Lektion 07

Potenzen, Wurzeln & Einheiten

Potenzgesetze mit ganzen Hochzahlen, Quadratwurzeln, Zehnerpotenzen, Einheiten umrechnen

MathePrüfungsrelevantca. 35 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

$2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2$ : Die Basis $2$ wird dreimal malgenommen, die Hochzahl $3$ sagt wie oft. Jede Stufe verdoppelt.

Nach dieser Lektion

Du rechnest mit Potenzen, auch mit der Hochzahl $0$ und negativen Hochzahlen.
Du kennst Quadratzahlen, ziehst einfache Wurzeln und schreibst grosse Zahlen mit Zehnerpotenzen.
Du rechnest Länge, Fläche, Volumen und Zeit sicher um.

An der Prüfung: Gehört zum Grundstoff der Aufnahmeprüfungen an Fachmittelschulen, Gymnasien und Berufsmaturitätsschulen. Umrechnen von Einheiten steckt in vielen Sachaufgaben.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

true

Blau: $m$ Faktoren, orange: $n$ Faktoren. Unten stehen alle zusammen.

Die Basis bleibt. Die Hochzahlen werden addiert: $3 + 2 = 5$ .

Basis

a

Hochzahl

m

Hochzahl

n

$a^{m}$

$a^{n}$

$a^{m} \cdot a^{n}$

$a^{m + n}$

Die Basis bleibt. Die Hochzahlen werden addiert: $3 + 2 = 5$ .

Blau: $m$ Faktoren, orange: $n$ Faktoren. Unten stehen alle zusammen.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Stelle $2^{3} \cdot 2^{4}$ ein und lies das Ergebnis ab.
(offen)
Mache aus zwei Zehnerpotenzen genau eine Million.
(offen)
Das Produkt soll mit Basis $2$ genau $64$ sein.
(offen)

Entdecke:

Gleiche Basis, mal gerechnet: Du zählst alle Faktoren zusammen, also werden die Hochzahlen addiert. Beim Dividieren streichst du Faktoren weg: Hochzahlen subtrahieren.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Potenzgesetze

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

Gesetz		Beispiel
$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$	→	$5^{6} : 5^{4} = 5^{2}$
$(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$	→	$(3^{2})^{3} = 3^{6}$
$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$	→	$2^{- 3} = \frac{1}{8}$
$a^{0} = 1$	→	$7^{0} = 1$

Die Basis muss gleich sein, sonst kannst du nicht zusammenfassen.
Auch Klammern: $(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$ .

$a^{m}$ : $m$ Faktoren $a$ .

MerkeMal: Hochzahlen plus. Hoch: Hochzahlen mal.

2^{3} \cdot 2^{2} = 2^{3 + 2} = 2^{5} = 32

Eingesetzt		Wert
$2^{5} : 2^{3} = 2^{5 - 3}$	→	$2^{2} = 4$
$(2^{3})^{2} = 2^{3 \cdot 2}$	→	$2^{6} = 64$
$2^{- 2} = \frac{1}{2 ^{2}}$	→	$\frac{1}{4}$
$2^{3} : 2^{3} = 2^{0}$	→	$1$

$2^{3} \cdot 3^{2}$ : zwei verschiedene Basen, also nur $8 \cdot 9 = 72$ .
Auch Klammern: $(2 \cdot 5)^{3} = 2^{3} \cdot 5^{3} = 8 \cdot 125 = 1000$ .

Zusammen fünf Faktoren: $2^{3} \cdot 2^{2} = 2^{5} = 32$ .

MerkeMal: Hochzahlen plus. Hoch: Hochzahlen mal.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Potenzgesetze», Schritt 4

2Quadratzahlen und Wurzeln

a^{2} = a

Quadrat		Wurzel
$1 2^{2} = 144$	→	$144 = 12$
$1 5^{2} = 225$	→	$225 = 15$
$2 0^{2} = 400$	→	$400 = 20$
$0, 3^{2} = 0, 09$	→	$0, 09 = 0, 3$

Zerlegen: $3600 = 36 \cdot 100 = 60$ .
Schätzen: $50$ liegt zwischen $7$ und $8$ , denn $49 < 50 < 64$ .
Nie: $a + b = a + b$ .

Ein Quadrat mit der Fläche $a^{2}$ .

MerkeWurzel ziehen heisst: Welche Zahl mal sich selbst gibt das?

25 = 5^{2} = 5

Quadrat		Wurzel
$1 2^{2} = 144$	→	$144 = 12$
$1 5^{2} = 225$	→	$225 = 15$
$2 0^{2} = 400$	→	$400 = 20$
$0, 3^{2} = 0, 09$	→	$0, 09 = 0, 3$

Zerlegen: $2500 = 25 \cdot 100 = 50$ .
Schätzen: $30$ liegt zwischen $5$ und $6$ , denn $25 < 30 < 36$ .
Nie: $9 + 16 = 25 = 5$ , nicht $3 + 4 = 7$ .

Die Seite ist $5$ lang: $25 = 5$ .

MerkeWurzel ziehen heisst: Welche Zahl mal sich selbst gibt das?

