Lektion 04

Proportionalität & Dreisatz

Direkt und umgekehrt proportional, Dreisatz, Massstab, Geschwindigkeit

MatheSehr prüfungsrelevantca. 35 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

Ein Gipfeli kostet CHF 2: Mit jedem Gipfeli wächst der Preis um 2.

Nach dieser Lektion

Du erkennst, ob zwei Grössen direkt oder umgekehrt proportional sind.
Du löst Dreisatzaufgaben über die Einheit.
Du rechnest mit Massstab sowie mit Geschwindigkeit, Zeit und Weg.

An der Prüfung: Gehört zum Grundstoff der Aufnahmeprüfungen an Fachmittelschulen, Gymnasien und Berufsmaturitätsschulen. Oft ohne Taschenrechner.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

true

Waagrecht die Anzahl: Gipfeli (oben, Preis) und Personen (unten, Zeit).

Preis : Anzahl $= 2$ bleibt gleich: direkt proportional.

Anzahl

n

Preis pro Gipfeli

c

(CHF)

Arbeit

A

(Stunden für 1 Person)

$Preis$

6CHF

$Zeit$

Preis : Anzahl $= 2$ bleibt gleich: direkt proportional.
Anzahl $\cdot$ Zeit $= 12$ bleibt gleich: umgekehrt proportional.
Doppelt so viele ( $6$ ): Preis $12$ CHF, Zeit $2$ h.

Waagrecht die Anzahl: Gipfeli (oben, Preis) und Personen (unten, Zeit).

Aufträge

0 von 3 geschafft

Stelle 6 Gipfeli zu CHF 2 ein. Der Preis ist CHF 12.
(offen)
4 Personen sollen genau 6 Stunden arbeiten. Stelle $A$ ein.
(offen)
Bei $A = 24$ : Wie viele Personen brauchen nur 4 h?
(offen)

Entdecke:

Oben bleibt der Quotient (Preis : Anzahl) gleich: eine Gerade durch den Punkt (0 | 0). Unten bleibt das Produkt gleich: eine Kurve, die immer flacher wird.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Direkt proportional

\frac{y}{x} = k

Anzahl		Preis (CHF)
$1$	→	$2$
$2$	→	$4$
$3$	→	$6$
$5$	→	$10$

$x$ Anzahl, $y$ Preis: Der Quotient $k = y : x$ bleibt gleich.
Doppelt so viel gibt doppelt so viel.

Ein Punkt $(x ∣ y)$ der Geraden durch $(0 ∣ 0)$ .

MerkeQuotient gleich: direkt proportional.

\frac{4}{2} = \frac{8}{4} = 2

Anzahl		Preis : Anzahl
$1$	→	$2 : 1 = 2$
$2$	→	$4 : 2 = 2$
$3$	→	$6 : 3 = 2$
$5$	→	$10 : 5 = 2$

$x$ Gipfeli, $y$ Preis: $k = 4 : 2 = 2$ bleibt gleich.
$3$ Gipfeli kosten CHF $6$ , doppelt so viele ( $6$ ) kosten CHF $12$ .

Pro Gipfeli kommen immer CHF 2 dazu.

MerkeQuotient gleich: direkt proportional.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Direkt proportional», Schritt 4

2Umgekehrt proportional

x \cdot y = k

Personen		Stunden
$1$	→	$12$
$2$	→	$6$
$3$	→	$4$
$4$	→	$3$
$6$	→	$2$

$x$ Personen, $y$ Stunden: Das Produkt $k = x \cdot y$ bleibt gleich.
Doppelt so viele Personen, halb so viel Zeit.

$x$ Personen brauchen $y$ Stunden.

MerkeProdukt gleich: umgekehrt proportional.

2 \cdot 6 = 4 \cdot 3 = 12

Personen		Personen · Stunden
$1$	→	$1 \cdot 12 = 12$
$2$	→	$2 \cdot 6 = 12$
$3$	→	$3 \cdot 4 = 12$
$4$	→	$4 \cdot 3 = 12$
$6$	→	$6 \cdot 2 = 12$

$x$ Personen, $y$ Stunden: $k = 2 \cdot 6 = 12$ bleibt gleich.
$2$ Personen brauchen $6$ h, doppelt so viele ( $4$ ) nur $3$ h.

4 Personen, 3 Stunden: $4 \cdot 3 = 12$ . Gleiche Fläche.

MerkeProdukt gleich: umgekehrt proportional.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Umgekehrt proportional», Schritt 4

3Dreisatz über die Einheit

Direkt (Hefte)	Umgekehrt (Maler)
$5 \to 15 CHF$	$3 \to 8 h$
$1 \to 3 CHF$	$1 \to 24 h$
$8 \to 24 CHF$	$6 \to 4 h$

Erst auf 1 zurückrechnen, dann auf das Gesuchte.
$5 \to 15$ CHF heisst: $5$ Hefte kosten $15$ CHF.

$a$ Stück kosten $P$ .

MerkeDirekt: teilen, dann mal. Umgekehrt: mal, dann teilen.

