Lektion 06

Gleichungen & Textaufgaben

Gleichungen lösen, Textaufgaben in Gleichungen übersetzen

Grundlageca. 35 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

Die Waage ruht: $2 x + 3 = x + 7$ . Jeder blaue Block wiegt gleich viel, aber unbekannt viel: $x$ .

Nach dieser Lektion

Du löst Gleichungen mit Klammern und Brüchen.
Du übersetzt Texte in Gleichungen: Alter, Preise, Umfang, Zahlenrätsel.
Du machst die Probe am Text.

An der Prüfung: Gehört zum Grundstoff der Aufnahmeprüfungen an FMS, Gymnasium und BMS. Textaufgaben verbinden fast alle anderen Themen.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

x = 0

einsetzen: rechts schwerer

2 \cdot 0 + 4

=

4 < 16 = 0 + 16

Welches

x

macht beide Seiten gleich?

(2 - 1) \cdot x

=

16 - 4

Die schwerere Seite sinkt, bei Gleichgewicht werden beide Schalen grün.

Rechts ist schwerer. Probier ein grösseres $x$ .

Anzahl

a

der

x

-Blöcke links

Versuch für

x

true

$Links$

$Rechts$

$Links - Rechts$

−12

Rechts ist schwerer. Probier ein grösseres $x$ .

Die schwerere Seite sinkt, bei Gleichgewicht werden beide Schalen grün.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Bring die Waage mit $2 x + 4 = x + 16$ ins Gleichgewicht.
(offen)
Löse $4 x + 4 = x + 16$ .
(offen)
Bei welcher Anzahl links ist $x = 3$ die Lösung?
(offen)

Entdecke:

Probieren findet die Lösung mühsam. Umformen geht schneller: Aus $a x + 4 = x + 16$ wird $(a - 1) x = 12$ .

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Die Waage

Gleichung		Umformung
$x + a = b$	→	$x = b - a (- a)$
$x - a = b$	→	$x = b + a (+ a)$
$a x = b$	→	$x = \frac{b}{a} (: a)$
$\frac{x}{a} = b$	→	$x = a b (\cdot a)$

Auf beiden Seiten dasselbe tun.
Rechenzeichen umkehren: Plus wird Minus, Mal wird Geteilt.
$a$ und $b$ stehen für beliebige Zahlen.

Waage im Gleichgewicht.

MerkeDie Waage bleibt im Gleichgewicht.

Gleichung		Umformung
$x + 4 = 16$	→	$x = 12 (- 4)$
$x - 4 = 2$	→	$x = 6 (+ 4)$
$3 x = 12$	→	$x = 4 (: 3)$
$\frac{x}{2} = 6$	→	$x = 12 (\cdot 2)$

Bei $3 x = 12$ links und rechts $: 3$ .
Umkehren: Aus $+ 4$ wird $- 4$ , aus $3 \cdot x$ wird $: 3$ .
Bei $3 x = 12$ steht $a$ für $3$ und $b$ für $12$ .

Beide Seiten durch $3$ : $x = 4$ .

MerkeDie Waage bleibt im Gleichgewicht.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Die Waage», Schritt 4

2Klammern und Brüche

\frac{x}{a} + b = c \cdot a x + a b = a c

Gleichung		Nächster Schritt
$a (x - b) = c$	→	$a x - a b = c$
$\frac{x}{a} + b = c$	→	$x + a b = a c (\cdot a)$
$\frac{x}{a} - \frac{x}{b} = c$	→	$alles \cdot HN$

Klammern zuerst auflösen, dann zusammenfassen.
Brüche weg: alles mit dem Hauptnenner (HN, gemeinsamer Nenner) multiplizieren.
Dann $x$ auf eine Seite, Zahlen auf die andere.

MerkeAlles wird multipliziert, auch die Zahl ohne Bruch.

\frac{x}{3} + 2 = 5 \cdot 3 x + 3 \cdot 2 = 3 \cdot 5

Gleichung		Nächster Schritt
$3 (x - 2) = 12$	→	$3 x - 6 = 12$
$\frac{x}{4} + 1 = 3$	→	$x + 4 = 12 (\cdot 4)$
$\frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 1$	→	$3 x - 2 x = 6 (\cdot 6)$

$3 (x - 2) + x = 10$ : zuerst $3 x - 6 + x$ , dann $4 x - 6 = 10$ .
Bei $\frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 1$ ist der HN $6$ , also alles mal $6$ .
Aus $x + 6 = 15$ wird $x = 15 - 6 = 9$ .

