Lektion 12

Körper: Volumen & Oberfläche

Würfel, Quader, Prisma, Zylinder, Netze

Sehr prüfungsrelevantca. 35 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

Ein Aquarium: $4$ dm lang, $3$ dm breit, $2$ dm hoch.

Nach dieser Lektion

Du berechnest Volumen und Oberfläche von Würfel, Quader, Prisma und Zylinder.
Du erkennst Netze und rechnest Liter und $dm^{3}$ um.
Du bestimmst aus Volumen und Grundfläche die Füllhöhe.

An der Prüfung: Gehört zum Grundstoff der Aufnahmeprüfungen an FMS, Gymnasium und BMS: Volumen, Oberfläche und Liter-Umrechnung.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

V

=

π \cdot r^{2} \cdot h

r

wird quadriert: doppeltes

r

gibt vierfaches

V

V

=

π \cdot 3^{2} \cdot 4 = π \cdot 9 \cdot 4

h

nur einfach: doppeltes

h

gibt doppeltes

V

V

=

36 π \approx 113, 1 dm^{3}

Zylinder und Rechnung: $r$ blau, $h$ orange, $V$ grün; $π$ (Pi) ist die Kreiszahl, etwa $3, 14$ .

Grundfläche $G = 9 π$ mal Höhe $4$ : $V = 36 π$ .

Radius

r

(dm)

Höhe

h

(dm)

true

$G$

9π dm²

$V$

36π dm³

$Inhalt$

113,1Liter

Grundfläche $G = 9 π$ mal Höhe $4$ : $V = 36 π$ .

Zylinder und Rechnung: $r$ blau, $h$ orange, $V$ grün; $π$ (Pi) ist die Kreiszahl, etwa $3, 14$ .

Aufträge

0 von 3 geschafft

Stell $V = 18 π$ ein.
(offen)
Finde einen Zylinder mit $V = 16 π$ , der niedriger als sein Radius ist ( $h < r$ ).
(offen)
Stelle $h = 2 r$ ein, mit $V = 54 π$ .
(offen)

Entdecke:

Der Radius steckt im Quadrat in $G = π r^{2}$ : Er wirkt viel stärker auf $V$ als die Höhe.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Volumen: Grundfläche mal Höhe

V = G \cdot h

Körper		Volumen
$W u ¨ rfel$	→	$a^{3}$
$Quader$	→	$a \cdot b \cdot c$
$Prisma$	→	$G \cdot h$
$Zylinder$	→	$π r^{2} \cdot h$
$Pyramide$	→	$\frac{1}{3} \cdot G \cdot h$

$a$ , $b$ , $c$ sind Kantenlängen. Ein Prisma hat oben und unten dieselbe Grundfläche.
Pyramide: nur ein Drittel des Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe.

Die Grundfläche $G = π r^{2}$ .

MerkeErst die Grundfläche, dann mal die Höhe.

V = 9 π \cdot 4 = 36 π dm^{3}

Körper		Volumen
$W u ¨ rfel$	→	$3^{3} = 27$
$Quader$	→	$4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$
$Prisma$	→	$6 \cdot 5 = 30$
$Zylinder$	→	$π \cdot 3^{2} \cdot 4 = 36 π$
$Pyramide$	→	$\frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 4 = 12$

Würfel mit Kante $a = 3$ , Quader mit den Kanten $4$ , $3$ und $2$ .
Pyramide mit $G = 9$ , $h = 4$ : $12$ ist ein Drittel von $9 \cdot 4 = 36$ .

$V = 9 π \cdot 4 = 36 π \approx 113, 1 dm^{3}$

MerkeErst die Grundfläche, dann mal die Höhe.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Volumen: Grundfläche mal Höhe», Schritt 4

2Oberfläche: alle Flächen

O = 2 \cdot G + M

$M$ ist der Mantel, die Seitenfläche ohne Boden und Deckel.
Quader: $O = 2 (ab + a c + b c)$ , drei Paare gleicher Flächen.
Zylinder: Der Mantel ist ein Rechteck, $M = 2 π r \cdot h$ .

Das Netz: ein Rechteck, das den Zylinder umhüllt.

MerkeZwei gleiche Grundflächen und ein Mantel.