Direkt (Gipfeli)	Umgekehrt (Maler)
$3 \to 6 CHF$	$3 \to 4 h$
$1 \to 2 CHF$	$1 \to 12 h$
$8 \to 16 CHF$	$6 \to 2 h$

Erst auf 1: $1$ Gipfeli kostet $6 : 3 = 2$ CHF, dann $8 \cdot 2 = 16$ CHF.
$3 \to 6$ CHF heisst: $3$ Gipfeli kosten $6$ CHF.

Mal 8: 8 Gipfeli kosten CHF 16.

MerkeDirekt: teilen, dann mal. Umgekehrt: mal, dann teilen.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Dreisatz über die Einheit», Schritt 4

4Massstab und Tempo

s = v \cdot t

Gesucht		Rechnung
$Weg s$	→	$v \cdot t$
$Zeit t$	→	$s : v$
$Tempo v$	→	$s : t$

$s$ Weg, $v$ Tempo (Geschwindigkeit), $t$ Zeit.
$1 : 25000$ heisst: 1 cm auf der Karte sind 250 m.
Einheiten angleichen: $30$ min sind $0, 5$ h.

Karte $1 : 25000$ : A bis B sind 6 cm.

MerkeErst die Einheiten gleich machen, dann rechnen.

1, 5 km = 3 km/h \cdot 0, 5 h

Gesucht		Rechnung
$Weg s$	→	$3 \cdot 0, 5 = 1, 5 km$
$Zeit t$	→	$1, 5 : 3 = 0, 5 h$
$Tempo v$	→	$1, 5 : 0, 5 = 3 km/h$

Weg $s = 1, 5$ km, Tempo $v = 3$ km/h, Zeit $t = 0, 5$ h.
$1 : 25000$ : $6$ cm auf der Karte sind $6 \cdot 250 m = 1, 5$ km.
Zu Fuss mit $3$ km/h: $30$ min sind $0, 5$ h.

$6 \cdot 250 m = 1500 m = 1, 5 km$

MerkeErst die Einheiten gleich machen, dann rechnen.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Massstab und Tempo», Schritt 4

Im Alltag

Wo dir das ausserhalb der Schule begegnet.

Preis pro kg

2 kg kosten CHF 14.

Am Marktstand kosten $2$ kg Kirschen CHF $14$ . Erst auf $1$ kg: CHF $7$ , dann mal $3$ : $3$ kg kosten CHF $21$ .

Stadtplan

Stadtplan $1 : 10000$ : Der Schulweg ist $7$ cm lang.

Auf dem Stadtplan $1 : 10000$ ist dein Schulweg $7$ cm lang. $1$ cm sind $10000$ cm $= 100$ m, also ist der Weg $700$ m lang.

Mehr Helfende

$3$ Personen brauchen $40$ Minuten.

Im Lager schälen $3$ Personen die Kartoffeln in $40$ min. Doppelt so viele brauchen halb so lang: $6 \cdot 20 = 3 \cdot 40 = 120$ , also $20$ min.

Schulweg mit Velo

$12$ km/h: In $60$ min fährst du $12$ km.

Mit dem Velo fährst du $12$ km/h, dein Schulweg ist $3$ km lang. Du brauchst $t = 3 : 12 = 0, 25$ h, also $15$ min.

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Auf dem Markt kosten $3$ kg Äpfel CHF $7, 50$ , $5$ kg kosten CHF $12, 50$ und $8$ kg kosten CHF $20, 00$ . Ist der Preis proportional zur Menge? Was kosten $12$ kg?

Drei Messpunkte: Menge und Preis.

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Quotienten bilden
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Konstante und Gleichung
…
3
Preis für 12 kg
…

Typische Fehler

✗
Bei umgekehrter Proportionalität wie bei direkter rechnen: Mehr Personen brauchen weniger Zeit, nicht mehr.
✗
Massstab falsch lesen: $1 : 25000$ heisst 1 cm sind 250 m, nicht 25 km.
✗
Minuten und Stunden mischen: 45 min sind $0, 75$ h, nicht $0, 45$ h.

Prüfungstipp

Frage dich vor dem Rechnen: Mehr gibt mehr (direkt) oder mehr gibt weniger (umgekehrt)? Prüfe am Schluss, ob dein Resultat zu dieser Richtung passt.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an der Aufnahmeprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Je nach Kanton ohne oder teilweise mit Taschenrechner. Unsere Aufgaben sind ohne Taschenrechner lösbar. Was in deinem Kanton gilt, steht auf der Kantons-Seite.

3 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Schulreise
Pumpen im Hallenbad
Velotour und Wanderkarte

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Aufnahmeprüfungs-Pass oder im Abo.

Gratis-Konto erstellen

Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du erkennst, ob zwei Grössen direkt oder umgekehrt proportional sind.
Du löst Dreisatzaufgaben über die Einheit.
Du rechnest mit Massstab sowie mit Geschwindigkeit, Zeit und Weg.

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Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Antwort von Ugi innert 2 Schultagen. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

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