Lektion 20

Integrale

Stammfunktion, bestimmtes Integral, Flächen zwischen Kurven

MathePrüfungsrelevantca. 50 Min.Adaptiver Trainer

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In 30 Sekunden

Fläche unter der Kurve: erst mit drei groben Rechtecken.

Nach dieser Lektion

Du bildest Stammfunktionen von Polynomen, $e^{x}$ , $\frac{1}{x}$ , $sin$ und $cos$ .
Du berechnest bestimmte Integrale mit dem Hauptsatz.
Du berechnest Flächen zwischen Graph und x-Achse sowie zwischen zwei Graphen.

An der Prüfung: Das Integral berechnet Flächen zwischen Kurven und schliesst oft an eine Kurvendiskussion an.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

true

$f (x) = 0, 5 + 2 sin x$ mit Stammfunktion $F (x) = 0, 5 x - 2 cos x$ ( $F^{'} = f$ ). Das Integral $\int_{a}^{b} f (x) d x$ misst die Fläche von $a$ bis $b$ : über der Achse blau (+), darunter rot (−).

Untere Grenze

a

Obere Grenze

b

Anzahl Streifen

n

$Summe der Streifen S$

5,5748

$Integral I$

5,48

$Unterschied ∣ S - I ∣$

0,0948

Aufträge

0 von 3 geschafft

Bei $a = 0$ , $b = 3$ : Erhöhe $n$ , bis die Summe auf $0, 01$ stimmt.
(offen)
Wähle $a < b$ so, dass das Integral negativ wird.
(offen)
Finde $a < b$ mit Integral null: rote und blaue Fläche gleich gross.
(offen)

Entdecke:

Schieb $b$ links an $a$ vorbei: Die Streifen bleiben dieselben, aber Summe und Integral kippen ins Negative. Warum?

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Stammfunktion

F^{'} (x) = f (x)

Funktion		Stammfunktion
$x^{n} (n \neq = - 1)$	→	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$
$\frac{1}{x}$	→	$ln ∣ x ∣$
$e^{x}$	→	$e^{x}$
$cos x$	→	$sin x$
$sin x$	→	$- cos x$

MerkeProbe:

F

ableiten muss

f

ergeben.

(0, 5 x - 2 cos x)^{'} = 0, 5 + 2 sin x

Funktion		Stammfunktion
$0, 5 = 0, 5 x^{0}$	→	$0, 5 x$
$\frac{2}{x}$	→	$2 ln ∣ x ∣$
$3 e^{x}$	→	$3 e^{x}$
$4 cos x$	→	$4 sin x$
$2 sin x$	→	$- 2 cos x$

MerkeProbe:

F

ableiten muss

f

ergeben.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Stammfunktion», Schritt 4

2Hauptsatz

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

$\int_{a}^{b} f (x) d x$ : das Integral von $f$ zwischen den Grenzen $a$ und $b$ .
$F$ ist irgendeine Stammfunktion von $f$ .
Obere Grenze einsetzen minus untere Grenze einsetzen.

Fläche unter $f$ von $a$ bis $b$

MerkeObere Grenze minus untere Grenze, nicht umgekehrt.

\int_{1}^{3} x^{2} d x = \frac{3 ^{3}}{3} - \frac{1 ^{3}}{3} = \frac{26}{3}

Das Integral von $x^{2}$ zwischen den Grenzen $1$ und $3$ .
$F (x) = \frac{x ^{3}}{3}$ ist eine Stammfunktion von $x^{2}$ .
$F (3) = 9$ minus $F (1) = \frac{1}{3}$ .

$F (3) - F (1) = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$

MerkeObere Grenze minus untere Grenze, nicht umgekehrt.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Hauptsatz», Schritt 4

3Fläche mit der x-Achse

A = \int_{x_{1}}^{x_{2}} f + \int_{x_{2}}^{x_{3}} f

Unter der x-Achse ist das Integral negativ.
Nullstellen suchen, stückweise integrieren, Beträge addieren.

$f$ mit Nullstellen bei $x_{1}$ und $x_{2}$

MerkeNie über eine Nullstelle hinweg integrieren.

A = - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}

$\int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) d x = - \frac{4}{3}$ ist negativ: Dort liegt $f$ unter der Achse.
Nullstellen $0$ und $2$ : von $0$ bis $2$ und von $2$ bis $3$ integrieren.

