Lektion 11

Ungleichungen und lineare Optimierung

Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion, lineare Ungleichungen mit zwei Variablen als Halbebenen, Planungsbereich, Optimum in einer Ecke

MathePrüfungsrelevantca. 45 Min.Adaptiver Trainer

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In 30 Sekunden

Eine Velowerkstatt baut pro Woche $x$ Stadtvelos und $y$ E-Bikes, nie negativ: $x, y \geq 0$ .

Nach dieser Lektion

Du stellst Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion auf und bestimmst die Gewinnschwelle.
Du zeichnest eine Ungleichung mit zwei Variablen als Halbebene und ein Ungleichungssystem als Planungsbereich.
Du findest das Optimum einer Zielfunktion in einer Ecke des Planungsbereichs.

An der Prüfung: Gehört in der Richtung Wirtschaft und Dienstleistungen zum Stoff der BM-Abschlussprüfung: Ungleichungen aufstellen, den Bereich zeichnen und das Optimum grafisch finden.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

true

Grün: alle möglichen Wochenpläne. Grüne Gerade: alle Pläne mit demselben Gewinn $G$ .

Beste Ecke: $(2 ∣ 6)$ , also $2$ Stadtvelos und $6$ E-Bikes mit $G = 1100$ CHF.

Gewinn pro Stadtvelo

a

Gewinn pro E-Bike

b

$Stadtvelos x$

$E-Bikes y$

$gr o ¨ sster Gewinn$

1100CHF

Beste Ecke: $(2 ∣ 6)$ , also $2$ Stadtvelos und $6$ E-Bikes mit $G = 1100$ CHF.

Grün: alle möglichen Wochenpläne. Grüne Gerade: alle Pläne mit demselben Gewinn $G$ .

Aufträge

0 von 3 geschafft

Wähle die Gewinne so, dass $(4 ∣ 4)$ die einzige beste Ecke ist.
(offen)
Wähle die Gewinne so, dass es sich lohnt, nur Stadtvelos zu bauen.
(offen)
Mach zwei Ecken genau gleich gut, und beide sind am besten.
(offen)

Entdecke:

Alle Pläne mit demselben Gewinn liegen auf einer Geraden, und für jeden Gewinn ist sie parallel verschoben. Je höher der Gewinn, desto weiter oben liegt sie. Der letzte Punkt, den sie im grünen Bereich noch berührt, ist fast immer eine Ecke.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Kosten, Erlös, Gewinn

G (x) = E (x) - K (x)

Kostenfunktion $K (x) = K_{f} + k \cdot x$ : Fixkosten $K_{f}$ plus $k$ pro Stück.
Erlösfunktion $E (x) = P \cdot x$ : Verkaufspreis $P$ mal Stückzahl $x$ .
Gewinnschwelle: $E (x) = K (x)$ . Mit mehr Stück gibt es Gewinn.

Kosten: Fixkosten plus Kosten pro Stück.

MerkeGewinnfunktion = Erlös minus Kosten, die Gewinnschwelle ist

E = K

G (x) = 80 x - (2000 + 30 x)

Fixkosten $2000$ CHF, pro Stück $30$ CHF: $K (x) = 2000 + 30 x$ .
Verkaufspreis $80$ CHF: $E (x) = 80 x$ .
$80 x = 2000 + 30 x$ ergibt $x = 40$ . Mit $G (x) = 50 x - 2000$ : bei $80$ Stück $2000$ CHF.

Bei 80 Stück: $G = 50 \cdot 80 - 2000 = 2000$ .

MerkePro Stück bleiben

80 - 30 = 50

CHF, die Fixkosten sind nach

40

Stück gedeckt.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Kosten, Erlös, Gewinn», Schritt 4

2Ungleichung als Halbebene

a x + b y \leq c

Ungleichung		Halbebene
	→	$erster Quadrant$
	→	$unterhalb von y = 6$
	→	$Seite mit (0 ∣ 0)$

Die Gerade $a x + b y = c$ teilt die Ebene in zwei Halbebenen.
Testpunkt einsetzen, oft $(0 ∣ 0)$ : Stimmt die Ungleichung, gehört seine Seite dazu.
Bei $\leq$ und $\geq$ gehört die Gerade selbst auch dazu.

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

Die Grenzgerade $a x + b y = c$ .

Dazu $y \geq 0$ : oberhalb der x-Achse. Zusammen: der erste Quadrant.

Also gehört alles unterhalb der Waagrechten dazu.

Also gehört die Seite mit $(0 ∣ 0)$ dazu, unterhalb der Geraden.

MerkeGrenzgerade zeichnen, Testpunkt einsetzen, richtige Seite färben.

x + y \leq 8

Ungleichung		Halbebene
	→	$erster Quadrant$
	→	$unterhalb von y = 6$
	→	$Seite mit (0 ∣ 0)$

Die Gerade $x + y = 8$ geht durch $(8 ∣ 0)$ und $(0 ∣ 8)$ .
Testpunkt $(0 ∣ 0)$ : $0 + 0 \leq 8$ stimmt, die Seite unten links gehört dazu.
Auch $(4 ∣ 4)$ auf der Geraden gehört dazu: $4 + 4 \leq 8$ .

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

Also gehört die Seite mit $(0 ∣ 0)$ dazu, unterhalb der Geraden.

Dazu $y \geq 0$ : oberhalb der x-Achse. Zusammen: der erste Quadrant.

Also gehört alles unterhalb der Waagrechten dazu.

Also gehört die Seite mit $(0 ∣ 0)$ dazu, unterhalb der Geraden.

