Lektion 23

Statistik

Mittelwert, Median, Quartile, Boxplot, Standardabweichung, Diagramme

MathePrüfungsrelevantca. 40 Min.Adaptiver Trainer

In 30 Sekunden

Sieben Taschengelder in CHF pro Monat, als Punkte auf der Zahlenlinie.

Nach dieser Lektion

Du berechnest Mittelwert, Median und Modus und wählst das passende Mass.
Du bestimmst Quartile, zeichnest Boxplots und liest Häufigkeitstabellen.
Du berechnest Spannweite, Varianz und Standardabweichung.

An der Prüfung: Gehört zum Stoff der Mittelschule und kommt in Abschlussprüfungen vor, meist mit Daten aus Tabellen und Diagrammen.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

true

Sieben feste Werte (blau) und dein Wert (dunkel). Orange: Mittelwert, grün: Median.

Mitten in der Gruppe: Mittelwert und Median bleiben nah beisammen.

Achter Wert (CHF)

$Mittelwert$

41,25

$Median$

$Standardabweichung$

12,7

Mitten in der Gruppe: Mittelwert und Median bleiben nah beisammen.
Spannweite: $40$ CHF.

Sieben feste Werte (blau) und dein Wert (dunkel). Orange: Mittelwert, grün: Median.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Schieb den Ausreisser auf $90$ : Der Mittelwert steigt, der Median bleibt.
(offen)
Finde einen Wert, bei dem Mittelwert und Median genau gleich sind.
(offen)
Wie tief kann der Median fallen? Stelle den kleinsten möglichen Median ein.
(offen)

Entdecke:

Schieb den Regler nach rechts: Der Mittelwert läuft hinterher, der Median bleibt fast stehen. Der Median ist robust gegen Ausreisser.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Stichprobe und Merkmal

h_{rel} = \frac{h}{n}

Merkmal		Werte
$Verkehrsmittel$	→	$Velo, Bus, zu Fuss$
$Schulweg in min$	→	$5, 12, 20, \dots$

Grundgesamtheit: alle, über die man etwas wissen will. Stichprobe: die $n$ , die man befragt.
Merkmal: was man erhebt, als Kategorie (Verkehrsmittel) oder als Zahl (Schulweg in Minuten).
Absolute Häufigkeit $h$ : wie oft ein Wert vorkommt. Relative: $h_{rel} = \frac{h}{n}$ .

Grundgesamtheit: alle, über die man etwas wissen will.

MerkeAlle relativen Häufigkeiten zusammen ergeben

1 = 100 %

h_{rel} = \frac{5}{12} \approx 0, 42 = 42 %

Merkmal		Werte
$Verkehrsmittel$	→	$Velo, Bus, zu Fuss$
$Schulweg in min$	→	$5, 12, 20, \dots$

Grundgesamtheit: $48$ Lernende eines Jahrgangs. Stichprobe: $12$ davon.
Merkmal: Verkehrsmittel, mit den Werten Velo, Bus und zu Fuss.
Velo: $h = 5$ , also $h_{rel} = \frac{5}{12} \approx 42 %$ .

$\frac{5}{12} \approx 42 %$ , $\frac{4}{12} \approx 33 %$ , $\frac{3}{12} = 25 %$ : zusammen $100 %$ .

Merke

42 % + 33 % + 25 % = 100 %

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Stichprobe und Merkmal», Schritt 4

2Mittelwert, Median, Modus

x ˉ = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}

Mittelwert $x ˉ$ («x quer»): Summe der $n$ Werte $x_{1}, \dots, x_{n}$ durch $n$ .
Median: mittlerer Wert der geordneten Liste, bei gerader Anzahl Mittel der zwei mittleren.
Modus: der häufigste Wert.

Acht geordnete Werte $x_{1}, \dots, x_{8}$ .

MerkeAusreisser verschieben den Mittelwert, den Median kaum.

x ˉ = \frac{20 + 30 + \dots + 60}{8} = 41, 25

Mittelwert: Summe $330$ durch Anzahl $8$ .
Median: gerade Anzahl, also Mittel der zwei mittleren: $\frac{40 + 50}{2} = 45$ .
Modus: $50$ , der Wert kommt dreimal vor.

Modus: $50$ kommt dreimal vor.

