Lektion 10

Trigonometrie II

Sinussatz, Kosinussatz, trigonometrische Gleichungen, Graphen

Prüfungsrelevantca. 45 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

Dieses Dreieck hat keinen rechten Winkel. Welcher Satz hilft?

Nach dieser Lektion

Du wählst zwischen Sinussatz und Kosinussatz.
Du findest alle Lösungen von $sin x = k$ im Intervall.
Du skizzierst $y = a sin (b x)$ .

An der Prüfung: Sinus- und Kosinussatz für allgemeine Dreiecke, dazu trigonometrische Funktionen und Gleichungen.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

P(cos α | sin α): blau cos α, orange sin α. Rechts dieselben Werte als Kurven.

1. Quadrant: $sin α > 0$ und $cos α > 0$ , $P$ liegt rechts oben.

Winkel

α

true

$cos α$

0,766

$sin α$

0,643

$α im Bogenmass$

0,698

1. Quadrant: $sin α > 0$ und $cos α > 0$ , $P$ liegt rechts oben.

P(cos α | sin α): blau cos α, orange sin α. Rechts dieselben Werte als Kurven.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Stell $sin α = 0, 5$ ein. Es gibt zwei solche Winkel.
(offen)
Finde den Winkel mit $sin α = - 1$ .
(offen)
Stell einen Winkel mit $sin α < 0$ und $cos α > 0$ ein.
(offen)

Entdecke:

Schieb $α$ einmal rund herum und schau, wie der orange Punkt die Sinuskurve abfährt. Bei welchem Winkel ist $cos α$ gleich $sin α$ ? Probier auch $3 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ und $33 0^{\circ}$ .

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Sinussatz

\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ}

Du brauchst ein Paar: eine Seite und ihren Gegenwinkel.
Bei einem gesuchten Winkel gibt es manchmal zwei Lösungen.

Jede Seite liegt einem Winkel gegenüber.

MerkeSeite und Gegenwinkel gehören zusammen.

\frac{6 , 94}{sin 56 , 8 ^{\circ}} \approx \frac{6 , 21}{sin 48 , 5 ^{\circ}} \approx \frac{8}{sin 74 , 7 ^{\circ}}

Ein Paar: $a \approx 6, 94$ und $α \approx 56, 8^{\circ}$ , jeder Bruch gibt etwa $8, 29$ .
$sin β \approx 0, 749$ : $β \approx 48, 5^{\circ}$ oder $131, 5^{\circ}$ , hier passt nur $48, 5^{\circ}$ .

Paar 3: $\frac{8}{sin 74 , 7 ^{\circ}} \approx 8, 29$

MerkeSeite und Gegenwinkel gehören zusammen.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Sinussatz», Schritt 4

2Kosinussatz

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α

Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel: die dritte Seite.
Alle drei Seiten: jeden Winkel.

$b$ , $c$ und der Winkel $α$ dazwischen sind bekannt.

MerkeBei

α = 9 0^{\circ}

wird daraus Pythagoras.

a^{2} = 6, 21^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 6, 21 \cdot 8 cos 56, 8^{\circ}

$b \approx 6, 21$ , $c = 8$ und $α \approx 56, 8^{\circ}$ geben $a^{2} \approx 48, 2$ , $a \approx 6, 94$ .
Aus $a$ , $b$ , $c$ zurück: $cos α \approx 0, 548$ , also $α \approx 56, 8^{\circ}$ .

Gesucht: die dritte Seite $a \approx 6, 94$ .

MerkeBei

α = 9 0^{\circ}

wird daraus Pythagoras.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Kosinussatz», Schritt 4

3Fläche

F = \frac{1}{2} a b sin γ

Zwei Seiten und der Winkel dazwischen reichen.

Zwei Seiten $a$ , $b$ und der Winkel $γ$ dazwischen.

MerkeDie Höhe ist

b sin γ

F = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot sin 3 0^{\circ} = 6

$a = 6$ , $b = 4$ und $γ = 3 0^{\circ}$ dazwischen reichen.

$F = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6$

MerkeDie Höhe ist

4 \cdot sin 3 0^{\circ} = 2

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Kosinussatz», Schritt 4

4sin x = k: zwei Lösungen

x_{2} = 18 0^{\circ} - x_{1}

Der Rechner liefert nur $x_{1} = arcsin k$ (Taste $sin^{- 1}$ : Winkel zum Sinuswert $k$ ).
Spiegle $x_{1}$ an der y-Achse: das ist $x_{2}$ .

$sin x = k$ : die Höhe $y = k$ auf dem Einheitskreis.

MerkeIm Bogenmass:

x_{2} = π - x_{1}

x_{2} = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 15 0^{\circ}

Der Rechner liefert nur $x_{1} = arcsin 0, 5 = 3 0^{\circ}$ .
Spiegle $3 0^{\circ}$ an der y-Achse: das ist $x_{2} = 15 0^{\circ}$ .

Gespiegelt an der y-Achse: $x_{2} = 15 0^{\circ}$ .

MerkeIm Bogenmass:

x_{2} = π - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «sin x = k: zwei Lösungen», Schritt 4

5Graph von y = a·sin(bx) + d

y = a sin (b x) + d

Amplitude $∣ a ∣$ : so weit geht der Graph über und unter die Mittellage.
Periode $\frac{2 π}{b}$ : nach dieser Länge wiederholt sich der Graph.
Mittellage $d$ : Höchstwert $d + ∣ a ∣$ , Tiefstwert $d - ∣ a ∣$ .

$y = a sin (b x) + d$ : eine gestreckte und verschobene Sinuskurve.

MerkeDie Zahl

b

im Sinus staucht: Periode

\frac{2 π}{b}

statt

2 π

y = 2 sin (2 x) + 1

Amplitude $2$ : so weit geht der Graph über und unter $y = 1$ .
Periode $\frac{2 π}{2} = π$ : nach $π \approx 3, 14$ wiederholt sich der Graph.
Mittellage $1$ : Höchstwert $1 + 2 = 3$ , Tiefstwert $1 - 2 = - 1$ .

Periode $\frac{2 π}{b} = \frac{2 π}{2} = π \approx 3, 14$ : Danach wiederholt sich alles.

MerkeDie

2

im Sinus staucht: Periode

π

statt

2 π

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Graph von y = a·sin(bx) + d», Schritt 4

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

In einem Dreieck ist $a = 6$ , $α = 4 0^{\circ}$ und $β = 6 5^{\circ}$ . Berechne $γ$ , $b$ und $c$ .

Gegeben: $a = 6$ , $α = 4 0^{\circ}$ , $β = 6 5^{\circ}$ .

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Dritter Winkel
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Seite b
…
3
Seite c
…

Typische Fehler

✗
Beim Sinussatz die zweite Lösung (stumpfer Winkel) übersehen.
✗
Den Kosinussatz mit falschem Winkel benutzen: Der Winkel muss der Seite links gegenüberliegen.
✗
Bei $sin x = k$ nur die Rechnerlösung angeben.

Prüfungstipp

Faustregel: Kennst du ein Seite-Winkel-Paar, nimm den Sinussatz. Sonst den Kosinussatz.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an einer Abschlussprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Hilfsmittel legt deine Schule fest. Üben: Formelsammlung erlaubt, Taschenrechner nur, wo die Aufgabe es sagt.

2 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Abstand eines Bootes
Gondel im Riesenrad

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Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du wählst zwischen Sinussatz und Kosinussatz.
Du findest alle Lösungen von $sin x = k$ im Intervall.
Du skizzierst $y = a sin (b x)$ .

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Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

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