Lektion 05

Kreisbewegung und Gravitation

Winkelgeschwindigkeit, Zentripetalkraft, Gravitationsgesetz, Satellitenbahnen

Prüfungsrelevantca. 50 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

Auf der Kreisbahn zeigt die Geschwindigkeit $v$ immer entlang der Bahn (tangential).

Nach dieser Lektion

Du beschreibst eine Kreisbewegung mit Umlaufzeit, Frequenz, Winkelgeschwindigkeit und Bahntempo.
Du berechnest Zentripetalbeschleunigung und Zentripetalkraft.
Du wendest das Gravitationsgesetz auf Satelliten an: Bahntempo und Umlaufzeit.

An der Prüfung: Kreisbewegung und Gravitation gehören zur Mechanik der Mittelschule. Wie ausführlich sie behandelt werden, hängt von Schule und Richtung der Berufsmaturität ab.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

Draufsicht. Blau: Geschwindigkeit $v$ . Orange: Richtung von $F_{z}$ , die Grösse steht im Balken. $ω$ : Winkelgeschwindigkeit in rad/s (Bogenmass), $a_{z}$ : Beschleunigung zur Mitte.

Zeit

t

Gleiches Tempo, neue Richtung: $v = 7, 85 m/s$ bleibt, aber der blaue Pfeil dreht. Dafür braucht es $a_{z} = 12, 34 m/s^{2}$ zur Mitte.

Masse

m

Radius

r

Umlaufzeit

T

Schnur reisst bei

t

(12 s = nie)

true

Kraft jetzt

F_{z} (Schnur)

24,67N

m g (Gewicht)

19,62N

$v = \frac{2 π r}{T}$

7,85m/s

$ω = \frac{2 π}{T}$

1,57rad/s

$a_{z} = ω^{2} r$

12,34m/s²

$F_{z} = m a_{z}$

24,7N

Gleiches Tempo, neue Richtung: $v = 7, 85 m/s$ bleibt, aber der blaue Pfeil dreht. Dafür braucht es $a_{z} = 12, 34 m/s^{2}$ zur Mitte.
Die Schnur muss stärker ziehen, als die Kugel wiegt: $F_{z}$ ist $1, 3$ -mal so gross wie $m g$ .

Draufsicht. Blau: Geschwindigkeit $v$ . Orange: Richtung von $F_{z}$ , die Grösse steht im Balken. $ω$ : Winkelgeschwindigkeit in rad/s (Bogenmass), $a_{z}$ : Beschleunigung zur Mitte.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Halbiere $T$ von 4 s auf 2 s: Wie wächst $F_{z}$ ?
(offen)
Lass die Schnur genau oben reissen (bei 12 Uhr).
(offen)
Mach $a_{z}$ so gross wie $g$ , auf 0,5 m/s² genau.
(offen)

Entdecke:

Schau auf die zwei Pfeile: $v$ zeigt immer entlang der Bahn (so lang wie das Tempo), $F_{z}$ immer zur Mitte. Lass dann die Schnur reissen: Ohne $F_{z}$ fliegt die Kugel geradeaus weiter, genau in Richtung des letzten $v$ -Pfeils. Halbierst du $T$ , wird der $v$ -Pfeil doppelt so lang und $F_{z}$ viermal so gross. Die Balken haben eine feste Skala: voll = 200 N.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Kreisbewegung

v = ω r = \frac{2 π r}{T}

$T$ : Zeit pro Umlauf, Frequenz $f = 1/ T$ .
Winkelgeschwindigkeit $ω = 2 π / T$ in $rad/s$ : für alle Punkte gleich.
$v$ zeigt tangential und wächst mit $r$ .

Scheibe mit der Umlaufzeit $T$ : Alle Punkte brauchen gleich lang für einen Umlauf.

MerkeWinkel im Bogenmass: eine Runde ist

36 0^{\circ} = 2 π rad

v = 1, 57 \frac{rad}{s} \cdot 4 m = \frac{2 π \cdot 4 m}{4 s}

$T = 4 s$ pro Umlauf, also $f = 0, 25 Hz$ .
$ω = 2 π /4 s \approx 1, 57 rad/s$ gilt innen und aussen.
Innen ( $r = 2 m$ ) ist $v \approx 3, 14 m/s$ , aussen $6, 28 m/s$ .

Gleiches $ω = 1, 57 rad/s$ , aber doppeltes $r$ gibt doppeltes $v$ .

MerkeWinkel im Bogenmass: eine Runde ist

36 0^{\circ} = 2 π rad

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Kreisbewegung», Schritt 4

2Zentripetalkraft

F_{z} = m \frac{v ^{2}}{r} = m ω^{2} r

Zeigt zum Mittelpunkt und ändert nur die Richtung von $v$ .
Keine neue Kraft: Schnur, Reibung oder Gravitation liefern sie.
Doppeltes Tempo heisst vierfache Kraft.

Mit $v_{0}$ gehört die Kraft $F_{0}$ .

Merke

F_{z}

steht nicht zusätzlich im Kräfteplan.

F_{z} = 2 kg \cdot \frac{( 7 , 85 m/s ) ^{2}}{5 m} \approx 24, 7 N

Die Kugel braucht $24, 7 N$ zur Mitte, ihr Tempo $7, 85 m/s$ bleibt.
Hier liefert die Schnur die $24, 7 N$ .
$T = 2 s$ statt $4 s$ : doppeltes Tempo, $F_{z} \approx 98, 7 N$ .

