Lektion 05

Terme & binomische Formeln

Vereinfachen, Ausmultiplizieren, Ausklammern, binomische Formeln

Grundlageca. 35 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

Ein Quadrat mit Seite $x + 2$ . Seine Fläche ist $(x + 2)^{2}$ .

Nach dieser Lektion

Du fasst Terme zusammen, multiplizierst Klammern aus und klammerst aus.
Du wendest die drei binomischen Formeln an.
Du setzt Werte in Terme ein, auch negative.

An der Prüfung: Gehört zum Grundstoff der Aufnahmeprüfungen an FMS, Gymnasium und BMS. Ohne sichere Termumformung gelingen Gleichungen nicht.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

Quadrat mit Seite $a + b$ : vier Teile, die Zahlen sind die Flächen.

$a^{2} + b^{2} = 20$ reicht nicht für $36$ . Es fehlen die zwei Rechtecke.

Länge

a

Länge

b

true

$Ganzes (a + b)^{2}$

$a^{2} + b^{2}$

$Es fehlt: 2 ab$

$a^{2} + b^{2} = 20$ reicht nicht für $36$ . Es fehlen die zwei Rechtecke.

Quadrat mit Seite $a + b$ : vier Teile, die Zahlen sind die Flächen.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Stelle $(a + b)^{2} = 49$ ein.
(offen)
Finde $a$ und $b$ mit $2 ab = 24$ .
(offen)
Mach alle vier Teile gleich gross.
(offen)

Entdecke:

Das Quadrat über $a + b$ ist mehr als $a^{2} + b^{2}$ . Die zwei gleichen Rechtecke ergeben den Mittelteil $2 ab$ .

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Gleichartige Terme

3 x + 5 x = 8 x

Term		Vereinfacht
$7 a - 2 a + a$	→	$6 a$
$4 x + 3 y$	→	$bleibt$
$x^{2} + x$	→	$bleibt$

Nur gleiche Variable (gleicher Buchstabe) und gleiche Hochzahl zählen zusammen (eine Hochzahl zeigt, wie oft man malnimmt: $x^{2} = x \cdot x$ ).
Die Zahl vor der Variablen wird addiert.

$3 x$ und $5 x$ : gleiche Blöcke.

MerkeÄpfel und Birnen zählst du nicht zusammen.

3 \cdot 2 + 5 \cdot 2 = 8 \cdot 2 = 16

Term		Vereinfacht
$7 a - 2 a + a$	→	$6 a$
$4 x + 3 y$	→	$bleibt$
$x^{2} + x$	→	$bleibt$

$x^{2} + x$ bleibt: Mit $x = 2$ sind $x^{2} = 4$ und $x = 2$ verschieden.
$7 a - 2 a + a$ : Die Zahlen $7 - 2 + 1 = 6$ ergeben $6 a$ .

Zusammen $8 \cdot 2 = 16$ .

MerkeÄpfel und Birnen zählst du nicht zusammen.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Gleichartige Terme», Schritt 4

2Ausmultiplizieren, Ausklammern

a (b + c) = ab + a c

Ausmultipliziert		Ausgeklammert
$3 x + 6$	→	$3 (x + 2)$
$- 2 x + 10$	→	$- 2 (x - 5)$
$6 x^{2} - 9 x$	→	$3 x (2 x - 3)$

Der Faktor vor der Klammer multipliziert jeden Summanden (jeden Teil der Summe).
Minus vor der Klammer: Alle Vorzeichen drehen.
Ausklammern ist die Umkehrung.

$3 \cdot (x + 2)$ ist ein Rechteck.

MerkeDer Faktor gilt für jeden Summanden.

3 (4 + 2) = 3 \cdot 4 + 3 \cdot 2

Ausmultipliziert		Ausgeklammert
$3 \cdot 4 + 6 = 18$	→	$3 (4 + 2) = 18$
$- 2 \cdot 4 + 10 = 2$	→	$- 2 (4 - 5) = 2$
$6 \cdot 4^{2} - 9 \cdot 4 = 60$	→	$12 (8 - 3) = 60$

Mit $x = 4$ : Die $3$ multipliziert $4$ und $2$ , also $12 + 6 = 18$ .
$- 2 (4 - 5) = - 8 + 10$ : Minus davor dreht die Vorzeichen.
Umgekehrt: $12 + 6 = 3 (4 + 2)$ .

In zwei Teile geteilt: $12 + 6 = 18$ .

