Lektion 14

Stereometrie

Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel, Kugel, zusammengesetzte Körper, Ähnlichkeit

MathePrüfungsrelevantca. 45 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

Drei gleiche Hüllen: Radius $r$ , Höhe $2 r$ . Rechts der volle Zylinder.

Nach dieser Lektion

Du berechnest Volumen und Oberfläche von Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel und Kugel.
Du bestimmst Höhe und Mantellinie mit dem Satz des Pythagoras.
Du zerlegst zusammengesetzte Körper und rechnest bei Ähnlichkeit mit $k$ , $k^{2}$ und $k^{3}$ .

An der Prüfung: Gehört zum Stoff der Mittelschule und kommt in Abschlussprüfungen vor, oft als Textaufgabe mit zusammengesetzten Körpern und Pythagoras.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

true

Kegel mit Radius $r = 3$ cm und Höhe $h = 4$ cm, gestreckt mit dem Streckfaktor $k$ . Gestrichelt: das Original.

Länge $\times 1, 5$ , Fläche $\times 2, 25$ , Volumen $\times 3, 375$ . Das Volumen wächst am stärksten.

Streckfaktor

k

$Mantellinie s$

7,5cm

$Oberfl a ¨ che O$

54π cm²

$Volumen V$

40,5π cm³

Länge $\times 1, 5$ , Fläche $\times 2, 25$ , Volumen $\times 3, 375$ . Das Volumen wächst am stärksten.

Kegel mit Radius $r = 3$ cm und Höhe $h = 4$ cm, gestreckt mit dem Streckfaktor $k$ . Gestrichelt: das Original.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Verdopple alle Längen ( $k = 2$ ) und lies den Volumenfaktor ab.
(offen)
Mach die Oberfläche 9-mal so gross.
(offen)
Verkleinere so, dass das Volumen nur noch ein Achtel ist.
(offen)

Entdecke:

Streckst du alle Längen mit $k$ , werden Flächen $k^{2}$ -mal und Volumen $k^{3}$ -mal so gross. Darum wächst der Balken «Volumen» so viel schneller.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Volumen im Überblick

V_{Spitze} = \frac{1}{3} G \cdot h

Körper		Volumen
$Prisma$	→	$G \cdot h$
$Zylinder$	→	$π r^{2} \cdot h$
$Pyramide$	→	$\frac{1}{3} G \cdot h$
$Kegel$	→	$\frac{1}{3} π r^{2} \cdot h$
$Kugel$	→	$\frac{4}{3} π r^{3}$

Pyramide und Kegel: ein Drittel von Grundfläche $G$ mal Höhe $h$ .
Kugel: zwei Drittel des Zylinders, der sie genau umschliesst.

↻ zum Drehen ziehen

Ein Würfel mit einer Ecke $P$ .

MerkeSpitz zulaufende Körper brauchen den Faktor

\frac{1}{3}

V_{Spitze} = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 6 = 72 cm^{3}

Körper		Volumen
$Prisma (W u ¨ rfel)$	→	$36 \cdot 6 = 216$
$Zylinder$	→	$π \cdot 6^{2} \cdot 12 = 432 π$
$Pyramide$	→	$\frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 6 = 72$
$Kegel$	→	$\frac{1}{3} π \cdot 6^{2} \cdot 12 = 144 π$
$Kugel$	→	$\frac{4}{3} π \cdot 6^{3} = 288 π$

Pyramide: $72$ ist ein Drittel von $216$ , Kegel: $144 π$ ein Drittel von $432 π$ .
Kugel mit $r = 6$ : $288 π$ sind zwei Drittel des Zylinders mit $h = 12$ .

↻ zum Drehen ziehen

Drei Pyramiden füllen den Würfel: $3 \cdot 72 = 216 = 6^{3}$ .

MerkeSpitz zulaufende Körper brauchen den Faktor

\frac{1}{3}

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Volumen im Überblick», Schritt 4

2Oberfläche und Mantel

O = Grundfl a ¨ chen + Mantel

Körper		Oberfläche
$Prisma$	→	$2 G + M$
$Zylinder$	→	$2 π r^{2} + 2 π r h$
$Pyramide$	→	$G + M$
$Kegel$	→	$π r^{2} + π r s$
$Kugel$	→	$4 π r^{2}$

Mantel $M$ : die Seitenflächen. Beim Kegel mit Mantellinie $s$ : $M = π r s$ .
Zusammengesetzte Körper: Volumen addieren, die Berührfläche zählt bei $O$ nicht.

Ein Kegel sitzt auf einem Zylinder.

MerkeBerührflächen sind innen: Sie gehören nicht zur Oberfläche.