MerkeMit

200

statt

50

: Mittelwert

60

, der Median bleibt

45

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Quartile und Boxplot», Schritt 4

3Quartile und Boxplot

Quartilsabstand = Q_{3} - Q_{1}

Unteres Quartil $Q_{1}$ , oberes $Q_{3}$ : Mediane der unteren und der oberen Hälfte.
Boxplot: Der Kasten enthält die mittleren $50 %$ der Daten.
Faustregel: Ausreisser liegen mehr als $1, 5$ Quartilsabstände ausserhalb des Kastens.

Acht geordnete Werte.

MerkeDer Kasten zeigt die Mitte, die Fühler die Breite der Daten.

Quartilsabstand = 11 - 5 = 6

$Q_{1} = 5$ und $Q_{3} = 11$ sind die Mediane von $2, 4, 6, 7$ und $9, 10, 12, 15$ .
Der Kasten von $5$ bis $11$ enthält die mittleren $4$ der $8$ Werte.
Faustregel: Ausreisser lägen unter $5 - 9 = - 4$ oder über $11 + 9 = 20$ .

Die Fühler reichen bis $2$ und $15$ .

MerkeDer Kasten zeigt die Mitte, die Fühler die Breite der Daten.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Quartile und Boxplot», Schritt 4

4Streuung

σ = \frac{( x _{1} - x ˉ ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ˉ ) ^{2}}{n}

Spannweite: grösster minus kleinster Wert.
Varianz $σ^{2}$ : mittleres Abweichungsquadrat.
Standardabweichung $σ$ : Wurzel daraus, in der Einheit der Daten.

Acht Werte und ihr Mittelwert $x ˉ$ .

MerkeKleines

σ

: Die Werte liegen eng um den Mittelwert.

σ = \frac{( 2 - 5 ) ^{2} + \dots + ( 9 - 5 ) ^{2}}{8} = 2

Spannweite: $9 - 2 = 7$ .
Varianz $σ^{2} = 32 : 8 = 4$ .
Standardabweichung $σ = 4 = 2$ , in der Einheit der Daten.

Standardabweichung $σ = 4 = 2$ .

MerkeKleines

σ

: Die Werte liegen eng um den Mittelwert.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Streuung», Schritt 4

5Häufigkeitstabellen

x ˉ = \frac{x _{1} h _{1} + x _{2} h _{2} + \dots}{n}, h_{rel} = \frac{h}{n}

Wert x		Anzahl h
$x_{1}$	→	$h_{1}$
$x_{2}$	→	$h_{2}$
$x_{3}$	→	$h_{3}$
$x_{4}$	→	$h_{4}$

Summe der Anzahlen $= n$ .
Mittelwert: jeden Wert mit seiner Anzahl multiplizieren.
Relative Häufigkeit $h_{rel} = \frac{h}{n}$ (Anteil). Kreisdiagramm: Winkel $= h_{rel} \cdot 36 0^{\circ}$ .

Zu jedem Wert $x$ die Anzahl $h$ .

MerkeMittelwert aus der Tabelle: Wert mal Anzahl, durch

n

x ˉ = \frac{0 \cdot 3 + 1 \cdot 8 + \dots}{20}, h_{rel} = \frac{8}{20}

Geschwister x		Anzahl h
$0$	→	$3$
$1$	→	$8$
$2$	→	$6$
$3$	→	$3$

Summe der Anzahlen: $3 + 8 + 6 + 3 = 20 = n$ .
Mittelwert: $0 \cdot 3 + 1 \cdot 8 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 3 = 29$ , durch $20$ gibt $1, 45$ .
«1 Geschwister»: $h_{rel} = \frac{8}{20} = 0, 4$ , im Kreisdiagramm $0, 4 \cdot 36 0^{\circ} = 14 4^{\circ}$ .

Der 10. und der 11. Wert sind beide $1$ : Median $1$ , Modus $1$ .

MerkeMittelwert aus der Tabelle: Wert mal Anzahl, durch

n

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Häufigkeitstabellen», Schritt 4

6Klassen und Histogramm

x ˉ \approx \frac{m _{1} h _{1} + m _{2} h _{2} + \dots}{n}

Klasse		Anzahl h
$0 \leq x < 10$	→	$h_{1}$
$10 \leq x < 20$	→	$h_{2}$
$20 \leq x < 30$	→	$h_{3}$
$30 \leq x < 40$	→	$h_{4}$

Viele verschiedene Werte: in Klassen gleicher Breite einteilen, z. B. « $0$ bis unter $10$ ».
Histogramm: je Klasse eine Säule, ohne Lücken. Die Höhe ist die Anzahl $h$ .
Mittelwert schätzen: Jede Klasse zählt mit ihrer Klassenmitte $m$ .

