Lektion 13

Ähnlichkeit und Strahlensätze

Ähnliche Figuren und Streckungsfaktor, Flächen mit k² und Volumen mit k³, erster und zweiter Strahlensatz, Schatten, Karten und Modelle, Umkehrung

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In 30 Sekunden

Ein Stab von $1$ m wirft einen Schatten von $1, 5$ m.

Nach dieser Lektion

Du erkennst ähnliche Figuren und bestimmst den Streckungsfaktor $k$ .
Du rechnest Flächen mit $k^{2}$ und Volumen mit $k^{3}$ um.
Du stellst mit den Strahlensätzen Verhältnisgleichungen auf und prüfst mit der Umkehrung, ob Geraden parallel sind.

An der Prüfung: Ähnlichkeit steckt in vielen Geometrie-Aufgaben: Höhen über Schatten bestimmen, Breiten messen, Massstäbe umrechnen.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

true

Blau: ZA = 4 und ZB = 6, violett: AB = 3. Orange: Strecken bis zur Parallelen A'B'.

Lage der Parallelen, Faktor

k

$Z A^{'}$

$Z B^{'}$

$A^{'} B^{'}$

Blau: ZA = 4 und ZB = 6, violett: AB = 3. Orange: Strecken bis zur Parallelen A'B'.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Stelle die Parallele so ein, dass $Z A^{'} = 6$ ist. Wie lang ist dann $Z B^{'}$ ?
(offen)
Mach $A^{'} B^{'}$ halb so lang wie $A B$ .
(offen)
Bring die Parallele auf die andere Seite von $Z$ , so dass $A^{'} B^{'}$ genau so lang ist wie $A B$ .
(offen)

Entdecke:

Verschiebst du die Parallele, wachsen $Z A^{'}$ , $Z B^{'}$ und $A^{'} B^{'}$ im selben Takt: Alle drei sind das $k$ -Fache der blauen bzw. violetten Strecke. Das ist der Kern der Strahlensätze. Ein negatives $k$ heisst: Die Parallele liegt auf der anderen Seite von $Z$ , durch $Z$ gespiegelt, und die Längen sind das $(- k)$ -Fache.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Ähnliche Figuren

k = \frac{Strecke im Bild}{Strecke im Original}

Streckungsfaktor		Bild
	→	$doppelt so lang$
	→	$gleich gross$
	→	$halb so lang$

Ähnlich: gleiche Form und gleiche Winkel, alle Strecken mit demselben Faktor $k$ gestreckt.
$k$ heisst Streckungsfaktor: $k > 1$ vergrössert, $0 < k < 1$ verkleinert.
Zwei Dreiecke sind schon ähnlich, wenn zwei Winkel übereinstimmen.

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

Ein Dreieck, das Original.

$8 : 4 = 10 : 5 = 12 : 6 = 2$

Gleiche Form und Grösse: Man sagt kongruent.

$2 : 4 = 2, 5 : 5 = 3 : 6 = \frac{1}{2}$

MerkeStreckungsfaktor: Bild durch Original, bei allen Strecken gleich.

k = \frac{7 , 5}{3} = 2, 5

Streckungsfaktor		Bild
	→	$doppelt so lang$
	→	$gleich gross$
	→	$halb so lang$

Original: Seiten $3$ , $4$ und $5$ cm. Im Bild ist die kürzeste Seite $7, 5$ cm.
$k = 7, 5 : 3 = 2, 5$ : Das Bild ist vergrössert.
Die anderen Seiten: $4 \cdot 2, 5 = 10$ cm und $5 \cdot 2, 5 = 12, 5$ cm.

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

Die anderen Seiten mal $2, 5$ : $10$ und $12, 5$ cm.

$8 : 4 = 10 : 5 = 12 : 6 = 2$

Gleiche Form und Grösse: Man sagt kongruent.

$2 : 4 = 2, 5 : 5 = 3 : 6 = \frac{1}{2}$

Merke

k

aus einem Paar entsprechender Seiten, dann alle anderen mal

k

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Ähnliche Figuren», Schritt 4

2Flächen und Volumen

A_{Bild} = k^{2} \cdot A, V_{Bild} = k^{3} \cdot V

Grösse		im Bild
	→	$\cdot k$
	→	$\cdot k^{2}$
	→	$\cdot k^{3}$

Längen werden mit $k$ multipliziert, Flächen mit $k^{2}$ , Volumen mit $k^{3}$ .
Doppelte Seite: Im grossen Quadrat haben $2 \cdot 2 = 4$ kleine Platz.
Rückwärts: Flächen im Verhältnis $9 : 1$ heisst $k = 9 = 3$ .