O = 9 π + 36 π + 15 π = 60 π cm^{2}

Körper		Oberfläche
$Prisma$	→	$2 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 5$
$Zylinder$	→	$2 π \cdot 3^{2} + 2 π \cdot 3 \cdot 5$
$Pyramide$	→	$6^{2} + 4 \cdot \frac{6 \cdot 5}{2}$
$Kegel$	→	$π \cdot 3^{2} + π \cdot 3 \cdot 5$
$Kugel$	→	$4 π \cdot 3^{2}$

Kegel mit $r = 3$ und $s = 5$ : $M = π \cdot 3 \cdot 5 = 15 π$ .
Kegel auf Zylinder: Die Berührfläche $9 π$ zählt bei $O$ nicht.

$O = 9 π + 36 π + 15 π = 60 π$

MerkeBerührflächen sind innen: Sie gehören nicht zur Oberfläche.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Oberfläche und Mantel», Schritt 4

3Höhe und Mantellinie

s^{2} = r^{2} + h^{2}

Im Körper ein rechtwinkliges Dreieck suchen.
Quadratische Pyramide (Grundkante $a$ ), Seitenhöhe $h_{s}$ : $h_{s}^{2} = h^{2} + (\frac{a}{2})^{2}$ .
Gute Dreiecke: $3 - 4 - 5$ , $5 - 12 - 13$ , $8 - 15 - 17$ .

Ein Kegel mit Radius $r$ und Höhe $h$ .

MerkeZuerst das Dreieck, dann Pythagoras.

s^{2} = 4, 5^{2} + 6^{2} = 56, 25

Im Kegel bilden $r = 4, 5$ , $h = 6$ und $s = 7, 5$ ein rechtwinkliges Dreieck.
Quadratische Pyramide mit $a = 16$ , $h = 15$ : $h_{s}^{2} = 1 5^{2} + 8^{2} = 289$ , $h_{s} = 17$ .
Vielfache gehen auch: $4, 5 - 6 - 7, 5$ ist $1, 5$ -mal $3 - 4 - 5$ .

$s = 4, 5^{2} + 6^{2} = 7, 5$ cm

MerkeZuerst das Dreieck, dann Pythagoras.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Höhe und Mantellinie», Schritt 4

4Ähnlichkeit: Faktor k

Grösse		Faktor
	→	$k$
	→	$k^{2}$
	→	$k^{3}$

$k$ = neue Länge : alte Länge. Vom Modell im Massstab $1 : 50$ zum Original ist $k = 50$ .
Volumen gegeben? Dann $k = 3 V_{neu} : V_{alt}$ .

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

Quadrat mit Kante $1$ : Fläche $1$ .

Warum: Alles wird gleich gestreckt, auch die Diagonale: $1, 41 \to 2, 83$ .

Warum: $2$ Spalten mal $2$ Reihen, also $4$ Quadrate: Fläche mal $k^{2} = 4$ .

Warum: $2$ lang, $2$ breit, $2$ hoch: Volumen mal $k^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ .

MerkeFlächen mal

k^{2}

, Volumen mal

k^{3}

, nie mal

k

Grösse		Faktor
$L a ¨ nge s : 5 \to 7, 5$	→	$1, 5$
$Fl a ¨ che O : 24 π \to 54 π$	→	$1, 5^{2} = 2, 25$
$Volumen V : 12 π \to 40, 5 π$	→	$1, 5^{3} = 3, 375$

$k = 7, 5 : 5 = 1, 5$ : neue Mantellinie durch alte, beim Kegel des Labors.
Nur die Volumen bekannt: $k = 3 40, 5 π : 12 π = 3 3, 375 = 1, 5$ .

Die Fläche wächst mit $k^{2}$ , das Volumen mit $k^{3}$ .

MerkeFlächen mal

k^{2}

, Volumen mal

k^{3}

, nie mal

k

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Ähnlichkeit: Faktor k», Schritt 4

5Pyramiden- und Kegelstumpf

V_{Stumpf} = \frac{h}{3} (G_{1} + G_{1} G_{2} + G_{2})

Kegelstumpf		Formel
$Volumen V$	→	$\frac{π h}{3} (r_{1}^{2} + r_{1} r_{2} + r_{2}^{2})$
$Mantel M$	→	$π s (r_{1} + r_{2})$
$Mantellinie s$	→	$h^{2} + (r_{1} - r_{2})^{2}$

Stumpf: Pyramide oder Kegel ohne Spitze, mit Grundfläche $G_{1}$ , Deckfläche $G_{2}$ und Höhe $h$ .
Beim Kegelstumpf ist $G_{1} = π r_{1}^{2}$ und $G_{2} = π r_{2}^{2}$ : So entsteht die Formel der Tabelle.
Kontrolle: ganzer Körper minus die abgeschnittene Spitze.

