Lektion 04

Exponentialfunktionen

Wachstum und Zerfall, Wachstumsfaktor, Halbwertszeit

MathePrüfungsrelevantca. 35 Min.Adaptiver Trainer

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Nach dieser Lektion

Du stellst $N (t) = N_{0} \cdot a^{t}$ aus einem Text auf.
Du rechnest mit Prozenten, Halbwertszeit und Verdopplungszeit.
Du kennst die Eigenschaften der e-Funktion, einer besonderen Exponentialfunktion.

An der Prüfung: Kommt als Kurzaufgabe oder in Kurvendiskussionen mit $e^{x}$ vor (z. B. Tangenten an $e^{1 - x}$ ).

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

true

Blau: exponentiell. Gestrichelt: linear mit gleichem Startzuwachs. Orange: $N_{0}$ . $T$ : Zeit, bis sich $N$ verdoppelt oder halbiert.

Wachstum: $a = 1, 05 > 1$ . Verdopplungszeit $T \approx 14, 2$ .

Anfangswert

N_{0}

Änderung pro Schritt

p

$Faktor a$

1,05

$Zeit T$

14,2

$N (10)$

114

Wachstum: $a = 1, 05 > 1$ . Verdopplungszeit $T \approx 14, 2$ .

Blau: exponentiell. Gestrichelt: linear mit gleichem Startzuwachs. Orange: $N_{0}$ . $T$ : Zeit, bis sich $N$ verdoppelt oder halbiert.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Finde ein Wachstum mit Verdopplungszeit etwa 10.
(offen)
Finde einen Zerfall mit Halbwertszeit etwa 5.
(offen)
Stelle $p = 0$ ein. Was passiert?
(offen)

Entdecke:

Ändere nur $N_{0}$ : Die Kurve wird höher, aber $T$ bleibt gleich.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Wachstumsfaktor

N (t) = N_{0} \cdot a^{t}

Änderung		Faktor
	→	$a = 1, 05$
	→	$a = 0, 95$
	→	$a = 0, 5$

Prozente werden multipliziert, nicht addiert.

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

$a > 1$ : Der Bestand wächst.

Warum: $5 %$ vom grösseren Bestand. Immer nur $+ 5$ gäbe $200$ (gestrichelt).

Warum: $5 %$ vom kleineren Bestand. Immer $- 5$ wäre nach 20 Jahren $0$ .

Warum: Halbieren lässt immer etwas übrig. Immer $- 50$ wäre nach 2 Jahren $0$ .

Merke

a > 1

wächst,

a < 1

schrumpft.

N (t) = 70 \cdot 1, 0 5^{t}

Änderung		Faktor
$+ 5 %$	→	$a = 1, 05$
$- 8 %$	→	$a = 0, 92$
$+ 12 %$	→	$a = 1, 12$

Nach 10 Schritten: $70 \cdot 1, 0 5^{10} \approx 114$ , nicht $70 + 50 % = 105$ .

$a = 0, 92$ : $70 \cdot 0, 9 2^{t}$ schrumpft.

Merke

a > 1

wächst,

a < 1

schrumpft.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Wachstumsfaktor», Schritt 4

2Halbwertszeit

N (t) = N_{0} \cdot (\frac{1}{2})^{t / T}

Nach jeder Zeit $T$ bleibt die Hälfte übrig. Verdopplungszeit: dasselbe mit dem Doppelten.
Faktor pro Zeiteinheit: $a^{T} = 0, 5$ , also $a = 0, 5^{1/ T}$ .
Umgekehrt: Zu einem Faktor $a < 1$ findest du $T$ durch Probieren, bis $a^{T} \approx 0, 5$ .

Zerfall ab dem Anfangswert $N_{0}$ .

MerkePro

T

halbiert sich der Bestand.

N (t) = 100 \cdot (\frac{1}{2})^{t / 5}

Nach $5$ bleiben $50$ , nach $10$ noch $25$ . Mit $+ 5 %$ verdoppelt sich ein Bestand etwa alle $14, 2$ .
Faktor pro Zeiteinheit: $a^{5} = 0, 5$ , also $a = 0, 5^{0, 2} \approx 0, 871$ .
Im Labor mit $- 13 %$ : $0, 8 7^{5} \approx 0, 50$ , also $T \approx 5$ .

