Lektion 01

Lineare Funktionen

Steigung, Achsenabschnitt, Schnittpunkte, senkrechte Geraden

MatheGrundlageca. 35 Min.Adaptiver Trainer

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In 30 Sekunden

Taxi A: Der Preis wächst gleichmässig mit den Kilometern.

Nach dieser Lektion

Du liest $m$ und $q$ direkt aus $y = m x + q$ ab und zeichnest die Gerade ohne Wertetabelle.
Du bestimmst die Gerade durch zwei Punkte und den Schnittpunkt zweier Geraden.
Du erkennst senkrechte Geraden an $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ .

An der Prüfung: Grundlage für Tangenten, Geraden in der Vektorgeometrie und Textaufgaben.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

true

Violett: das Steigungsdreieck, 1 nach rechts und m nach oben oder unten.

Steigend: Pro 1 nach rechts geht die Gerade um 1 nach oben.

Steigung

m

y-Achsenabschnitt

q

$Steigung m$

$y-Achsenabschnitt q$

−3

$Nullstelle x_{0} = - \frac{q}{m}$

Steigend: Pro 1 nach rechts geht die Gerade um 1 nach oben.

Violett: das Steigungsdreieck, 1 nach rechts und m nach oben oder unten.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Die Gerade soll durch $(0 ∣ 1)$ und $(2 ∣ 5)$ gehen.
(offen)
Stell eine fallende Gerade mit Nullstelle $x = 4$ ein.
(offen)
Mach die Gerade waagrecht durch den Punkt $(3 ∣ 4)$ .
(offen)

Entdecke:

Halte $q$ fest und ändere nur $m$ : Um welchen Punkt dreht sich die Gerade? Dann umgekehrt: Was macht $q$ allein?

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Steigung m

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

Kurz $m = \frac{Δ y}{Δ x}$ : $Δ$ (Delta) heisst Differenz, $Δ y = y_{2} - y_{1}$ .
1 nach rechts, $m$ nach oben.
$m < 0$ : Die Gerade fällt.

Gerade durch $A (x_{1} ∣ y_{1})$ und $B (x_{2} ∣ y_{2})$ .

MerkeSteigung = Höhenunterschied pro 1 nach rechts.

m = \frac{3}{2} = \frac{3 , 5 - 0 , 5}{3 - 1}

$Δ y = 3$ und $Δ x = 3 - 1 = 2$ (Differenzen).
1 nach rechts, $1, 5$ nach oben.
$m = 1, 5 > 0$ : Die Gerade steigt.

$Δ y = 3$ nach oben: $m = \frac{3}{2} = 1, 5$

MerkeSteigung = Höhenunterschied pro 1 nach rechts.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Steigung m», Schritt 4

2Achsenabschnitt q

y = m x + q

Für $x = 0$ ist $y = q$ : der Punkt $(0 ∣ q)$ .
$q$ verschiebt die Gerade nur hoch oder runter.

$y = m x + q$ schneidet die y-Achse in $(0 ∣ q)$ .

Merke

q

ist die Höhe bei

x = 0

y = 0, 5 x + 1

Für $x = 0$ ist $y = 1$ : der Punkt $(0 ∣ 1)$ .
$q = 3$ statt $1$ schiebt die Gerade um $2$ hoch.

$q = - 2$ : Gerade tiefer.

Merke

q

ist die Höhe bei

x = 0

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Achsenabschnitt q», Schritt 4

3Nullstelle und Schnittpunkt

x_{0} = - \frac{q}{m}

Nullstelle: $y = 0$ setzen.
Schnittpunkt: beide Terme gleichsetzen.

Zwei Geraden $g$ und $h$ .

MerkeSchnittpunkt: gleiches

x

, gleiches

y

x_{0} = - \frac{1}{1} = - 1

Nullstelle von $g$ : $x + 1 = 0$ setzen.
Schnittpunkt: $x + 1 = - \frac{1}{2} x + 4$ gibt $S (2 ∣ 3)$ .

$x + 1 = - \frac{1}{2} x + 4$ , also $x = 2$ , $y = 3$

MerkeSchnittpunkt: gleiches

x

, gleiches

y

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Nullstelle und Schnittpunkt», Schritt 4

4Parallel und senkrecht

m_{1} \cdot m_{2} = - 1

Steigung		senkrecht dazu
$2$	→	$- \frac{1}{2}$
$\frac{3}{4}$	→	$- \frac{4}{3}$
$- 5$	→	$\frac{1}{5}$

Parallel: gleiche Steigung.
Senkrecht: negativer Kehrwert.

