Lektion 13

Zählen, Muster & Wahrscheinlichkeit

Systematisch zählen, Zahlenfolgen, einfache Wahrscheinlichkeiten

Prüfungsrelevantca. 35 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

Du hast $3$ T-Shirts und $2$ Hosen. Wie viele Outfits gibt es?

Nach dieser Lektion

Du zählst Möglichkeiten systematisch mit Baum, Tabelle und Produktregel.
Du setzt Zahlenfolgen und Muster fort und erkennst die Regel.
Du berechnest einfache Wahrscheinlichkeiten als «günstige durch mögliche».

An der Prüfung: Gehört zum Grundstoff der Aufnahmeprüfungen an FMS, Gymnasium und BMS: Anzahl Möglichkeiten, Muster fortsetzen, einfache Wahrscheinlichkeit.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

Jede Zelle ist ein Outfit: T-Shirt (Farbe der Zelle) mit Hose (Quadrat innen).

Mehr Auswahl multipliziert: Jede der $9$ Kombinationen gibt es mit jeder Jacke.

T-Shirts

s

Hosen

h

Jacken

j

true

$s \cdot h$

$s \cdot h \cdot j$

Mehr Auswahl multipliziert: Jede der $9$ Kombinationen gibt es mit jeder Jacke.

Jede Zelle ist ein Outfit: T-Shirt (Farbe der Zelle) mit Hose (Quadrat innen).

Aufträge

0 von 3 geschafft

Stelle genau $12$ Outfits ein.
(offen)
Finde $24$ Outfits mit drei verschiedenen Zahlen $s$ , $h$ , $j$ .
(offen)
Schaffe mehr als $50$ Outfits.
(offen)

Entdecke:

Jede neue Auswahl multipliziert die Möglichkeiten. Ein T-Shirt mehr bringt gleich $h \cdot j$ neue Outfits dazu.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Systematisch zählen

Ein Pfad im Baum ist eine Möglichkeit.
Ordne: nichts doppelt, nichts vergessen.
Zwei Schritte: eine Tabelle aus Zeilen und Spalten.

Zweimal werfen: Kopf (K) oder Zahl (Z).

MerkeSystematisch aufschreiben, dann zählen.

Der Pfad $K$ , dann $Z$ ist die Möglichkeit $K Z$ .
Erst alle mit $K$ vorne ( $K K$ , $K Z$ ), dann mit $Z$ ( $Z K$ , $Z Z$ ).
Als Tabelle: $2$ Zeilen (Wurf 1) mal $2$ Spalten (Wurf 2), also $4$ Felder.

Vier Pfade, vier Möglichkeiten.

MerkeSystematisch aufschreiben, dann zählen.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Systematisch zählen», Schritt 4

2Produktregel

n_{1} \cdot n_{2} \cdot n_{3}

Beispiel		Anzahl
$3 T-Shirts, 2 Hosen$	→	$3 \cdot 2 = 6$
$Zahlencode mit 4 Ziffern$	→	$10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$
$3 Kinder in einer Reihe$	→	$3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$

$n_{1}$ , $n_{2}$ , $n_{3}$ : Anzahl Möglichkeiten in Schritt 1, 2 und 3.
Mehrere Schritte nacheinander: Anzahlen multiplizieren.
Wird nichts zurückgelegt, wird die Auswahl kleiner.

Drei Schritte nacheinander.

MerkeSchritte nacheinander: malnehmen, nicht addieren.

3 \cdot 3 \cdot 2 = 18

Beispiel		Anzahl
$3 T-Shirts, 3 Hosen$	→	$3 \cdot 3 = 9$
$Zahlencode mit 2 Ziffern$	→	$10 \cdot 10 = 100$
$4 Kinder in einer Reihe$	→	$4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$

$n_{1} = 3$ T-Shirts, $n_{2} = 3$ Hosen, $n_{3} = 2$ Jacken.
T-Shirt, Hose, Jacke nacheinander: $3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$ , nicht $3 + 3 + 2 = 8$ .
$4$ Kinder in einer Reihe: Für Platz 2 bleiben noch $3$ , für Platz 3 noch $2$ .

Jacke: zwei. $3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$ Outfits.

