Lektion 13

Trigonometrie II

Sinussatz, Kosinussatz, trigonometrische Gleichungen, Graphen

MathePrüfungsrelevantca. 45 Min.Adaptiver Trainer

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In 30 Sekunden

Dieses Dreieck hat keinen rechten Winkel. Welcher Satz hilft?

Nach dieser Lektion

Du wählst zwischen Sinussatz und Kosinussatz.
Du findest alle Lösungen von $sin x = k$ im Intervall.
Du skizzierst $y = a sin (b x)$ .

An der Prüfung: Sinus- und Kosinussatz für allgemeine Dreiecke, dazu trigonometrische Funktionen und Gleichungen.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

true

P(cos α | sin α): blau cos α, orange sin α. Rechts dieselben Werte als Kurven.

1. Quadrant: $sin α > 0$ und $cos α > 0$ , $P$ liegt rechts oben.

Winkel

α

$cos α$

0,766

$sin α$

0,643

$α im Bogenmass$

0,698

1. Quadrant: $sin α > 0$ und $cos α > 0$ , $P$ liegt rechts oben.

P(cos α | sin α): blau cos α, orange sin α. Rechts dieselben Werte als Kurven.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Stell $sin α = 0, 5$ ein. Es gibt zwei solche Winkel.
(offen)
Finde den Winkel mit $sin α = - 1$ .
(offen)
Stell einen Winkel mit $sin α < 0$ und $cos α > 0$ ein.
(offen)

Entdecke:

Schieb $α$ einmal rund herum und schau, wie der orange Punkt die Sinuskurve abfährt. Bei welchem Winkel ist $cos α$ gleich $sin α$ ? Probier auch $3 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ und $33 0^{\circ}$ .

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Sinussatz

\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ}

Du brauchst ein Paar: eine Seite und ihren Gegenwinkel.
Bei einem gesuchten Winkel gibt es manchmal zwei Lösungen.

Jede Seite liegt einem Winkel gegenüber.

MerkeSeite und Gegenwinkel gehören zusammen.

\frac{6 , 94}{sin 56 , 8 ^{\circ}} \approx \frac{6 , 21}{sin 48 , 5 ^{\circ}} \approx \frac{8}{sin 74 , 7 ^{\circ}}

Ein Paar: $a \approx 6, 94$ und $α \approx 56, 8^{\circ}$ , jeder Bruch gibt etwa $8, 29$ .
$sin β \approx 0, 749$ : $β \approx 48, 5^{\circ}$ oder $131, 5^{\circ}$ , hier passt nur $48, 5^{\circ}$ .

Paar 3: $\frac{8}{sin 74 , 7 ^{\circ}} \approx 8, 29$

MerkeSeite und Gegenwinkel gehören zusammen.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Sinussatz», Schritt 4

2Kosinussatz

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α

Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel: die dritte Seite.
Alle drei Seiten: jeden Winkel.

$b$ , $c$ und der Winkel $α$ dazwischen sind bekannt.

MerkeBei

α = 9 0^{\circ}

wird daraus Pythagoras.

a^{2} = 6, 21^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 6, 21 \cdot 8 cos 56, 8^{\circ}

$b \approx 6, 21$ , $c = 8$ und $α \approx 56, 8^{\circ}$ geben $a^{2} \approx 48, 2$ , $a \approx 6, 94$ .
Aus $a$ , $b$ , $c$ zurück: $cos α \approx 0, 548$ , also $α \approx 56, 8^{\circ}$ .

Gesucht: die dritte Seite $a \approx 6, 94$ .

MerkeBei

α = 9 0^{\circ}

wird daraus Pythagoras.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Kosinussatz», Schritt 4

3Fläche

F = \frac{1}{2} a b sin γ

Zwei Seiten und der Winkel dazwischen reichen.

Zwei Seiten $a$ , $b$ und der Winkel $γ$ dazwischen.

MerkeDie Höhe ist

b sin γ

F = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot sin 3 0^{\circ} = 6

$a = 6$ , $b = 4$ und $γ = 3 0^{\circ}$ dazwischen reichen.

$F = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6$

MerkeDie Höhe ist

4 \cdot sin 3 0^{\circ} = 2

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Kosinussatz», Schritt 4

4sin x = k: zwei Lösungen

x_{2} = 18 0^{\circ} - x_{1}

Der Rechner liefert nur $x_{1} = arcsin k$ (Arkussinus, Taste $sin^{- 1}$ : der Winkel zum Sinuswert $k$ ).
Spiegle $x_{1}$ an der y-Achse: das ist $x_{2}$ .

$sin x = k$ : die Höhe $y = k$ auf dem Einheitskreis.

