungsvektor», Schritt 4

2Länge

∣ v ∣ = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}

Vektor		Länge
$(4 3)$	→	$9 + 16 = 5$
$212$	→	$4 + 1 + 4 = 3$
$(1 1)$	→	$2 \approx 1, 41$

Quadrate der Komponenten addieren, dann die Wurzel ziehen.

MerkeDie Wurzel nicht vergessen.

∣ v ∣ = 2^{2} + 3^{2} + 6^{2} = 7

Vektor		Länge
$(4 3)$	→	$9 + 16 = 5$
$212$	→	$4 + 1 + 4 = 3$
$(1 1)$	→	$2 \approx 1, 41$

$4 + 9 + 36 = 49$ , dann die Wurzel: $49 = 7$ .

MerkeOhne Wurzel käme

49

heraus, nicht

7

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Länge», Schritt 4

3Skalarprodukt und Winkel

a \cdot b = a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} + a_{z} b_{z}

$cos φ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ ∣ b ∣}$
Beide Vektoren zeigen vom Scheitel des Winkels weg.

$a \cdot b > 0$ : spitzer Winkel.

MerkeSkalarprodukt

0

heisst: rechter Winkel.

a \cdot b = 4 \cdot 2 + 1 \cdot 3 = 11

$cos φ = \frac{11}{17 13} \approx 0, 740$ , also $φ \approx 42, 3^{\circ}$ .
Beide Pfeile starten im Ursprung, dem Scheitel des Winkels.

$b = (- 3 ∣ 2)$ : $a \cdot b = - 12 + 2 = - 10 < 0$ , stumpf.

MerkeSkalarprodukt

0

heisst: rechter Winkel.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Skalarprodukt und Winkel», Schritt 4

4Parallelogramm und Rhombus

D = A + B C

$A B C D$ : Gegenüberliegende Seiten sind gleiche Vektoren, $A B = D C$ .
Die Diagonalen halbieren sich.
Rhombus: zusätzlich $∣ A B ∣ = ∣ A D ∣$ .

Gegeben $A$ , $B$ , $C$ , gesucht $D$ .

MerkeDieselbe Verschiebung wie von

B

nach

C

D = (0 ∣ 0) + (1 ∣ 3) = (1 ∣ 3)

$A B = (3 ∣ 1) = D C$ , denn $C - D = (4 - 1 ∣ 4 - 3)$ .
Die Diagonalen halbieren sich in $(2 ∣ 2)$ .
Rhombus: $∣ A B ∣ = ∣ A D ∣ = 10$ .

$D = A + B C = (1 ∣ 3)$ , alle Seiten $10$ lang.

MerkeDieselbe Verschiebung wie von

B

nach

C

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Parallelogramm und Rhombus», Schritt 4

5Zerlegung in zwei Richtungen

v = s a + t b

$v$ in die Richtungen von $a$ und $b$ zerlegen: die Zahlen $s$ und $t$ finden.
Komponentenweise gibt das zwei Gleichungen für $s$ und $t$ .
Das geht immer, wenn $a$ und $b$ nicht parallel sind.

Gegeben: $v$ und die zwei Richtungen von $a$ und $b$ (gestrichelt).

MerkeZerlegen heisst:

s

und

t

aus zwei Gleichungen bestimmen.

(5 1) = s (1 2) + t (1 - 1)

$v = (1 ∣ 5)$ in die Richtungen $(2 ∣ 1)$ und $(- 1 ∣ 1)$ zerlegen.
$2 s - t = 1$ und $s + t = 5$ , addiert: $3 s = 6$ , also $s = 2$ und $t = 3$ .
Probe: $2 (2 ∣ 1) + 3 (- 1 ∣ 1) = (4 - 3 ∣ 2 + 3) = (1 ∣ 5)$ .

$v = 2 a + 3 b$ : $s = 2$ , $t = 3$ .

Merke

s = 2

und

t = 3

aus zwei Gleichungen.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Zerlegung in zwei Richtungen», Schritt 4

6Polarkoordinaten

v = (r cos φ r sin φ)

Lage des Pfeils		Winkel
	→	$tan^{- 1} \frac{y}{x}$
	→	$tan^{- 1} \frac{y}{x} + 18 0^{\circ}$
	→	$tan^{- 1} \frac{y}{x} + 36 0^{\circ}$

Polarkoordinaten von $v$ : die Länge $r = ∣ v ∣$ und der Winkel $φ$ ab der positiven x-Achse.
Zurück: $r = x^{2} + y^{2}$ und $tan φ = \frac{y}{x}$ .
$tan^{- 1}$ gibt nur Winkel von $- 9 0^{\circ}$ bis $9 0^{\circ}$ : den Quadranten prüfen (Tabelle).

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

$v$ hat die Länge $r$ und den Winkel $φ$ ab der positiven x-Achse.

Erster Quadrant: Das ist schon der Winkel $φ$ .

