Lektion 12

Satz des Pythagoras

Seiten im rechtwinkligen Dreieck, Anwendungen in Ebene und Raum

MatheSehr prüfungsrelevantca. 35 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

Ein rechtwinkliges Dreieck: Katheten $a$ , $b$ und Hypotenuse $c$ .

Nach dieser Lektion

Du erkennst Hypotenuse und Katheten und stellst $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ auf.
Du berechnest jede fehlende Seite im rechtwinkligen Dreieck, auch ohne Taschenrechner.
Du findest das rechtwinklige Dreieck in Leiter, Rechteck, gleichschenkligem Dreieck und Quader.

An der Prüfung: Gehört zum Grundstoff der Aufnahmeprüfungen an Fachmittelschulen, Gymnasien und Berufsmaturitätsschulen, oft als Anwendung in Rechteck, Dreieck oder Quader.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

true

Die zwei kleinen Quadrate füllen zusammen das grosse.

$c = 52 \approx 7, 21$ ist keine ganze Zahl.

Kathete

a

Kathete

b

$c^{2}$

$c$

7,21

$c = 52 \approx 7, 21$ ist keine ganze Zahl.

Die zwei kleinen Quadrate füllen zusammen das grosse.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Finde ein Dreieck mit ganzzahligem $c$ , aber nicht $3$ , $4$ , $5$ .
(offen)
Stelle $c^{2} = 50$ ein.
(offen)
Mach beide Katheten gleich lang und lies $c$ ab.
(offen)

Entdecke:

Wie du $a$ und $b$ auch wählst: Die Fläche über $c$ ist genau die Summe der beiden anderen Flächen.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Der Satz

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Gilt nur im rechtwinkligen Dreieck.
Hypotenuse $c$ : gegenüber dem rechten Winkel, die längste Seite.
Katheten $a$ , $b$ : die zwei Seiten am rechten Winkel.

Ein rechtwinkliges Dreieck.

Merke

c

liegt dem rechten Winkel gegenüber.

3^{2} + 4^{2} = 5^{2}

Gilt hier, denn zwischen $3$ und $4$ ist ein rechter Winkel.
Hypotenuse $5$ : gegenüber dem rechten Winkel, die längste Seite.
Katheten $3$ und $4$ : die zwei Seiten am rechten Winkel.

Hypotenuse 5: gegenüber, die längste.

Merke

c

liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Der Satz», Schritt 4

2Seite berechnen

Gesucht		Rechnung
$Hypotenuse c$	→	$c = a^{2} + b^{2}$
$Kathete a$	→	$a = c^{2} - b^{2}$

Hypotenuse: Quadrate addieren.
Kathete: kleineres Quadrat vom grössten abziehen.

Gegeben: die Hypotenuse $c$ und die Kathete $a$ .

MerkeDie Wurzel am Schluss nicht vergessen.

Gesucht		Rechnung
$Hypotenuse c$	→	$13 = 5^{2} + 12^{2}$
$Kathete a$	→	$5 = 13^{2} - 12^{2}$

Addieren: $25 + 144 = 169$ , also $c = 13$ .
Abziehen: $169 - 144 = 25$ , also $a = 5$ .

$b = 144 = 12$

MerkeDie Wurzel am Schluss nicht vergessen.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Seite berechnen», Schritt 4

3Pythagoreische Tripel

Tripel		Probe
$3, 4, 5$	→	$9 + 16 = 25$
$5, 12, 13$	→	$25 + 144 = 169$
$6, 8, 10$	→	$36 + 64 = 100$

Vielfache eines Tripels sind wieder Tripel.
Erkennst du eins, brauchst du keine Wurzel zu ziehen.
Umkehrung: Gilt $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , ist das Dreieck rechtwinklig.

Ein Tripel: $a$ , $b$ , $c$ sind ganze Zahlen.

MerkeKennst du

3, 4, 5

und

5, 12, 13

, sparst du Zeit.

Tripel		Probe
$3, 4, 5$	→	$9 + 16 = 25$
$5, 12, 13$	→	$25 + 144 = 169$
$6, 8, 10$	→	$36 + 64 = 100$

$6, 8, 10$ ist $3, 4, 5$ mal $2$ : wieder ein Tripel.
Katheten $6$ und $8$ : sofort $c = 10$ , ohne Wurzel.
Umkehrung: $36 + 64 = 100$ , also ist das Dreieck $6, 8, 10$ rechtwinklig.