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

Ein Quadrat mit der Seite $1$ .

Zwei alte Strecken passen hinein: Länge mal $2$ .

Vier alte Quadrate passen hinein: Fläche mal $2^{2} = 4$ .

Acht alte Würfel passen hinein: Volumen mal $2^{3} = 8$ .

MerkeFläche:

k^{2}

. Volumen:

k^{3}

. Nie einfach mal

k

A_{Bild} = 3^{2} \cdot 5 cm^{2} = 45 cm^{2}

Grösse		im Bild
	→	$\cdot k$
	→	$\cdot k^{2}$
	→	$\cdot k^{3}$

Mit $k = 3$ : Länge mal $3$ , Fläche mal $3^{2} = 9$ , Volumen mal $3^{3} = 27$ .
Ein Dreieck mit $5$ cm² hat im Bild $9 \cdot 5 = 45$ cm², nicht $15$ cm².
Rückwärts: $45 : 5 = 9$ , also $k = 9 = 3$ .

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

Neun alte Quadrate passen hinein: $3^{2} = 9$ .

Zwei alte Strecken passen hinein: Länge mal $2$ .

Vier alte Quadrate passen hinein: Fläche mal $2^{2} = 4$ .

Acht alte Würfel passen hinein: Volumen mal $2^{3} = 8$ .

MerkeDreifache Länge, neunfache Fläche.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Ähnliche Figuren», Schritt 4

3Erster Strahlensatz

\frac{Z A ^{'}}{Z A} = \frac{Z B ^{'}}{Z B}

auf Strahl 1	auf Strahl 2
	$\frac{Z B ^{'}}{Z B}$
	$\frac{B B ^{'}}{Z B}$
	$\frac{B B ^{'}}{Z B ^{'}}$

Zwei Strahlen aus dem Punkt $Z$ werden von zwei parallelen Geraden geschnitten.
Dann werden beide Strahlen gleich gestreckt: Die Verhältnisse sind gleich.
Auch Teilstücke passen: $\frac{A A ^{'}}{Z A} = \frac{B B ^{'}}{Z B}$ .

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

Zwei Strahlen aus $Z$ , geschnitten von zwei Parallelen.

Auf beiden Strahlen dasselbe Verhältnis.

Auch die Teilstücke stehen im selben Verhältnis.

Beide sind $\frac{1}{3}$ .

MerkeAuf beiden Strahlen dasselbe Verhältnis, in derselben Reihenfolge.

\frac{Z B ^{'}}{6} = \frac{6}{4}, Z B^{'} = 9

auf Strahl 1	auf Strahl 2
	$\frac{Z B ^{'}}{Z B}$
	$\frac{B B ^{'}}{Z B}$
	$\frac{B B ^{'}}{Z B ^{'}}$

$Z A = 4$ und $A A^{'} = 2$ , also $Z A^{'} = 6$ ; dazu $Z B = 6$ .
$\frac{Z B ^{'}}{6} = \frac{6}{4} = 1, 5$ : Also ist $Z B^{'} = 6 \cdot 1, 5 = 9$ .
Teilstück: $\frac{B B ^{'}}{6} = \frac{2}{4}$ , also $B B^{'} = 3$ .

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

Strahl 2 auch: $Z B^{'} = 9$ und $B B^{'} = 3$ .

Auf beiden Strahlen dasselbe Verhältnis.

Auch die Teilstücke stehen im selben Verhältnis.

Beide sind $\frac{1}{3}$ .

MerkeErst das Verhältnis auf dem bekannten Strahl, dann auf den anderen übertragen.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Erster Strahlensatz», Schritt 4

4Zweiter Strahlensatz

\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{Z A ^{'}}{Z A}

Lage von Z		Verhältnis
	→	$\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{Z A ^{'}}{Z A}$
	→	$\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{Z A ^{'}}{Z A}$

Die Parallelen selbst stehen im selben Verhältnis wie die Strecken ab $Z$ .
Nur Strecken ab $Z$ nehmen: $\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} \neq = \frac{A A ^{'}}{Z A}$ .
Liegt $Z$ zwischen den Parallelen, gelten beide Sätze für die zwei Geraden durch $Z$ .