MerkeDer Faktor gilt für jeden Summanden.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Binomische Formeln», Schritt 4

3Binomische Formeln

Formel		Ausmultipliziert
$(a + b)^{2}$	→	$a^{2} + 2 ab + b^{2}$
$(a - b)^{2}$	→	$a^{2} - 2 ab + b^{2}$
$(a + b) (a - b)$	→	$a^{2} - b^{2}$

Bei den ersten beiden gehört der Mittelteil $2 ab$ dazu.
Bei der dritten heben sich die Mittelteile auf.

$a^{2} - b^{2}$ : Quadrat ohne die Ecke $b^{2}$ .

MerkeProbe: Setze eine kleine Zahl ein, beide Seiten müssen gleich sein.

Formel		Ausmultipliziert
$(5 + 2)^{2}$	→	$25 + 20 + 4 = 49$
$(5 - 2)^{2}$	→	$25 - 20 + 4 = 9$
$(5 + 2) (5 - 2)$	→	$25 - 4 = 21$

Bei den ersten beiden gehört der Mittelteil $2 \cdot 5 \cdot 2 = 20$ dazu.
Bei der dritten heben sich $+ 10$ und $- 10$ auf.

Das Stück umgelegt: Rechteck $7 \cdot 3 = 21$ .

MerkeProbe: Setze eine kleine Zahl ein, beide Seiten müssen gleich sein.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Binomische Formeln», Schritt 4

4Werte einsetzen

Term, x = −2		Wert
$x^{2}$	→	$(- 2)^{2} = 4$
$- x^{2}$	→	$- (- 2)^{2} = - 4$
$3 x - 5$	→	$3 \cdot (- 2) - 5 = - 11$
$5 - x$	→	$5 - (- 2) = 7$

Den Wert immer in Klammern einsetzen.
Dann: Potenz vor mal und geteilt vor plus und minus (eine Hochzahl zeigt, wie oft man malnimmt: $(- 2)^{2} = (- 2) \cdot (- 2)$ ).

MerkeMinus mal Minus gibt Plus.

Term, x = −3		Wert
$x^{2}$	→	$(- 3)^{2} = 9$
$- x^{2}$	→	$- (- 3)^{2} = - 9$
$3 x - 5$	→	$3 \cdot (- 3) - 5 = - 14$
$5 - x$	→	$5 - (- 3) = 8$

$x = - 3$ in Klammern: $(- 3)^{2} = 9$ , nicht $- 3^{2} = - 9$ .
Dann: $- (- 3)^{2}$ ist erst $9$ , dann $- 9$ . Bei $3 \cdot (- 3) - 5$ zuerst mal, dann minus.

MerkeMinus mal Minus gibt Plus.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Werte einsetzen», Schritt 4

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Vereinfache $5 a + 3 b - 2 a + 4 b - a$ .

Zwei Sorten Blöcke: a und b.

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Gleiche Variablen sammeln
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Zahlen verrechnen
…
3
Zusammenfassen
…

Typische Fehler

✗
$(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ schreiben. Der Mittelteil $2 ab$ fehlt.
✗
Minus vor der Klammer: nur das erste Vorzeichen drehen. Richtig ist $- (x - 3) = - x + 3$ .
✗
Verschiedene Terme zusammenfassen: $3 x + 2 x^{2} = 5 x^{3}$ stimmt nicht.

Prüfungstipp

Mach bei binomischen Formeln die Probe mit $x = 1$ oder $x = 2$ . Rechne beide Seiten aus: Sie müssen denselben Wert geben.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an der Aufnahmeprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Je nach Kanton ohne oder teilweise mit Taschenrechner. Unsere Aufgaben sind ohne Taschenrechner lösbar. Was in deinem Kanton gilt, steht auf der Kantons-Seite.

3 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Beet mit Weg
Rechteckiger Garten
Fehlersuche bei Termen

Zurzeit gratis: Mit einem Gratis-Konto siehst du Aufgaben und Lösungswege.

Gratis-Konto erstellen

Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du fasst Terme zusammen, multiplizierst Klammern aus und klammerst aus.
Du wendest die drei binomischen Formeln an.
Du setzt Werte in Terme ein, auch negative.

Dein Stand bei «Terme & binomische Formeln»

0 %

0 von 3 Lernzielen eingeschätzt

Tippe bei jedem Lernziel an, wie sicher du dich fühlst. Dann siehst du hier, was du noch tun kannst.

Mit einem Gratis-Konto wird dein Selbstcheck gespeichert und du (oder deine Eltern) siehst den Fortschritt über alle Themen. Gratis anmelden

Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Eine Lehrperson antwortet meist innert 24 Stunden. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

Zur Community →

Melde dich gratis an, dann kannst du deine Frage direkt hier stellen. Eine Lehrperson antwortet dir.