Integral $= 0$ , aber die Fläche ist $\frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$ .

MerkeNie über eine Nullstelle hinweg integrieren.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Fläche mit der x-Achse», Schritt 4

4Fläche zwischen Graphen

A = \int_{x_{1}}^{x_{2}} (f (x) - g (x)) d x

Schnittstellen $x_{1}, x_{2}$ zuerst berechnen.
Oberer Graph minus unterer Graph.
Mehrere Schnittstellen: stückweise rechnen.

Zwei Graphen $f$ und $g$

MerkeErst skizzieren: Welcher Graph liegt oben?

A = \int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) d x = \frac{4}{3}

Schnittstellen aus $x^{2} = 2 x$ : $x_{1} = 0$ und $x_{2} = 2$ .
Oben liegt $g$ : Bei $x = 1$ ist $2 > 1$ .
Nur zwei Schnittstellen: Ein Stück genügt.

$\int_{0}^{2} (2 x - x^{2}) d x = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$

MerkeErst skizzieren: Welcher Graph liegt oben?

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Fläche zwischen Graphen», Schritt 4

Im Alltag

Wo dir das ausserhalb der Schule begegnet.

Auto fährt an

Tempo nach $t$ Sekunden: $v (t) = 6 t - 0, 3 t^{2}$ .

Ein Auto fährt an, sein Tempo ist $v (t) = 6 t - 0, 3 t^{2}$ (m/s). Der Weg in den ersten 10 Sekunden ist die Fläche darunter: $\int_{0}^{10} v (t) d t = 300 - 100 = 200 m$ .

Regentonne

Zufluss $r (t)$ in Liter pro Minute.

Bei einem Schauer fliessen $r (t) = 6 t - t^{2}$ Liter pro Minute in die Tonne. In 6 Minuten kommen $\int_{0}^{6} (6 t - t^{2}) d t = 108 - 72 = 36$ Liter dazu.

Tunnel

Tunnelbogen $f (x) = 4 - x^{2}$ , der Boden ist die x-Achse.

Ein Tunnel ist unter dem Bogen $f (x) = 4 - x^{2}$ (in m) ausgebrochen. Sein Querschnitt ist $\int_{- 2}^{2} (4 - x^{2}) d x = \frac{32}{3} \approx 10, 7 m^{2}$ .

Gartenbeet

Bogen $f (x) = x^{2}$ und Weg $g (x) = x + 2$ .

Ein Beet liegt zwischen dem geraden Weg $g (x) = x + 2$ und dem Bogen $f (x) = x^{2}$ (in m). Seine Fläche ist $\int_{- 1}^{2} (x + 2 - x^{2}) d x = 4, 5 m^{2}$ .

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f (x) = 6 x^{2} + 2 cos x$ mit $F (0) = 3$ .

f (x)

=

6 x^{2} + 2 c o s x

Gegeben: $f (x) = 6 x^{2} + 2 c o s x$ . Jeder Summand hat seine Farbe.

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Gliedweise integrieren
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Konstante nicht vergessen
…
3
C bestimmen
…
4
Probe
…

Typische Fehler

✗
Über eine Nullstelle hinweg integrieren: Positive und negative Teile heben sich auf.
✗
Die Stammfunktion falsch: $\int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3}$ , nicht $2 x$ .
✗
Bei $F (b) - F (a)$ die Klammer um $F (a)$ vergessen.

Prüfungstipp

Mach vor jedem Flächenintegral eine schnelle Skizze: Liegt die Fläche über oder unter der Achse? Welcher Graph ist oben? Das kostet 30 Sekunden und verhindert die häufigsten Fehler.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an einer Abschlussprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Hilfsmittel legt deine Schule fest. Üben: Formelsammlung erlaubt, Taschenrechner nur, wo die Aufgabe es sagt.

2 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Fläche zwischen zwei Parabeln
Fläche zwischen Hyperbel und Gerade

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Abo.

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Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du bildest Stammfunktionen von Polynomen, $e^{x}$ , $\frac{1}{x}$ , $sin$ und $cos$ .
Du berechnest bestimmte Integrale mit dem Hauptsatz.
Du berechnest Flächen zwischen Graph und x-Achse sowie zwischen zwei Graphen.

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Schritt 8

Hängst du irgendwo fest?

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