MerkeSchritte nacheinander: malnehmen, nicht addieren.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Produktregel», Schritt 4

3Muster fortsetzen

Folge		Regel
$3, 7, 11, 15, \dots$	→	$+ 4$
$2, 4, 8, 16, \dots$	→	$\cdot 2$
$1, 4, 9, 16, \dots$	→	$Quadratzahlen$
$1, 3, 6, 10, \dots$	→	$+ 2, + 3, + 4, \dots$

Rechne die Differenz (den Unterschied) zweier Nachbarn aus.
Gleiche Differenz: addieren. Gleicher Quotient (Ergebnis von geteilt): multiplizieren.

Dreiecke aus Punkten: $1, 3, 6, \dots$

MerkeErst die Differenz prüfen, dann den Quotienten.

Folge		Regel
$3, 7, 11, 15, 19$	→	$15 + 4 = 19$
$2, 4, 8, 16, 32$	→	$16 \cdot 2 = 32$
$1, 4, 9, 16, 25$	→	$5 \cdot 5 = 25$
$1, 3, 6, 10, 15$	→	$10 + 5 = 15$

$7 - 3 = 4$ und $11 - 7 = 4$ : gleiche Differenz, also immer $+ 4$ .
$4 : 2 = 2$ und $8 : 4 = 2$ : gleicher Quotient, also immer $\cdot 2$ .

Es kommt jedes Mal eine Reihe mehr dazu: $+ 2, + 3, + 4$ .

MerkeErst die Differenz prüfen, dann den Quotienten.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Muster fortsetzen», Schritt 4

4Wahrscheinlichkeit

P = \frac{g u ¨ nstige}{m o ¨ gliche}

Immer zwischen $0$ (unmöglich) und $1$ (sicher).
Gilt, wenn alle Ausgänge gleich wahrscheinlich sind.
Kürzen: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .

Ein Würfel: sechs mögliche Ausgänge.

MerkeImmer zuerst günstige und mögliche Ausgänge zählen.

P (gr o ¨ sser als 4) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

Eine $7$ : $P = 0$ (unmöglich). Höchstens $6$ : $P = 1$ (sicher).
Beim Würfel hat jede Augenzahl die gleiche Chance, $\frac{1}{6}$ .
Kürzen: $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ .

$P (gr o ¨ sser als 4) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

MerkeImmer zuerst günstige und mögliche Ausgänge zählen.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Wahrscheinlichkeit», Schritt 4

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Mit den Ziffernkarten $1$ , $2$ und $3$ werden zweistellige Zahlen gelegt, jede Karte höchstens einmal. Schreibe alle Zahlen systematisch auf. Wie viele sind es, und wie viele davon sind gerade?

Zwei Ziffernkarten aus $1, 2, 3$ legen.

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Erste Ziffer
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Zweite Ziffer
…
3
Gerade Zahlen
…

Typische Fehler

✗
Anzahlen addieren statt multiplizieren: $3$ T-Shirts und $2$ Hosen sind $6$ Outfits, nicht $5$ .
✗
Eine Folge nach einem Blick fortsetzen, ohne die Differenz oder den Quotienten zu prüfen.
✗
Bei der Wahrscheinlichkeit günstige durch ungünstige statt durch mögliche teilen: $\frac{3}{5}$ statt $\frac{3}{8}$ .

Prüfungstipp

Schreibe die ersten Möglichkeiten oder Folgenglieder auf, bevor du eine Formel anwendest. Eine kurze Liste oder ein kleiner Baum findet Fehler früh.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an der Aufnahmeprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Je nach Kanton ohne oder teilweise mit Taschenrechner. Unsere Aufgaben sind ohne Taschenrechner lösbar. Was in deinem Kanton gilt, steht auf der Kantons-Seite.

3 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Pizza, Muster und Glücksrad
Zahlenschloss und Handschläge
Muster, Beutel und Münzen

Zurzeit gratis: Mit einem Gratis-Konto siehst du Aufgaben und Lösungswege.

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Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du zählst Möglichkeiten systematisch mit Baum, Tabelle und Produktregel.
Du setzt Zahlenfolgen und Muster fort und erkennst die Regel.
Du berechnest einfache Wahrscheinlichkeiten als «günstige durch mögliche».

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Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Eine Lehrperson antwortet meist innert 24 Stunden. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

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