Merke

(0 ∣ 0)

erfüllt

x + y \leq 8

: Seite unten links.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Ungleichung als Halbebene», Schritt 4

3Planungsbereich

a_{1} x + b_{1} y a_{2} x + b_{2} y = c_{1} = c_{2}} \Rightarrow Ecke

Die Ungleichungen (Nebenbedingungen) bilden ein Ungleichungssystem. Was alle erfüllt, ist der Planungsbereich.
Seine Ecken sind Schnittpunkte von zwei Grenzgeraden: Gleichungssystem lösen.
Im Sachverhalt sind $x$ und $y$ Stückzahlen, also $x \geq 0$ und $y \geq 0$ .

Drei Grenzgeraden und die beiden Achsen.

MerkeEcken nicht ablesen, sondern mit einem Gleichungssystem berechnen.

x + y = 8, 2 x + y = 12 \Rightarrow (4 ∣ 4)

Velowerkstatt: $2 x + y \leq 12$ , $x + y \leq 8$ , $y \leq 6$ , $x, y \geq 0$ .
Ecke rechts: $2 x + y = 12$ minus $x + y = 8$ ergibt $x = 4$ , dann $y = 4$ .
Ecke oben: $y = 6$ in $x + y = 8$ ergibt $x = 2$ , also $(2 ∣ 6)$ .

Ecken $(0 ∣ 0)$ , $(6 ∣ 0)$ , $(4 ∣ 4)$ , $(2 ∣ 6)$ , $(0 ∣ 6)$ .

MerkeZwei Grenzgeraden, ein Gleichungssystem, eine Ecke.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Ungleichung als Halbebene», Schritt 4

4Optimum in einer Ecke

G = a x + b y

Zielfunktion $G = a x + b y$ : Für jeden Wert von $G$ eine Gerade, alle parallel.
Die Gerade parallel verschieben, bis sie den Bereich gerade noch berührt.
Das Optimum liegt in einer Ecke: alle Ecken einsetzen und vergleichen.

Planungsbereich und eine Gerade mit kleinem Gewinn.

MerkeVerschieben zeigt die Ecke, Einsetzen beweist sie.

G = 100 x + 150 y

Velowerkstatt: $100$ CHF pro Stadtvelo, $150$ CHF pro E-Bike.
Gerade $G = 600$ durch $(6 ∣ 0)$ , dann $900$ und $1100$ weiter oben.
Ecken: $600$ , $1000$ , $1100$ , $900$ . Am besten $(2 ∣ 6)$ .

$G = 1100$ berührt nur noch $(2 ∣ 6)$ : das Maximum.

Merke

2

Stadtvelos und

6

E-Bikes bringen

1100

CHF.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Optimum in einer Ecke», Schritt 4

Im Alltag

Wo dir das ausserhalb der Schule begegnet.

Marktstand

Kosten: 300 Franken Miete plus 3 pro Sandwich.

Ein Sandwich-Stand zahlt CHF 300 Standmiete, jedes Sandwich kostet CHF 3 und wird für CHF 8 verkauft. Ab $300 : 5 = 60$ Sandwiches macht er Gewinn.

Velowerkstatt

Gewinn: 100 Franken pro Stadtvelo, 150 pro E-Bike.

Mit 24 Montagestunden, Platz für 8 Velos und 6 Akkus pro Woche lohnen sich 2 Stadtvelos und 6 E-Bikes. Das bringt $2 \cdot 100 + 6 \cdot 150 = 1100$ Franken Gewinn.

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Eine kleine Druckerei bedruckt T-Shirts. Pro Monat hat sie CHF 1 200 Fixkosten, jedes T-Shirt kostet sie CHF 9. Sie verkauft ein T-Shirt für CHF 25. Stelle die Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion auf. Wo liegt die Gewinnschwelle, wie gross ist der Gewinn bei 200 T-Shirts, und wie viele T-Shirts braucht es für mindestens CHF 3 000 Gewinn?

K (x) = 1200 + 9 x, E (x) = 25 x

Fixkosten 1200, pro Stück 9, Preis 25.

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Funktionen aufstellen
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Gewinnschwelle
…
3
Gewinn bei 200 Stück
…
4
Ungleichung
…

Typische Fehler

✗
Die falsche Seite färben: immer mit einem Testpunkt prüfen, der nicht auf der Grenzgeraden liegt.
✗
Ecken nur ablesen: Schnittpunkte mit einem Gleichungssystem berechnen, sonst stimmt der Gewinn nicht genau.
✗
$x \geq 0$ und $y \geq 0$ vergessen: Negative Stückzahlen gibt es nicht.

Prüfungstipp

Schreib zuerst hin, wofür $x$ und $y$ stehen, und übersetze jeden Satz der Aufgabe in eine Ungleichung. Zum Schluss alle Ecken in die Zielfunktion einsetzen: Das ist die sicherste Kontrolle.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an einer Abschlussprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Hilfsmittel legt deine Schule fest. Üben: Formelsammlung erlaubt, Taschenrechner nur, wo die Aufgabe es sagt.

2 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Zöpfe und Brote
Kosten und Gewinn einer Kaffeebar

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Abo.

Gratis-Konto erstellen

Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du stellst Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion auf und bestimmst die Gewinnschwelle.
Du zeichnest eine Ungleichung mit zwei Variablen als Halbebene und ein Ungleichungssystem als Planungsbereich.
Du findest das Optimum einer Zielfunktion in einer Ecke des Planungsbereichs.

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Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

Du lernst nicht allein. Frag uns direkt: Antwort von Ugi innert 2 Schultagen. Oder stell deine Frage auf die Themenwand der Live-Fragestunde (jeden zweiten Samstag, 10:00 Uhr, auf Zoom).

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