Viele verschiedene Werte: einzeln kaum zu überblicken.

MerkeKlassen gleich breit, Säulen ohne Lücke.

x ˉ \approx \frac{5 \cdot 5 + 15 \cdot 9 + \dots}{20} = 16, 5

Klasse		Anzahl h
$0 \leq x < 10$	→	$5$
$10 \leq x < 20$	→	$9$
$20 \leq x < 30$	→	$4$
$30 \leq x < 40$	→	$2$

$20$ Schulwege von $3$ bis $38$ Minuten: vier Klassen der Breite $10$ .
Histogramm: Säulen der Höhe $5$ , $9$ , $4$ und $2$ , ohne Lücken.
Klassenmitten $5$ , $15$ , $25$ , $35$ : $x ˉ \approx 16, 5$ (genau: $16, 75$ ).

Mit den Klassenmitten: $x ˉ \approx \frac{330}{20} = 16, 5$ min.

MerkeKlassen gleich breit, Säulen ohne Lücke.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Klassen und Histogramm», Schritt 4

Im Alltag

Wo dir das ausserhalb der Schule begegnet.

Löhne

Fünf Monatslöhne in CHF, einer ist ein Ausreisser.

Vier Angestellte verdienen CHF 4000 bis 7000 im Monat, die Chefin CHF 23 000. Der Mittelwert ist 9000, der Median nur 6000: Er zeigt den typischen Lohn besser.

Wartezeit

Acht Wartezeiten in Minuten, geordnet.

Acht Personen warten am Schalter, Zeiten in Minuten. Der Median ist 7, und der Kasten zeigt: Die mittlere Hälfte wartet 4 bis 10 Minuten.

Mehlpackungen

Je fünf Packungen von Maschine A und B, in Gramm.

Zwei Maschinen füllen Mehl ab, im Mittel je 500 g. Bei A ist $σ \approx 4, 2$ g, bei B $σ \approx 14, 1$ g: A füllt viel gleichmässiger ab.

Umfrage

25 Antworten: Velo 10, zu Fuss 8, Bus 5, Auto 2.

25 Lernende geben ihren Schulweg an, 10 kommen mit dem Velo. Im Kreisdiagramm sind das $h_{rel} = \frac{10}{25} = 0, 4$ , also $0, 4 \cdot 36 0^{\circ} = 14 4^{\circ}$ .

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Eine Schule hat $600$ Lernende. $40$ von ihnen werden zufällig gefragt, wie sie zur Schule kommen: Velo $14$ , Bus $18$ , zu Fuss $8$ . Nenne Grundgesamtheit, Stichprobe und Merkmal, bestimme die relativen Häufigkeiten und schätze, wie viele der $600$ Lernenden mit dem Velo kommen.

$40$ Antworten: Velo $14$ , Bus $18$ , zu Fuss $8$ .

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Begriffe
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Relative Häufigkeiten
…
3
Kontrolle
…
4
Hochrechnen
…

Typische Fehler

✗
Den Median ohne Ordnen bestimmen, oder bei gerader Anzahl nur einen der beiden mittleren Werte nehmen.
✗
Bei Häufigkeitstabellen durch die Anzahl Zeilen statt durch $n$ teilen.
✗
Bei der Standardabweichung die Wurzel vergessen: Das ist erst die Varianz $σ^{2}$ .

Prüfungstipp

Schreibe die Daten zuerst geordnet auf. Quartil-Regeln unterscheiden sich je nach Lehrmittel und Taschenrechner: Nimm die aus deinem Unterricht, und achte beim Rechner darauf, ob die Standardabweichung durch $n$ geteilt wird ( $σ$ ) oder durch $n - 1$ (oft $s$ genannt).

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an einer Abschlussprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Hilfsmittel legt deine Schule fest. Üben: Formelsammlung erlaubt, Taschenrechner nur, wo die Aufgabe es sagt.

2 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Tore der Schulmannschaft
Wartezeiten an zwei Skiliften

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Abo.

Gratis-Konto erstellen

Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du berechnest Mittelwert, Median und Modus und wählst das passende Mass.
Du bestimmst Quartile, zeichnest Boxplots und liest Häufigkeitstabellen.
Du berechnest Spannweite, Varianz und Standardabweichung.

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Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Antwort von Ugi innert 2 Schultagen. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

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