MerkeAlles wird multipliziert, auch die Zahl ohne Bruch.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Klammern und Brüche», Schritt 4

3Von Text zu Gleichung

Text		Mathematisch
$das Doppelte von x$	→	$2 x$
$5 mehr als x$	→	$x + 5$
$5 weniger als x$	→	$x - 5$
$die H a ¨ lfte von x$	→	$\frac{x}{2}$

Zuerst festlegen: $x$ ist …
Dann Satz für Satz übersetzen.
«ist» oder «ergibt» wird zum Gleichheitszeichen.

Merke«5 weniger als

x

» heisst

x - 5

, nicht

5 - x

Text		Mathematisch
$doppelt so alt wie Lea$	→	$2 x$
$5 Jahre a ¨ lter als Lea$	→	$x + 5$
$5 Jahre j u ¨ nger als Lea$	→	$x - 5$
$halb so alt wie Lea$	→	$\frac{x}{2}$

Zuerst festlegen: $x$ ist das Alter von Lea.
«Tom ist 5 Jahre älter als Lea» wird $x + 5$ .
«Zusammen sind sie 29» wird $x + (x + 5) = 29$ .

Merke«5 Jahre jünger als Lea» heisst

x - 5

, nicht

5 - x

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Von Text zu Gleichung», Schritt 4

4Umfang und Probe

2 (Breite + L a ¨ nge) = Umfang U

Skizze zeichnen, jede Seite benennen.
Gleichung lösen: Das gibt die Unbekannte $x$ .
Probe am Text: Passen die Seiten zum Umfang?

Skizze: Länge, Breite und Umfang $U$ benennen.

MerkeAntwortsatz mit Einheit schreiben.

2 (x + x + 4) = 28

Skizze: Breite $x$ , Länge $x + 4$ , Umfang $28$ m.
$4 x + 8 = 28$ gibt $x = 5$ .
Probe am Text: $2 \cdot (5 + 9) = 28$ .

$x = 5$ : Länge $9$ . Die Probe stimmt.

MerkeAntwort: Das Rechteck ist

9

m lang und

5

m breit.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Umfang und Probe», Schritt 4

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Löse $3 x + 5 = x + 13$ mit der Waage.

Waage im Gleichgewicht: $3 x + 5 = x + 13$ .

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
x abziehen
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
5 abziehen
…
3
Durch 2 teilen
…

Typische Fehler

✗
Nur eine Seite verändern. Was du links tust, tust du rechts auch.
✗
Beim Multiplizieren mit dem Hauptnenner die Zahl ohne Bruch vergessen: $\frac{x}{3} + 2 = 5$ gibt $x + 6 = 15$ , nicht $x + 2 = 15$ .
✗
«3 weniger als $x$ » als $3 - x$ schreiben. Richtig ist $x - 3$ .

Prüfungstipp

Mach die Probe am Text, nicht an deiner Gleichung. So findest du auch Fehler beim Aufstellen.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an der Aufnahmeprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Je nach Kanton ohne oder teilweise mit Taschenrechner. Unsere Aufgaben sind ohne Taschenrechner lösbar. Was in deinem Kanton gilt, steht auf der Kantons-Seite.

3 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Alltag in Gleichungen
Dreitageswanderung
Fehlersuche, Zahlenrätsel und Museumseintritt

Zurzeit gratis: Mit einem Gratis-Konto siehst du Aufgaben und Lösungswege.

Gratis-Konto erstellen

Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du löst Gleichungen mit Klammern und Brüchen.
Du übersetzt Texte in Gleichungen: Alter, Preise, Umfang, Zahlenrätsel.
Du machst die Probe am Text.

Dein Stand bei «Gleichungen & Textaufgaben»

0 %

0 von 3 Lernzielen eingeschätzt

Tippe bei jedem Lernziel an, wie sicher du dich fühlst. Dann siehst du hier, was du noch tun kannst.

Mit einem Gratis-Konto wird dein Selbstcheck gespeichert und du (oder deine Eltern) siehst den Fortschritt über alle Themen. Gratis anmelden

Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Eine Lehrperson antwortet meist innert 24 Stunden. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

Zur Community →

Melde dich gratis an, dann kannst du deine Frage direkt hier stellen. Eine Lehrperson antwortet dir.