Nach $2 T = 10$ : noch 25.

MerkeAlle

5

Zeiteinheiten halbiert sich der Bestand:

100 \to 50 \to 25

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Halbwertszeit», Schritt 4

3Die e-Funktion

e^{k t} = (e^{k})^{t} = a^{t}

$e \approx 2, 718$ ist eine feste Zahl, wie $π$ .
$N_{0} \cdot e^{k t}$ wächst wie $N_{0} \cdot a^{t}$ mit $a = e^{k}$ .
$e^{- x}$ ist an der y-Achse gespiegelt: Zerfall statt Wachstum.

$e \approx 2, 718$ : Der Graph von $e^{x}$ .

Merke

e^{k t}

ist Wachstum mit dem Faktor

e^{k}

pro Zeiteinheit.

e^{0, 5 t} = (e^{0, 5})^{t} \approx 1, 64 9^{t}

$e^{1} \approx 2, 718$ und $e^{2} \approx 7, 389$ .
$100 \cdot e^{0, 5 t}$ wächst wie $100 \cdot 1, 64 9^{t}$ : $+ 64, 9 %$ pro Zeiteinheit.
$e^{- x}$ bei $x = 1$ ist gleich $e^{x}$ bei $x = - 1$ : beide $\approx 0, 368$ .

$e^{- x}$ erreicht dieselbe Höhe $e$ bei $x = - 1$ .

Merke

e^{0, 5 t}

ist Wachstum mit dem Faktor

e^{0, 5} \approx 1, 649

pro Zeiteinheit.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Die e-Funktion», Schritt 4

4Exponent gesucht

a^{t} = c : t = ?

Probieren		Ergebnis
$a^{t} < c$	→	$zu klein: t gr o ¨ sser$
$a^{t} > c$	→	$zu gross: t kleiner$

Probieren: $t = 1, 2, 3, \dots$ einsetzen, bis der Zielwert überschritten ist.
Ablesen: Wo schneidet der Graph die Waagrechte $y = c$ ?

$a^{t} = c$ : Wo trifft der Graph die Höhe $c$ ?

MerkeExponent gesucht: probieren und am Graphen ablesen.

1, 5^{t} = 3 : t = ?

Probieren		Ergebnis
$1, 5^{2} = 2, 25$	→	$zu klein$
$1, 5^{3} = 3, 375$	→	$zu gross$

Probieren: $1, 5^{1} = 1, 5$ , $1, 5^{2} = 2, 25$ , erst $1, 5^{3} = 3, 375$ ist über $3$ .
Ablesen: Der Graph schneidet $y = 3$ bei $t \approx 2, 7$ .

Ablesen: Der Schnitt liegt bei $t \approx 2, 7$ .

MerkeExponent gesucht: probieren und am Graphen ablesen.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Exponent gesucht», Schritt 4

5Begrenztes Wachstum

N (t) = S - (S - N_{0}) \cdot a^{t}

Start		Verlauf
	→	$steigt gegen S$
	→	$f a ¨ llt gegen S$

$S$ ist die Grenze (Sättigungsgrenze), der sich der Bestand nähert.
Exponentiell schrumpft der Abstand zur Grenze: pro Zeitschritt mal $a < 1$ .
Zuerst ändert sich viel, nahe bei $S$ kaum noch etwas.

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

Start bei $N_{0}$ , die Grenze $S$ ist gestrichelt.

Warum nie darüber: Der Abstand wird kleiner, aber nie $0$ .

Warum dieselbe Formel: Das Vorzeichen von $S - N_{0}$ entscheidet über steigen oder fallen.

MerkeNicht der Bestand, sondern der Abstand zu

S

wird mit

a

multipliziert.

N (t) = 50 - (50 - 10) \cdot 0, 8^{t}

Start		Verlauf
$10 < 50$	→	$steigt gegen 50$
$90 > 50$	→	$f a ¨ llt gegen 50$

$S = 50$ : Der Bestand nähert sich $50$ , kommt aber nie darüber.
Abstand $50 - 10 = 40$ , nach 1 Schritt $40 \cdot 0, 8 = 32$ : $N (1) = 18$ .
Nach 5 Schritten: $50 - 40 \cdot 0, 8^{5} \approx 36, 9$ , noch $13, 1$ unter der Grenze.