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

Zwei Strahlen aus $Z$ , zwei Parallelen.

Die Parallele auch: $A^{'} B^{'} = 3 \cdot 1, 5 = 4, 5$ .

Die Parallele auch: $A^{'} B^{'} = 3 \cdot \frac{3}{4} = 2, 25$ .

MerkeFür die Parallelen nur Strecken ab

Z

nehmen.

\frac{A ^{'} B ^{'}}{3} = \frac{6}{4}, A^{'} B^{'} = 4, 5

Lage von Z		Verhältnis
	→	$\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{Z A ^{'}}{Z A}$
	→	$\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{Z A ^{'}}{Z A}$

$A B = 3$ , $Z A = 4$ und $Z A^{'} = 6$ : Die Parallele wird mit $1, 5$ gestreckt.
Falsch wäre $\frac{2}{4}$ : Das Teilstück $A A^{'}$ passt nicht zu den Parallelen.
Liegt $Z$ zwischen den Parallelen und ist $Z A^{'} = 3$ : $A^{'} B^{'} = 3 \cdot \frac{3}{4} = 2, 25$ .

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

$A^{'} B^{'} = 3 \cdot 1, 5 = 4, 5$ .

Die Parallele auch: $A^{'} B^{'} = 3 \cdot 1, 5 = 4, 5$ .

Die Parallele auch: $A^{'} B^{'} = 3 \cdot \frac{3}{4} = 2, 25$ .

Merke

A^{'} B^{'} : A B = Z A^{'} : Z A

, nie mit dem Teilstück

A A^{'}

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Erster Strahlensatz», Schritt 4

5Schatten, Karten und Modelle

1 : n : echt = n \cdot Plan

Anwendung		Rechnung
	→	$h = 18 \cdot \frac{1 , 6}{2 , 4} = 12 m$
	→	$4 cm \to 1 km$
	→	$23 cm \to 20 m$

Sonnenstrahlen sind parallel: Höhe und Schatten haben überall dasselbe Verhältnis.
Karte $1 : 25000$ : $1$ cm auf der Karte sind $25000$ cm $= 250$ m.
Modell $1 : n$ : Längen mal $n$ , Flächen mal $n^{2}$ , Volumen mal $n^{3}$ .

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

Kleines Dreieck: Höhe und Schatten einer Person.

$h = 18 \cdot 1, 6 : 2, 4 = 12$ m

$4 \cdot 25000$ cm $= 100000$ cm $= 1$ km

$23 \cdot 87 = 2001$ cm, also etwa $20$ m.

MerkeMassstab

1 : n

: in Wirklichkeit

n

-mal so lang.

h = 10 \cdot \frac{1}{0 , 8} = 12, 5 m

Anwendung		Rechnung
	→	$h = 18 \cdot \frac{1 , 6}{2 , 4} = 12 m$
	→	$4 cm \to 1 km$
	→	$23 cm \to 20 m$

Stab $1$ m, Schatten $0, 8$ m; der Turm wirft $10$ m Schatten: Er ist $12, 5$ m hoch.
Karte $1 : 50000$ : $3$ cm sind $150000$ cm $= 1, 5$ km.
Modell $1 : 87$ : Eine Fläche ist in Wirklichkeit $8 7^{2} = 7569$ -mal so gross.

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

$h = 12, 5$ m

$h = 18 \cdot 1, 6 : 2, 4 = 12$ m

$4 \cdot 25000$ cm $= 100000$ cm $= 1$ km

$23 \cdot 87 = 2001$ cm, also etwa $20$ m.

MerkeGleiches Verhältnis Höhe : Schatten bei Stab und Turm.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Schatten, Karten und Modelle», Schritt 4

6Umkehrung

\frac{Z A ^{'}}{Z A} = \frac{Z B ^{'}}{Z B} \Rightarrow A B ∥ A^{'} B^{'}

Verhältnisse		Folgerung
	→	$parallel$
	→	$nicht parallel$

Stehen die Strecken auf beiden Strahlen im selben Verhältnis, sind $A B$ und $A^{'} B^{'}$ parallel ( $∥$ ).
So prüft man mit Längen, ob zwei Geraden parallel sind, ohne Winkel zu messen.
Mit den Parallelen-Strecken geht das nicht: $\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{Z A ^{'}}{Z A}$ allein beweist nichts.