Faktor $2$ auf allen Seiten, die Probe stimmt wieder.

MerkeKennst du

3, 4, 5

und

5, 12, 13

, sparst du Zeit.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Pythagoreische Tripel», Schritt 4

4Rechte Winkel finden

Figur		Dreieck aus
$Leiter$	→	$Wand + Boden$
$Rechteck$	→	$Seiten + Diagonale$
$Gleichschenklig$	→	$halbe Basis + H o ¨ he$
$Quader$	→	$d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Zeichne das rechtwinklige Dreieck selbst ein.
Quader (Kanten $a$ , $b$ , $c$ ): erst die Bodendiagonale, dann die Raumdiagonale $d$ .

↻ zum Drehen ziehen

Quader $a \times b \times c$ .

MerkeIm Quader: drei Quadrate addieren, dann die Wurzel.

Figur		Dreieck
$Leiter 5 m$	→	$3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$
$Rechteck 6 \times 8$	→	$6^{2} + 8^{2} = 1 0^{2}$
$Basis 16, Schenkel 10$	→	$8^{2} + 6^{2} = 1 0^{2}$
$Quader 6 \times 3 \times 2$	→	$d^{2} = 36 + 9 + 4$

Leiter $5$ m, Fuss $3$ m von der Wand: Sie reicht $4$ m hoch.
Quader: Boden $6^{2} + 3^{2} = 45$ , dann $45 + 2^{2} = 49$ , also $d = 7$ .

↻ zum Drehen ziehen

Dann die Raumdiagonale: $d^{2} = 36 + 9 + 4 = 49$ , $d = 7$ .

MerkeIm Quader: drei Quadrate addieren, dann die Wurzel.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Rechte Winkel finden», Schritt 4

Im Alltag

Wo dir das ausserhalb der Schule begegnet.

Bildschirm

Bildschirm: $24$ cm breit, $18$ cm hoch, rechter Winkel in der Ecke.

Ein Tablet-Bildschirm ist $24$ cm breit und $18$ cm hoch. Seine Diagonale misst $1 8^{2} + 2 4^{2} = 900 = 30$ cm.

Abkürzung

Aussen herum: $120$ m und $50$ m, zusammen $170$ m.

Quer über die Wiese statt aussen herum: $12 0^{2} + 5 0^{2} = 16900 = 130$ m statt $120 + 50 = 170$ m. Du sparst $40$ m.

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Ein Sonnensegel ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten $6$ m und $8$ m am rechten Winkel. Wie lang ist die dritte Seite?

Rechter Winkel, Katheten $6$ m und $8$ m.

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Hypotenuse erkennen
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Quadrate addieren
…
3
Wurzel ziehen
…

Typische Fehler

✗
Bei der Kathete addieren statt subtrahieren: $a^{2} = c^{2} - b^{2}$ .
✗
Die Wurzel vergessen: $c^{2} = 25$ heisst $c = 5$ , nicht $25$ .
✗
Die Seiten selbst addieren: $a + b = c$ stimmt nie, nur für die Quadrate.

Prüfungstipp

Skizziere zuerst, markiere den rechten Winkel und nenne die Seite gegenüber $c$ . Ohne Taschenrechner helfen Tripel und der Trick $c^{2} - b^{2} = (c - b) (c + b)$ .

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an der Aufnahmeprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Je nach Kanton ohne oder teilweise mit Taschenrechner. Unsere Aufgaben sind ohne Taschenrechner lösbar. Was in deinem Kanton gilt, steht auf der Kantons-Seite.

3 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Diagonalen und Höhen
Rechter Winkel mit der Schnur
Die Feuerwehrleiter

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Aufnahmeprüfungs-Pass oder im Abo.

Gratis-Konto erstellen

Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du erkennst Hypotenuse und Katheten und stellst $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ auf.
Du berechnest jede fehlende Seite im rechtwinkligen Dreieck, auch ohne Taschenrechner.
Du findest das rechtwinklige Dreieck in Leiter, Rechteck, gleichschenkligem Dreieck und Quader.

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Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Antwort von Ugi innert 2 Schultagen. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

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