$23, 6 m/s$ : neunfache Kraft, $222 N$ .

Merke

F_{z}

steht nicht zusätzlich im Kräfteplan.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Zentripetalkraft», Schritt 4

3Gravitationsgesetz

F_{G} = G \frac{m _{1} m _{2}}{r ^{2}}

Massen $m_{1}$ , $m_{2}$ ; Gravitationskonstante $G = 6, 674 \cdot 1 0^{- 11} N m^{2} / kg^{2}$ .
Beide Körper ziehen sich gleich stark an.
Ortsfaktor im Abstand $r$ von der Masse $M$ : $g = \frac{GM}{r ^{2}}$ , Erdoberfläche: $9, 81 m/s^{2}$ .

Im Abstand $r_{0}$ wirkt die Kraft $F_{0}$ .

Merke

r

misst man von Mittelpunkt zu Mittelpunkt.

F_{G} = 6, 674 \cdot 1 0^{- 11} \cdot \frac{2 \cdot 2}{1 ^{2}} N

Nur $2, 67 \cdot 1 0^{- 10} N$ zwischen zwei $2 -kg$ -Kugeln in $1 m$ Abstand.
Die Erde zieht die Kugel mit $19, 6 N$ an, die Kugel die Erde ebenso.
In $2 R$ Abstand vom Erdmittelpunkt ( $R$ : Erdradius): $g = 9, 81 : 4 \approx 2, 45 m/s^{2}$ .

In $3 R$ : nur noch $2, 18 N$ , ein Neuntel.

Merke

r = 2 R

heisst

6371 km

über dem Boden, nicht

2 \cdot 6371 km

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Gravitationsgesetz», Schritt 4

4Satellitenbahnen

v = \frac{GM}{r}, T = 2 π \frac{r ^{3}}{GM}

Gravitation ist die Zentripetalkraft: $F_{G} = F_{z}$ .
Höher heisst langsamer und längere Umlaufzeit.
Erde: $M = 5, 97 \cdot 1 0^{24} kg$ , $R = 6371 km$ , $r = R + h$ .

Tiefe Bahn: kleines $r$ , grosses $v$ , kurze Umlaufzeit $T$ .

MerkeDie Masse des Satelliten kürzt sich weg.

v T = \frac{3 , 984 \cdot 1 0 ^{14}}{6 , 771 \cdot 1 0 ^{6}} \frac{m}{s} \approx 7, 67 \frac{km}{s} = 2 π \frac{( 6 , 771 \cdot 1 0 ^{6} ) ^{3}}{3 , 984 \cdot 1 0 ^{14}} s \approx 92 min

Die Gravitation hält die Internationale Raumstation (ISS) auf der Bahn: $F_{G} = F_{z}$ .
$20200 km$ hoch: nur $3, 87 km/s$ und $12 h$ pro Umlauf.
Erde: $GM \approx 3, 984 \cdot 1 0^{14} m^{3} / s^{2}$ ; ISS: $r = 6371 + 400 = 6771 km$ .

$20200 km$ hoch: nur $3, 87 km/s$ , ein Umlauf dauert $12 h$ .

MerkeDie Masse des Satelliten kürzt sich weg.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Satellitenbahnen», Schritt 4

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Auf einem Karussell sitzt ein Kind $3, 0 m$ von der Achse entfernt. Das Karussell braucht für eine Umdrehung $5, 0 s$ . Berechne $f$ , $ω$ und $v$ . Wie gross ist $v$ bei einem Kind, das $1, 5 m$ von der Achse sitzt?

Kind im Abstand $3, 0 m$ von der Achse, ein Umlauf dauert $5, 0 s$ .

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Gegeben, gesucht, Ansatz
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Formal
…
3
Numerisch
…
4
Tempo innen
…

Typische Fehler

✗
$F_{z}$ als zusätzliche Kraft in den Kräfteplan einzeichnen: Sie ist die Summe der Kräfte zur Mitte.
✗
Bei Satelliten die Höhe statt $r = R + h$ einsetzen oder den Durchmesser statt des Radius nehmen.
✗
Die Umlaufzeit nicht in Sekunden umrechnen, z. B. Umdrehungen pro Minute oder Minuten direkt einsetzen.

Prüfungstipp

Frag bei jeder Kreisbewegung: Welche Kraft zeigt zum Mittelpunkt? Das ist die Zentripetalkraft. Setze sie gleich $m v^{2} / r$ und löse nach der gesuchten Grösse auf.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an einer Abschlussprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Hilfsmittel legt deine Schule fest. Üben: Formelsammlung erlaubt, Taschenrechner nur, wo die Aufgabe es sagt.

2 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Looping und Satellit
Kettenkarussell und Mondbahn

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Abo.

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Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du beschreibst eine Kreisbewegung mit Umlaufzeit, Frequenz, Winkelgeschwindigkeit und Bahntempo.
Du berechnest Zentripetalbeschleunigung und Zentripetalkraft.
Du wendest das Gravitationsgesetz auf Satelliten an: Bahntempo und Umlaufzeit.

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Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Eine Lehrperson antwortet meist innert 24 Stunden. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

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