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

Zwei Strahlen, die Strecken ab $Z$ sind gemessen.

Gleiche Verhältnisse: $A^{'} B^{'}$ ist parallel zu $A B$ .

Verschiedene Verhältnisse: nicht parallel.

MerkeGleiche Verhältnisse ab

Z

heisst parallel.

\frac{6}{4} = 1, 5 = \frac{7 , 5}{5} \Rightarrow A B ∥ A^{'} B^{'}

Verhältnisse		Folgerung
	→	$parallel$
	→	$nicht parallel$

$Z A = 4$ , $Z A^{'} = 6$ ; $Z B = 5$ , $Z B^{'} = 7, 5$ : Beide Verhältnisse sind $1, 5$ , also parallel.
Ein Blick auf die Zeichnung genügt nicht: Gerechnet wird mit den Längen.
Mit $Z B^{'} = 7$ wäre $\frac{7}{5} = 1, 4 \neq = 1, 5$ : nicht parallel.

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

Gleich: $A B$ und $A^{'} B^{'}$ sind parallel.

Gleiche Verhältnisse: $A^{'} B^{'}$ ist parallel zu $A B$ .

Verschiedene Verhältnisse: nicht parallel.

MerkeErst beide Verhältnisse ausrechnen, dann entscheiden.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Umkehrung», Schritt 4

Im Alltag

Wo dir das ausserhalb der Schule begegnet.

Baum messen

Du: $1, 6$ m gross, $2$ m Schatten.

Du bist $1, 6$ m gross und wirfst $2$ m Schatten. Der Baum daneben wirft $15$ m Schatten: Er ist $15 \cdot 1, 6 : 2 = 12$ m hoch.

Wanderkarte

Ein Weg auf der Karte $1 : 25000$ .

Auf der Karte im Massstab $1 : 25000$ ist der Weg $6$ cm lang. In Wirklichkeit sind das $6 \cdot 25000$ cm $= 1, 5$ km.

Modelleisenbahn

Ein echter Wagen ist $26, 5$ m $= 2650$ cm lang.

Eine Modelleisenbahn hat den Massstab $1 : 87$ . Ein Wagen von $26, 5$ m Länge ist im Modell $2650 : 87 \approx 30$ cm lang.

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Seiten $3$ cm, $4$ cm und $5$ cm und die Fläche $6$ cm². Ein ähnliches Dreieck hat die längste Seite $7$ cm. Wie lang sind seine anderen Seiten, und wie gross ist seine Fläche?

Original 3, 4, 5; Bild: l a ¨ ngste Seite 7

Original $3$ , $4$ , $5$ cm; im Bild die längste Seite $7$ cm.

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Streckungsfaktor
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Seiten
…
3
Fläche
…

Typische Fehler

✗
Verhältnis umgedreht: Bild durch Original gibt $k$ , Original durch Bild gibt $\frac{1}{k}$ .
✗
Fläche mit $k$ statt $k^{2}$ umrechnen: Doppelte Länge gibt vierfache Fläche.
✗
Beim zweiten Strahlensatz das Teilstück $A A^{'}$ statt der ganzen Strecke $Z A^{'}$ nehmen.

Prüfungstipp

Zeichne die Figur und markiere Original und Bild in zwei Farben. Schreibe zuerst $k$ als Bruch hin: Jede Länge rechnest du mit $k$ , jede Fläche mit $k^{2}$ , jedes Volumen mit $k^{3}$ .

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an einer Abschlussprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Hilfsmittel legt deine Schule fest. Üben: Formelsammlung erlaubt, Taschenrechner nur, wo die Aufgabe es sagt.

2 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Breite eines Flusses
Modell eines Wasserturms

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Abo.

Gratis-Konto erstellen

Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du erkennst ähnliche Figuren und bestimmst den Streckungsfaktor $k$ .
Du rechnest Flächen mit $k^{2}$ und Volumen mit $k^{3}$ um.
Du stellst mit den Strahlensätzen Verhältnisgleichungen auf und prüfst mit der Umkehrung, ob Geraden parallel sind.

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Schritt 8

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