Lektion 09

Trigonometrie I

sin, cos, tan im rechtwinkligen Dreieck, Einheitskreis, Bogenmass

Prüfungsrelevantca. 40 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

Ein rechtwinkliges Dreieck mit Winkel $α$ .

Nach dieser Lektion

Du berechnest Seiten und Winkel in rechtwinkligen Dreiecken.
Du verstehst $sin$ und $cos$ am Einheitskreis.
Du rechnest zwischen Grad- und Bogenmass um und kennst die exakten Werte.

An der Prüfung: Dreiecksberechnungen und das Bogenmass sind Grundlage für Geometrie, Vektoren und trigonometrische Funktionen.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

P(cos α | sin α): blau cos α, orange sin α. Rechts dieselben Werte als Kurven.

1. Quadrant: $sin α > 0$ und $cos α > 0$ , $P$ liegt rechts oben.

Winkel

α

true

$cos α$

0,766

$sin α$

0,643

$α im Bogenmass$

0,698

1. Quadrant: $sin α > 0$ und $cos α > 0$ , $P$ liegt rechts oben.

P(cos α | sin α): blau cos α, orange sin α. Rechts dieselben Werte als Kurven.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Stell $sin α = 0, 5$ ein. Es gibt zwei solche Winkel.
(offen)
Finde den Winkel mit $sin α = - 1$ .
(offen)
Stell einen Winkel mit $sin α < 0$ und $cos α > 0$ ein.
(offen)

Entdecke:

Schieb $α$ einmal rund herum und schau, wie der orange Punkt die Sinuskurve abfährt. Bei welchem Winkel ist $cos α$ gleich $sin α$ ? Probier auch $3 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ und $33 0^{\circ}$ .

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Sinus, Kosinus, Tangens

Funktion		Verhältnis
$sin α$	→	$\frac{G}{H}$
$cos α$	→	$\frac{A}{H}$
$tan α$	→	$\frac{G}{A}$

Winkel gesucht: $α = tan^{- 1} (\frac{G}{A})$ , die Umkehrung von $tan$ .
Rechner im Gradmodus (DEG): Zweitfunktion (Taste SHIFT oder 2nd), dann tan.

$G$ liegt gegenüber $α$ , $A$ daneben, $H$ ist die längste Seite.

Merke

G

= Gegenkathete (gegenüber

α

A

= Ankathete (neben

α

Funktion		Verhältnis
$sin α$	→	$\frac{3}{5} = 0, 6$
$cos α$	→	$\frac{4}{5} = 0, 8$
$tan α$	→	$\frac{3}{4} = 0, 75$

Winkel gesucht: $α = tan^{- 1} (\frac{3}{4}) \approx 36, 9^{\circ}$ .
Im Gradmodus (DEG): SHIFT (oder 2nd), tan, $0, 75$ .

$tan α = \frac{3}{4} = 0, 75$

Merke

G

= Gegenkathete (gegenüber

α

A

= Ankathete (neben

α

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Sinus, Kosinus, Tangens», Schritt 4

2Der Einheitskreis

P (c o s α ∣ s i n α)

Kreis mit Radius 1, Winkel von der x-Achse gegen den Uhrzeigersinn.
$cos$ ist die x-Koordinate, $sin$ die y-Koordinate.
Bezugswinkel: $18 0^{\circ} - α$ , $18 0^{\circ} + α$ , $36 0^{\circ} - α$ haben dieselben Werte bis aufs Vorzeichen.

$0^{\circ} < α < 9 0^{\circ}$ : $cos$ und $sin$ positiv.

MerkeBlau:

cos

, orange:

sin

. Das Vorzeichen folgt dem Quadranten.

P (c o s 4 0^{\circ} ∣ s i n 4 0^{\circ}) \approx (0, 766 ∣ 0, 643)

Radius 1, $α = 4 0^{\circ}$ von der x-Achse gegen den Uhrzeigersinn.
$cos 4 0^{\circ} \approx 0, 766$ ist die x-, $sin 4 0^{\circ} \approx 0, 643$ die y-Koordinate.
Bezugswinkel: $14 0^{\circ}$ , $22 0^{\circ}$ , $32 0^{\circ}$ haben dieselben Werte bis aufs Vorzeichen.

$32 0^{\circ}$ : $P (0, 766 ∣ - 0, 643)$

MerkeBlau:

cos

, orange:

sin

. Das Vorzeichen folgt dem Quadranten.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Der Einheitskreis», Schritt 4

3Bogenmass

18 0^{\circ} = π \Rightarrow x = α \cdot \frac{π}{18 0 ^{\circ}}

Grad		Bogenmass
$3 0^{\circ}$	→	$\frac{π}{6}$
$4 5^{\circ}$	→	$\frac{π}{4}$
$6 0^{\circ}$	→	$\frac{π}{3}$
$9 0^{\circ}$	→	$\frac{π}{2}$
$36 0^{\circ}$	→	$2 π$

Bogen $b = r \cdot x$ , Sektorfläche $A = \frac{1}{2} r^{2} x$ (Winkel $x$ im Bogenmass).