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Quadratzahlen und Wurzeln», Schritt 4

3Zehnerpotenzen

a \cdot 1 0^{n} (1 \leq a < 10)

Zahl		Schreibweise
$300000$	→	$3 \cdot 1 0^{5}$
$45000$	→	$4, 5 \cdot 1 0^{4}$
$0, 004$	→	$4 \cdot 1 0^{- 3}$
$0, 0062$	→	$6, 2 \cdot 1 0^{- 3}$

$1 \leq a < 10$ heisst: $a$ ist mindestens $1$ und kleiner als $10$ .
Diese Form heisst wissenschaftliche Schreibweise.
Grosse Zahl: positive Hochzahl. Kleine Zahl: negative.
Die Hochzahl zählt, wie weit das Komma wandert.

$45000$ hat das Komma am Ende.

MerkeDie Zahl vor der Zehnerpotenz liegt zwischen

1

und

10

2, 5 \cdot 1 0^{5} (1 \leq 2, 5 < 10)

Zahl		Schreibweise
$250000$	→	$2, 5 \cdot 1 0^{5}$
$72000$	→	$7, 2 \cdot 1 0^{4}$
$0, 0008$	→	$8 \cdot 1 0^{- 4}$
$0, 015$	→	$1, 5 \cdot 1 0^{- 2}$

$1 \leq 2, 5 < 10$ : $2, 5$ ist mindestens $1$ und kleiner als $10$ .
$2, 5 \cdot 1 0^{5}$ ist die wissenschaftliche Schreibweise von $250000$ .
$250000$ ist gross: $1 0^{5}$ . $0, 0008$ ist klein: $1 0^{- 4}$ .
Das Komma wandert $5$ Stellen: $250000 = 2, 5 \cdot 1 0^{5}$ .

Fünf Schritte heisst $1 0^{5}$ .

MerkeDie Zahl vor der Zehnerpotenz liegt zwischen

1

und

10

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Zehnerpotenzen», Schritt 4

4Einheiten umrechnen

1 m^{2} = 100 dm^{2}

Von grosser zu kleiner Einheit: mal. Zurück: durch.
$1 dm^{3} = 1$ Liter $= 1000 cm^{3}$ .
$1 h = 60 min$ und $1 min = 60 s$ .

Länge: jede Stufe mal $10$ .

MerkeLänge

\cdot 10

, Fläche

\cdot 100

, Volumen

\cdot 1000

pro Stufe.

3 m^{2} = 300 dm^{2}

m zu cm ist mal: $1, 5 m = 150 cm$ . Zurück durch: $300 cm = 3 m$ .
$2 dm^{3} = 2$ Liter $= 2000 cm^{3}$ .
$1, 5 h = 90 min$ und $2 min = 120 s$ .

Volumen: jede Stufe mal $1000$ .

MerkeLänge

\cdot 10

, Fläche

\cdot 100

, Volumen

\cdot 1000

pro Stufe.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Einheiten umrechnen», Schritt 4

Im Alltag

Wo dir das ausserhalb der Schule begegnet.

Einwohnerzahl

$9000000$ hat das Komma am Ende.

In der Schweiz leben rund $9$ Millionen Menschen: $9000000 = 9 \cdot 1 0^{6}$ . Die Hochzahl $6$ zählt die Nullen.

Papier falten

Ein Blatt: $2^{0} = 1$ Lage.

Faltest du ein Blatt Papier, verdoppeln sich die Lagen: nach $3$ Faltungen $2^{3} = 8$ Lagen. Nach $10$ Faltungen wären es schon $2^{10} = 1024$ Lagen.

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Vereinfache und berechne ohne Taschenrechner: $\frac{3 ^{5} \cdot 3 ^{4}}{( 3 ^{2} ) ^{3}}$

Oben 5 + 4 Faktoren 3, unten 3 Paare.

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Mal: Hochzahlen plus
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Hoch: Hochzahlen mal
…
3
Geteilt: Hochzahlen minus
…

Typische Fehler

✗
$2^{3}$ als $2 \cdot 3 = 6$ rechnen. Es sind drei Faktoren: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ .
✗
Bei Flächen mit $10$ statt $100$ umrechnen (bei Volumen mit $10$ statt $1000$ ).
✗
Bei $2^{3} \cdot 2^{2}$ die Basen multiplizieren ( $4^{5}$ ) oder die Hochzahlen multiplizieren ( $2^{6}$ ). Richtig: $2^{5}$ .

Prüfungstipp

Ohne Taschenrechner helfen die Quadratzahlen bis $2 0^{2}$ , die du auswendig kannst. Bei Einheiten schreibst du zuerst die Treppe hin und zählst die Stufen.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an der Aufnahmeprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Je nach Kanton ohne oder teilweise mit Taschenrechner. Unsere Aufgaben sind ohne Taschenrechner lösbar. Was in deinem Kanton gilt, steht auf der Kantons-Seite.

3 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Potenzen, Zehnerpotenzen und ein Beet
Bakterien in der Petrischale
Licht, Raumschiff und zwei Fehler

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Aufnahmeprüfungs-Pass oder im Abo.

Gratis-Konto erstellen

Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du rechnest mit Potenzen, auch mit der Hochzahl $0$ und negativen Hochzahlen.
Du kennst Quadratzahlen, ziehst einfache Wurzeln und schreibst grosse Zahlen mit Zehnerpotenzen.
Du rechnest Länge, Fläche, Volumen und Zeit sicher um.

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Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Antwort von Ugi innert 2 Schultagen. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

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