MerkeIm Bogenmass:

x_{2} = π - x_{1}

x_{2} = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 15 0^{\circ}

Der Rechner liefert nur $x_{1} = arcsin 0, 5 = 3 0^{\circ}$ .
Spiegle $3 0^{\circ}$ an der y-Achse: das ist $x_{2} = 15 0^{\circ}$ .

Gespiegelt an der y-Achse: $x_{2} = 15 0^{\circ}$ .

MerkeIm Bogenmass:

x_{2} = π - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «sin x = k: zwei Lösungen», Schritt 4

5Graph von y = a·sin(bx) + d

y = a sin (b x) + d

Amplitude $∣ a ∣$ : so weit geht der Graph über und unter die Mittellage.
Periode $\frac{2 π}{b}$ : nach dieser Länge wiederholt sich der Graph.
Mittellage $d$ : Höchstwert $d + ∣ a ∣$ , Tiefstwert $d - ∣ a ∣$ .

$y = a sin (b x) + d$ : eine gestreckte und verschobene Sinuskurve.

MerkeDie Zahl

b

im Sinus staucht: Periode

\frac{2 π}{b}

statt

2 π

y = 2 sin (2 x) + 1

Amplitude $2$ : so weit geht der Graph über und unter $y = 1$ .
Periode $\frac{2 π}{2} = π$ : nach $π \approx 3, 14$ wiederholt sich der Graph.
Mittellage $1$ : Höchstwert $1 + 2 = 3$ , Tiefstwert $1 - 2 = - 1$ .

Periode $\frac{2 π}{b} = \frac{2 π}{2} = π \approx 3, 14$ : Danach wiederholt sich alles.

MerkeDie

2

im Sinus staucht: Periode

π

statt

2 π

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Graph von y = a·sin(bx) + d», Schritt 4

Im Alltag

Wo dir das ausserhalb der Schule begegnet.

Flussbreite

Standlinie 100 m, Winkel $5 0^{\circ}$ und $6 0^{\circ}$ zum Baum.

Vom Ufer aus: 100 m Standlinie und die Winkel $5 0^{\circ}$ und $6 0^{\circ}$ zu einem Baum drüben. Der Sinussatz gibt 92,2 m bis zum Baum, der Fluss ist $92, 2 \cdot sin 5 0^{\circ} \approx 70, 6$ m breit.

Über den See

Zwei Uferwege: 3 km und 5 km, dazwischen $12 0^{\circ}$ .

Vom Bootshaus führen Wege 3 km und 5 km dem Ufer entlang, dazwischen liegen $12 0^{\circ}$ . Quer über den See sind es nach dem Kosinussatz $9 + 25 + 15 = 7$ km.

Grundstück

Zwei Seiten, 40 m und 30 m, dazwischen $3 0^{\circ}$ .

Ein dreieckiges Grundstück hat zwei Grenzen von 40 m und 30 m, die sich unter $3 0^{\circ}$ treffen. Seine Fläche: $\frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 30 \cdot sin 3 0^{\circ} = 300$ m².

Tageslänge

Tageslänge übers Jahr, ab Frühlingsanfang (vereinfacht).

Ein Tag dauert in der Schweiz übers Jahr etwa 8 bis 16 Stunden. Vereinfacht: $y = 4 sin (\frac{2 π}{365} x) + 12$ Stunden, $x$ Tage nach Frühlingsanfang.

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

In einem Dreieck ist $a = 6$ , $α = 4 0^{\circ}$ und $β = 6 5^{\circ}$ . Berechne $γ$ , $b$ und $c$ .

Gegeben: $a = 6$ , $α = 4 0^{\circ}$ , $β = 6 5^{\circ}$ .

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Dritter Winkel
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Seite b
…
3
Seite c
…

Typische Fehler

✗
Beim Sinussatz die zweite Lösung (stumpfer Winkel) übersehen.
✗
Den Kosinussatz mit falschem Winkel benutzen: Der Winkel muss der Seite links gegenüberliegen.
✗
Bei $sin x = k$ nur die Rechnerlösung angeben.

Prüfungstipp

Faustregel: Kennst du ein Seite-Winkel-Paar, nimm den Sinussatz. Sonst den Kosinussatz.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an einer Abschlussprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Hilfsmittel legt deine Schule fest. Üben: Formelsammlung erlaubt, Taschenrechner nur, wo die Aufgabe es sagt.

2 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Abstand eines Bootes
Gondel im Riesenrad

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Abo.

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Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du wählst zwischen Sinussatz und Kosinussatz.
Du findest alle Lösungen von $sin x = k$ im Intervall.
Du skizzierst $y = a sin (b x)$ .

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Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Antwort von Ugi innert 2 Schultagen. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

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