Einheitskreis: Radius $r = 1$ .

MerkeTrigonometrische Funktionen rechnen im Bogenmass.

18 0^{\circ} = π \Rightarrow x = 4 0^{\circ} \cdot \frac{π}{18 0 ^{\circ}} = \frac{2 π}{9}

Grad		Bogenmass
$3 0^{\circ}$	→	$\frac{π}{6}$
$4 5^{\circ}$	→	$\frac{π}{4}$
$6 0^{\circ}$	→	$\frac{π}{3}$
$9 0^{\circ}$	→	$\frac{π}{2}$
$36 0^{\circ}$	→	$2 π$

Mit $r = 3$ : Bogen $b = 3 \cdot \frac{2 π}{9} \approx 2, 09$ , Sektor $A = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \frac{2 π}{9} = π$ .

Halbkreis: $18 0^{\circ} = π$ , und $4 0^{\circ}$ sind $\frac{2}{9}$ davon.

MerkeTrigonometrische Funktionen rechnen im Bogenmass.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Bogenmass», Schritt 4

4Exakte Werte

Winkel		sin \| cos \| tan
$0^{\circ}$	→	$0 ∣ 1 ∣ 0$
$3 0^{\circ}$	→	$\frac{1}{2} ∣ \frac{3}{2} ∣ \frac{3}{3}$
$4 5^{\circ}$	→	$\frac{2}{2} ∣ \frac{2}{2} ∣ 1$
$6 0^{\circ}$	→	$\frac{3}{2} ∣ \frac{1}{2} ∣ 3$
$9 0^{\circ}$	→	$1 ∣ 0 ∣ nicht definiert$

Der Viertelkreis von $0^{\circ}$ bis $9 0^{\circ}$ .

Merke

sin

\frac{0}{2}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, \frac{4}{2}

cos

läuft rückwärts.

Winkel		sin \| cos \| tan
$0^{\circ}$	→	$0 ∣ 1 ∣ 0$
$3 0^{\circ}$	→	$0, 5 ∣ 0, 866 ∣ 0, 577$
$4 5^{\circ}$	→	$0, 707 ∣ 0, 707 ∣ 1$
$6 0^{\circ}$	→	$0, 866 ∣ 0, 5 ∣ 1, 732$
$9 0^{\circ}$	→	$1 ∣ 0 ∣ nicht definiert$

$6 0^{\circ}$ : $sin = \frac{3}{2} \approx 0, 866$ , $cos = \frac{1}{2}$

Merke

sin

\frac{0}{2}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, \frac{4}{2}

cos

läuft rückwärts.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Exakte Werte», Schritt 4

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Von einem Punkt in 50 m Entfernung sieht man die Spitze eines Turms unter $3 2^{\circ}$ . Wie hoch ist der Turm?

Ein Turm in 50 m Entfernung, Spitze unter $3 2^{\circ}$ .

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Skizze
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Funktion wählen
…
3
Rechnen
…

Typische Fehler

✗
Den Rechner im falschen Modus haben: Bogenmassmodus (RAD) statt Gradmodus (DEG) oder umgekehrt.
✗
Gegen- und Ankathete verwechseln: Sie hängen vom Winkel ab, den du betrachtest.
✗
$sin^{- 1}$ als $\frac{1}{s i n}$ lesen. Es ist die Umkehrung: Sie gibt den Winkel zu einem Sinuswert.

Prüfungstipp

Zeichne immer zuerst eine Skizze und markiere den Winkel. 80 % der Fehler in der Trigonometrie sind Zuordnungsfehler, keine Rechenfehler.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an einer Abschlussprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Hilfsmittel legt deine Schule fest. Üben: Formelsammlung erlaubt, Taschenrechner nur, wo die Aufgabe es sagt.

2 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Dachbinder und Einheitskreis
Kirchturm mit Uhr

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Abo.

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Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du berechnest Seiten und Winkel in rechtwinkligen Dreiecken.
Du verstehst $sin$ und $cos$ am Einheitskreis.
Du rechnest zwischen Grad- und Bogenmass um und kennst die exakten Werte.

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Tippe bei jedem Lernziel an, wie sicher du dich fühlst. Dann siehst du hier, was du noch tun kannst.

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Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Eine Lehrperson antwortet meist innert 24 Stunden. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

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