O = 2 \cdot 9 π + 24 π = 42 π dm^{2}

Mantel $M$ des Zylinders: die Seitenfläche, hier $24 π$ .
Quader $4 \times 3 \times 2$ : $O = 2 (12 + 8 + 6) = 52$ , drei Paare gleicher Flächen.
Zylinder mit $r = 3$ , $h = 4$ : Der Mantel ist ein Rechteck, $M = 2 π \cdot 3 \cdot 4 = 24 π$ .

Mit dem Deckel: $O = 2 \cdot 9 π + 24 π = 42 π dm^{2}$ .

MerkeZwei gleiche Grundflächen und ein Mantel.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Oberfläche: alle Flächen», Schritt 4

3Netze erkennen

Ein Würfelnetz hat $6$ gleiche Quadrate in einem Stück.
Nie $5$ Quadrate in einer Reihe, nie ein $2 \times 2$ -Block.
Im Zweifel: in Gedanken falten, Seite für Seite.

Ein Würfelnetz: vier in einer Reihe, je eins oben und unten.

MerkeEin Block aus

2 \times 2

Quadraten ist nie ein Würfelnetz.

Das Kreuz links: $6$ gleiche Quadrate, alle in einem Stück.
Rechts nur $4$ in einer Reihe, aber unten rechts ein $2 \times 2$ -Block.
Falten: Das zweite Quadrat der Reihe ist der Boden, $4$ klappen hoch, das letzte wird Deckel.

Rechts unten bilden vier Quadrate einen $2 \times 2$ -Block: kein Netz.

MerkeEin Block aus

2 \times 2

Quadraten ist nie ein Würfelnetz.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Netze erkennen», Schritt 4

4Liter und Füllhöhe

Volumen		Inhalt
$1 dm^{3}$	→	$1 l$
$1 cm^{3}$	→	$1 ml$
$1 m^{3}$	→	$1000 l$

Rechne alle Längen in dm, dann sind $dm^{3}$ gleich Liter.
Füllhöhe: $h = V : G$ , Volumen durch Grundfläche.

Ein Becken mit der Grundfläche $G$ in $dm^{2}$ .

MerkeAlles in dm: Dann ist

1 dm^{3} = 1

Liter.

Volumen		Inhalt
$24 dm^{3}$	→	$24 l$
$330 cm^{3}$	→	$330 ml$
$1, 5 m^{3}$	→	$1500 l$

$50$ cm und $40$ cm sind $5$ dm und $4$ dm: $G = 20 dm^{2}$ .
Füllhöhe für $30$ Liter: $h = 30 : 20 = 1, 5$ dm.

$h = 30 : 20 = 1, 5 dm$

MerkeAlles in dm: Dann ist

1 dm^{3} = 1

Liter.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Liter und Füllhöhe», Schritt 4

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Ein Zelt hat die Form eines Prismas: Der Querschnitt ist ein Dreieck mit der Grundseite $2$ m und der Höhe $1, 5$ m. Das Zelt ist $3$ m lang. Berechne das Volumen.

Dreiecksprisma: Dreieck $2$ m mal $1, 5$ m, Länge $3$ m.

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Grundfläche
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Schicht für Schicht
…
3
Volumen
…

Typische Fehler

✗
Liter und $dm^{3}$ verwechseln: $1 m^{3} = 1000$ Liter, nicht $100$ .
✗
Beim Zylinder nur $r$ statt $r^{2}$ rechnen: $G = π r^{2}$ .
✗
Bei der Oberfläche eine Fläche vergessen: Ein Quader hat sechs, ein Zylinder zwei Kreise und den Mantel.

Prüfungstipp

Rechne zuerst alle Längen in dieselbe Einheit um, am besten in dm. Bei Zylindern darfst du das Resultat oft als Vielfaches von $π$ stehen lassen.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an der Aufnahmeprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Je nach Kanton ohne oder teilweise mit Taschenrechner. Unsere Aufgaben sind ohne Taschenrechner lösbar. Was in deinem Kanton gilt, steht auf der Kantons-Seite.

3 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Konservendose und Karton
Das Aquarium
Zelt, Pyramide und Zylinder

Zurzeit gratis: Mit einem Gratis-Konto siehst du Aufgaben und Lösungswege.

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Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du berechnest Volumen und Oberfläche von Würfel, Quader, Prisma und Zylinder.
Du erkennst Netze und rechnest Liter und $dm^{3}$ um.
Du bestimmst aus Volumen und Grundfläche die Füllhöhe.

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Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Eine Lehrperson antwortet meist innert 24 Stunden. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

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