Nach 5 Schritten: $N (5) = 50 - 40 \cdot 0, 8^{5} \approx 36, 9$ .

MerkeDer Abstand

40

wird mit

0, 8

multipliziert, nicht der Bestand

10

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Begrenztes Wachstum», Schritt 4

Im Alltag

Wo dir das ausserhalb der Schule begegnet.

Sparkonto

Start: $N_{0} = 1000$ Franken.

Auf dem Sparkonto liegen CHF 1000 zu $2 %$ Zins. Der Zins wird jedes Jahr mitverzinst: Nach 10 Jahren sind es $1000 \cdot 1, 0 2^{10} \approx 1219$ Franken.

Kredit

Schuld am Anfang: $N_{0} = 2000$ Franken.

Ein Kredit über CHF 2000 kostet $12 %$ Zins pro Jahr. Ohne Rückzahlung wächst die Schuld mit $a = 1, 12$ und verdoppelt sich in gut 6 Jahren: $1, 1 2^{6} \approx 1, 97$ .

Bakterien

Start: $N_{0} = 100$ Bakterien.

Unter guten Bedingungen verdoppeln sich manche Bakterien alle 20 Minuten. In 2 Stunden sind das 6 Verdopplungen: Aus 100 werden $100 \cdot 2^{6} = 6400$ .

Tee kühlt ab

Tee $90$ °C, Zimmer $20$ °C: $70$ °C Unterschied.

Nimm an, der Unterschied zur Zimmertemperatur halbiert sich alle 10 Minuten. Von $90$ °C bleiben bei $20$ °C im Zimmer nach 20 Minuten $20 + 70 \cdot \frac{1}{4} = 37, 5$ °C.

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Eine Stadt hat 40 000 Einwohner und wächst um 1,8 % pro Jahr. Wann sind es 50 000?

Start: 40 000. Ziel: 50 000.

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Modell
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Gleichung
…
3
Probieren
…
4
Ablesen
…

Typische Fehler

✗
Prozent addieren statt multiplizieren: Nach 10 Jahren mit 5 % sind es nicht $+ 50 %$ , sondern $\cdot 1, 0 5^{10} \approx 1, 63$ .
✗
Bei Abnahme $a = 0, 05$ statt $a = 0, 95$ verwenden.
✗
Den Exponenten durch Teilen «befreien» wollen: $1, 5^{t} = 3$ heisst nicht $t = 3 : 1, 5 = 2$ . Probiere: $1, 5^{2} = 2, 25$ ist noch zu klein.

Prüfungstipp

Exponent gesucht: probieren (Tabelle mit $t = 1, 2, 3, \dots$ ) und am Graphen ablesen. Später rechnest du das exakt mit $ln$ .

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie in der Passerelle. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: An der echten Prüfung erlaubt: eine Formelsammlung und ein einfacher Taschenrechner (Casio FX-82 Solar oder TI-30 ECO RS). Quelle: Schweizerische Maturitätskommission (SMK).

2 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Bakterienkultur mit Antibiotikum
Koffein im Körper

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Abo.

Gratis-Konto erstellen

Danach: echte Prüfungen im Prüfungsarchiv.

Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du stellst $N (t) = N_{0} \cdot a^{t}$ aus einem Text auf.
Du rechnest mit Prozenten, Halbwertszeit und Verdopplungszeit.
Du kennst die Eigenschaften der e-Funktion, einer besonderen Exponentialfunktion.

Dein Stand bei «Exponentialfunktionen»

0 %

0 von 3 Lernzielen eingeschätzt

Tippe bei jedem Lernziel an, wie sicher du dich fühlst. Dann siehst du hier, was du noch tun kannst.

Mit einem Gratis-Konto wird dein Selbstcheck gespeichert und du (oder deine Eltern) siehst den Fortschritt über alle Themen. Gratis anmelden

Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Antwort von Ugi innert 2 Schultagen. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

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