Gleichungen & Ungleichungen I

Lineare und quadratische Gleichungen, Bruchgleichungen, Lösungsmenge

Grundlageca. 35 Min.Adaptiver Trainer

Auf einen Blick

Die Waage ist im Gleichgewicht: $2 x + 1 = x + 4$ .

Nach dieser Lektion

✓
Du löst lineare Gleichungen mit Äquivalenzumformungen.
✓
Du löst quadratische Gleichungen mit der passenden Methode.
✓
Du bestimmst bei Bruchgleichungen zuerst die Definitionsmenge.

An der Prüfung: Handwerk für alle Aufgaben. Bruchgleichungen erscheinen auch als eigene Kurzaufgabe.

Schritt 2

Entdecken

Spiel zuerst. Formeln ergeben mehr Sinn, wenn du schon gesehen hast, was sie tun.

Links (blau) und rechts (orange) sind je eine Gerade. Die Lösung ist, wo sie sich schneiden.

2 x + 1 = x + 4

Steigung links

a

2Zahl links

b

1Steigung rechts

c

1Zahl rechts

d

$x$

$y$

Genau eine Lösung: $x = 3$ . Dort schneiden sich die Geraden.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Finde eine Gleichung ohne Lösung.
(offen)
Stelle die Lösung $x = 2$ ein.
(offen)
Finde eine Gleichung mit unendlich vielen Lösungen.
(offen)

Entdecke:

Eine Gleichung lösen heisst, den Schnittpunkt zweier Geraden finden. Machst du beide Geraden gleich steil ( $a = c$ ), gibt es entweder keinen Schnittpunkt oder unendlich viele.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Äquivalenzumformungen

Gleichung		Umformung
$x - 3 = 5$	→	$x = 8 (+ 3)$
$2 x = 6$	→	$x = 3 (: 2)$
$\frac{x}{4} = 2$	→	$x = 8 (\cdot 4)$

Auf beiden Seiten dasselbe tun.
Nie mit $0$ multiplizieren oder dividieren.

Waage: $2 x = 6$ .

MerkeDie Waage bleibt im Gleichgewicht.

2Quadratische Gleichungen

a x^{2} + b x + c = 0

Gleichung		Weg
$x^{2} + 5 x = 0$	→	$x (x + 5) = 0$
$x^{2} = 16$	→	$x = \pm 4$
$x^{2} - x - 6 = 0$	→	$(x - 3) (x + 2) = 0$

Zuerst auf $= 0$ bringen.
Nicht durch $x$ teilen: Du verlierst $x = 0$ .

$y = x^{2} - x - 6$

MerkeLösungen sind die Nullstellen der Parabel.

3Bruchgleichungen

Nenner \neq = 0

1. Definitionsmenge $D$ festlegen.
2. Mit dem Hauptnenner multiplizieren und lösen.
3. Lösungen mit $D$ vergleichen.

$y = \frac{1}{x - 2}$

MerkeScheinlösungen streichen, die nicht in

D

liegen.

4Ungleichungen

- 2 x < 6 ⟺ x > - 3

Wie Gleichungen, aber mit einer Ausnahme.
Mit einer negativen Zahl multiplizieren oder dividieren: Zeichen dreht.

$- 2 x < 6$ durch $- 2$ : das Zeichen dreht.

MerkeNegativ multiplizieren: Zeichen umdrehen.

Schritt 4

Musterbeispiel

Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Löse \frac{3}{x - 1} - \frac{2}{x} = \frac{1}{x} .

Linke Seite (blau) und rechte Seite (orange) als Graphen.

Wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Definitionsmenge
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Mit x(x − 1) multiplizieren
…
3
Vereinfachen
…

Typische Fehler

✗
Durch $x$ teilen und dabei die Lösung $x = 0$ verlieren. Besser ausklammern.
✗
Bei Bruchgleichungen die Definitionsmenge vergessen.
✗
Bei Ungleichungen das Zeichen nicht umdrehen.

Prüfungstipp

Schreib die Definitionsmenge als Erstes hin. In der Passerelle gibt das oft schon einen Punkt, und du sortierst Scheinlösungen automatisch aus.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du löst lineare Gleichungen mit Äquivalenzumformungen.
Du löst quadratische Gleichungen mit der passenden Methode.
Du bestimmst bei Bruchgleichungen zuerst die Definitionsmenge.

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