$g$ hat die Steigung $m_{1}$ .

MerkeSenkrecht: Kehrwert und Vorzeichen drehen.

\frac{3}{2} \cdot (- \frac{2}{3}) = - 1

Steigung		senkrecht dazu
$2$	→	$- \frac{1}{2}$
$\frac{3}{4}$	→	$- \frac{4}{3}$
$- 5$	→	$\frac{1}{5}$

Parallel zu $g$ : jede Gerade mit Steigung $\frac{3}{2}$ .
Senkrecht: Kehrwert $\frac{2}{3}$ , Vorzeichen gedreht: $- \frac{2}{3}$ .

Rechter Winkel: $\frac{3}{2} \cdot (- \frac{2}{3}) = - 1$

MerkeSenkrecht: Kehrwert und Vorzeichen drehen.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Parallel und senkrecht», Schritt 4

Im Alltag

Wo dir das ausserhalb der Schule begegnet.

Strassenschild

Eine Strasse mit $8 %$ Steigung.

Das Schild zeigt $8 %$ Steigung: Auf $100 m$ waagrecht geht es $8 m$ hinauf, also $m = 0, 08$ . Das Bild ist massstäblich, so flach sind $8 %$ .

Nullgradgrenze

Im Tal ( $x = 0$ ) hat es $13$ °C: $q = 13$ .

Pro Kilometer Aufstieg wird es etwa $6, 5$ °C kälter. Bei $13$ °C im Tal gilt $y = 13 - 6, 5 x$ , und $2 km$ über dem Tal ist es $0$ °C.

Zwei Kerzen

Kerze A: $y = 20 - 2 x$ , nach $x$ Stunden.

Kerze A ist $20 cm$ hoch und brennt $2 cm$ pro Stunde ab, Kerze B ist $15 cm$ hoch und brennt $1 cm$ pro Stunde. Nach $5$ Stunden sind beide $10 cm$ hoch.

Stadtplan

Strasse $g$ : $y = 2 x$ , also $m_{1} = 2$ .

Auf einem Stadtplan mit Koordinaten führt eine Strasse entlang $y = 2 x$ . Eine Querstrasse im rechten Winkel hat die Steigung $- \frac{1}{2}$ , denn $2 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 1$ .

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Die Gerade $g$ geht durch $A (- 1 ∣ - 1)$ und $B (1 ∣ 3)$ . Die Gerade $h$ steht senkrecht auf $g$ und geht durch $C (4 ∣ 0)$ . Bestimme $h$ und den Schnittpunkt $S$ von $g$ und $h$ .

Gegeben: $A$ , $B$ und $C$ .

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Gerade g
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Steigung von h
…
3
q von h
…
4
Schnittpunkt
…

Typische Fehler

✗
Bei $Δ y /Δ x$ die Reihenfolge der Punkte im Zähler und Nenner vertauschen: Das Vorzeichen wird falsch.
✗
Bei senkrechten Geraden nur das Vorzeichen ändern statt den negativen Kehrwert zu nehmen.
✗
Geraden in der Form $a x + b y + c = 0$ nicht zuerst nach $y$ auflösen.

Prüfungstipp

In der Passerelle stehen Geraden oft in Koordinatenform, z. B. $9 x + 10 y + 50 = 0$ . Löse sie sofort nach $y$ auf: $y = - 0, 9 x - 5$ . Dann siehst du $m$ und $q$ direkt.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie in der Passerelle. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: An der echten Prüfung erlaubt: eine Formelsammlung und ein einfacher Taschenrechner (Casio FX-82 Solar oder TI-30 ECO RS). Quelle: Schweizerische Maturitätskommission (SMK).

2 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Tarifvergleich bei E-Trottinetts
Dreieck mit Höhe und Lotfusspunkt

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Abo.

Gratis-Konto erstellen

Danach: echte Prüfungen im Prüfungsarchiv.

Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du liest $m$ und $q$ direkt aus $y = m x + q$ ab und zeichnest die Gerade ohne Wertetabelle.
Du bestimmst die Gerade durch zwei Punkte und den Schnittpunkt zweier Geraden.
Du erkennst senkrechte Geraden an $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ .

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Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Antwort von Ugi innert 2 Schultagen. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

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