Eine halbe Drehung weiter: $- 36, 9^{\circ} + 18 0^{\circ} = 143, 1^{\circ}$ .

Gegen den Uhrzeigersinn: $- 36, 9^{\circ} + 36 0^{\circ} = 323, 1^{\circ}$ .

MerkeZuerst skizzieren, dann den Winkel zum Quadranten passend machen.

v = (5 cos 12 0^{\circ} 5 sin 12 0^{\circ}) \approx (- 2, 5 4, 33)

Lage des Pfeils		Winkel
	→	$tan^{- 1} \frac{y}{x}$
	→	$tan^{- 1} \frac{y}{x} + 18 0^{\circ}$
	→	$tan^{- 1} \frac{y}{x} + 36 0^{\circ}$

Länge $r = 5$ , Winkel $φ = 12 0^{\circ}$ : $x = 5 cos 12 0^{\circ} = - 2, 5$ .
Zurück: $2, 5^{2} + 4, 3 3^{2} \approx 5$ und $tan^{- 1} \frac{4 , 33}{- 2 , 5} \approx - 6 0^{\circ}$ .
$x < 0$ , also $- 6 0^{\circ} + 18 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$ , wie gegeben.

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

Zurück: $tan^{- 1} \frac{4 , 33}{- 2 , 5} \approx - 6 0^{\circ}$ , plus $18 0^{\circ}$ gibt $12 0^{\circ}$ .

Erster Quadrant: Das ist schon der Winkel $φ$ .

Eine halbe Drehung weiter: $- 36, 9^{\circ} + 18 0^{\circ} = 143, 1^{\circ}$ .

Gegen den Uhrzeigersinn: $- 36, 9^{\circ} + 36 0^{\circ} = 323, 1^{\circ}$ .

MerkeZuerst skizzieren, dann den Winkel zum Quadranten passend machen.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Polarkoordinaten», Schritt 4

Im Alltag

Wo dir das ausserhalb der Schule begegnet.

Wanderung

Etappe 1: 4 km nach Osten, 1 km nach Norden.

Eine Wanderung in zwei Etappen, $(1 4)$ und $(3 - 1)$ (in km nach Osten und nach Norden), endet bei $(3 ∣ 4)$ . Die Luftlinie zum Start: $3^{2} + 4^{2} = 5$ km.

Treffpunkt

$A (1 ∣ 5)$ und $B (7 ∣ 1)$ , in km auf der Karte.

Zwei Personen wohnen bei $A (1 ∣ 5)$ und $B (7 ∣ 1)$ (in km auf der Karte). Treffen sie sich in der Mitte $M = \frac{1}{2} (A + B) = (4 ∣ 3)$ , geht jede $13 \approx 3, 6$ km.

Gartenhaus

$A B = (2 6)$ und $A D = (3 - 1)$ , in Metern.

Beim Abstecken eines Gartenhauses prüfst du den rechten Winkel mit dem Skalarprodukt: $6 \cdot (- 1) + 2 \cdot 3 = 0$ . Die vierte Ecke ist dann $C = B + A D = (5 ∣ 5)$ .

Seilbahn

Zur Bergstation: $v = (1200 ∣ 900 ∣ 800)$ , in Metern.

Von der Tal- zur Bergstation einer Seilbahn: 1200 m nach Osten, 900 m nach Norden, 800 m hinauf. Die Luftlinie ist $120 0^{2} + 90 0^{2} + 80 0^{2} = 1700$ m.

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Gegeben sind $A (- 2 ∣ 1)$ und $B (4 ∣ 5)$ . Bestimme $A B$ , $B A$ und den Mittelpunkt $M$ der Strecke $A B$ .

Gegeben: $A (- 2 ∣ 1)$ und $B (4 ∣ 5)$ .

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Spitze minus Fuss
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Umgekehrte Richtung
…
3
Mittelpunkt
…

Typische Fehler

✗
$A B$ als $A - B$ rechnen.
✗
Den Winkel zwischen den falschen Vektoren berechnen. Beide müssen vom Scheitel des Winkels weg zeigen.
✗
Bei der Länge die Wurzel vergessen.

Prüfungstipp

Der grösste Winkel liegt immer gegenüber der längsten Seite. Berechne zuerst alle Längen, dann weisst du, welchen Winkel du brauchst.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an einer Abschlussprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Hilfsmittel legt deine Schule fest. Üben: Formelsammlung erlaubt, Taschenrechner nur, wo die Aufgabe es sagt.

2 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Parallelogramm im Raum
Zwei Kursschiffe auf dem See

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Abo.

Gratis-Konto erstellen

Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du rechnest mit Vektoren: Verbindungsvektor, Länge, Mittelpunkt.
Du berechnest Winkel mit dem Skalarprodukt.
Du erkennst rechte Winkel an $a \cdot b = 0$ .

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Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Antwort von Ugi innert 2 Schultagen. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

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