Ein Kegel mit dem Grundkreisradius $r_{1}$ .

MerkeStumpf = ganzer Körper minus Spitze.

V = \frac{4}{3} (36 π + 18 π + 9 π) = 84 π cm^{3}

Kegelstumpf		Formel
$Volumen V$	→	$\frac{4 π}{3} (36 + 18 + 9) = 84 π$
$Mantel M$	→	$π \cdot 5 \cdot (6 + 3) = 45 π$
$Mantellinie s$	→	$4^{2} + 3^{2} = 5$

Kegelstumpf mit $r_{1} = 6$ , $r_{2} = 3$ und $h = 4$ (in cm): $G_{1} = 36 π$ , $G_{2} = 9 π$ .
$G_{1} G_{2} = 36 π \cdot 9 π = 18 π$ , also $V = \frac{4}{3} \cdot 63 π = 84 π cm^{3}$ .
Kontrolle: ganzer Kegel $\frac{1}{3} π \cdot 36 \cdot 8 = 96 π$ minus Spitze $12 π$ gibt $84 π$ .

$s = 4^{2} + 3^{2} = 5$ cm, Mantel $π \cdot 5 \cdot 9 = 45 π cm^{2}$ .

MerkeStumpf = ganzer Körper minus Spitze.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Pyramiden- und Kegelstumpf», Schritt 4

Im Alltag

Wo dir das ausserhalb der Schule begegnet.

Konservendose

Die Dose: ein Zylinder mit $r = 5$ cm und $h = 13$ cm.

Eine Dose ist ein Zylinder mit $r = 5$ cm und $h = 13$ cm: $V = π \cdot 5^{2} \cdot 13 = 325 π \approx 1021 cm^{3}$ . Die Etikette ist der Mantel, $2 π \cdot 5 \cdot 13 \approx 408 cm^{2}$ .

Getränkepackung

Ein Quader: Boden $7 \times 7$ cm, $20$ cm hoch.

Eine Getränkepackung ist ein Quader (ein Prisma) mit $7 \times 7 \times 20$ cm: $V = 49 \cdot 20 = 980 cm^{3}$ . Für den Karton braucht es $O = 2 \cdot 49 + 4 \cdot 7 \cdot 20 = 658 cm^{2}$ .

Kieshaufen

Kegel mit $r = 3$ m und $h = 2$ m.

Ein Kieshaufen auf der Baustelle ist fast ein Kegel. Mit $r = 3$ m und $h = 2$ m sind es $V = \frac{1}{3} π \cdot 3^{2} \cdot 2 = 6 π \approx 18, 85 m^{3}$ Kies.

Schneemann

Ein Schneemann aus zwei Kugeln.

Der Bauch des Schneemanns hat den doppelten Radius des Kopfs, also $k = 2$ . Er braucht $2^{3} = 8$ -mal so viel Schnee, hat aber nur $2^{2} = 4$ -mal so viel Oberfläche.

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Ein Silo besteht aus einem Zylinder (Radius $3$ m, Höhe $4$ m) mit einem Kegeldach der Höhe $4$ m. Berechne das Volumen des Silos und die Dachfläche. Rechne exakt mit $π$ und runde am Schluss.

Silo: Zylinder mit Kegeldach.

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Zylinder
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Kegel
…
3
Mantellinie und Dach
…

Typische Fehler

✗
Den Faktor $\frac{1}{3}$ bei Pyramide und Kegel vergessen oder ihn bei Prisma und Zylinder falsch anwenden.
✗
Höhe $h$ und Mantellinie $s$ verwechseln: In $M = π r s$ steht $s$ , im Volumen steht $h$ .
✗
Bei Ähnlichkeit alles mit $k$ multiplizieren: Flächen brauchen $k^{2}$ , Volumen $k^{3}$ .

Prüfungstipp

Skizziere den Körper im Schnitt und trage alle Masse ein. Rechne mit exakten Werten ( $π$ , Wurzeln) und runde erst am Schluss. Bei zusammengesetzten Körpern überlege zuerst, welche Flächen wegfallen.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an einer Abschlussprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Hilfsmittel legt deine Schule fest. Üben: Formelsammlung erlaubt, Taschenrechner nur, wo die Aufgabe es sagt.

2 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Messgefäss, Kugel und Kegel
Kirchturm mit Pyramidendach

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Abo.

Gratis-Konto erstellen

Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du berechnest Volumen und Oberfläche von Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel und Kugel.
Du bestimmst Höhe und Mantellinie mit dem Satz des Pythagoras.
Du zerlegst zusammengesetzte Körper und rechnest bei Ähnlichkeit mit $k$ , $k^{2}$ und $k^{3}$ .

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Schritt 8

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