Lektion 10

Annuität und Kapitalisierung

Sparplan mit regelmässigen Einzahlungen (Endkapital), Annuität eines Kredits, nach jeder Grösse ausser dem Zinssatz auflösen, Tilgungsplan

MathePrüfungsrelevantca. 45 Min.Adaptiver Trainer

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In 30 Sekunden

Vier Jahre lang zahlst du jeweils Ende Jahr CHF 1000 auf ein Konto mit $5 %$ Zins.

Nach dieser Lektion

Du berechnest das Endkapital eines Sparplans mit gleichen Einzahlungen am Jahresende oder Jahresanfang.
Du löst den Sparplan nach der Einzahlung oder nach der Laufzeit auf.
Du berechnest die Annuität eines Kredits und erstellst einen Tilgungsplan.

An der Prüfung: Gehört in der Richtung Wirtschaft und Dienstleistungen zum Stoff der BM-Abschlussprüfung: Sparplan und Annuität, aufgelöst nach jeder Grösse ausser dem Zinssatz.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

true

Jeder Balken eine Annuität. Blau: Tilgung, der Teil, der die Schuld verkleinert. Orange: Zins.

Der Zins sinkt jedes Jahr, die Tilgung wächst: Die Schuld wird kleiner, also auch der Zins darauf.

Kredit

K_{0}

Zinssatz

p

Laufzeit

n

$Annuit a ¨ t A$

5640,24CHF

$Zahlungen insgesamt$

22 560,95CHF

$Zins insgesamt$

2560,95CHF

Der Zins sinkt jedes Jahr, die Tilgung wächst: Die Schuld wird kleiner, also auch der Zins darauf.

Jeder Balken eine Annuität. Blau: Tilgung, der Teil, der die Schuld verkleinert. Orange: Zins.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Kredit CHF $30000$ zu $4 %$ : Finde die kürzeste Laufzeit, bei der die Annuität unter CHF $4000$ liegt.
(offen)
Finde eine Einstellung, bei der der Zins insgesamt mehr als die Hälfte des Kredits ausmacht.
(offen)
Finde eine Einstellung, bei der im ersten Jahr mehr Zins als Tilgung bezahlt wird.
(offen)

Entdecke:

Die Annuität ist jedes Jahr gleich hoch. Weil die Schuld sinkt, wird der Zinsanteil kleiner und der Teil, der die Schuld verkleinert, grösser. Eine längere Laufzeit macht die Annuität kleiner, kostet aber mehr Zins.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Sparplan: Endkapital

K_{n} = E \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}

Einzahlung		Endkapital nach n Jahren
	→	$E \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$
	→	$E \cdot q \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$

$E$ : gleiche Einzahlung jedes Jahr, $n$ Einzahlungen, Zinsfaktor $q$ .
Am Jahresende eingezahlt (nachschüssig): Die letzte Einzahlung bringt keinen Zins mehr.
Die Endwerte bilden eine geometrische Reihe, darum die Summenformel.

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

Drei Einzahlungen zu $E$ am Jahresende.

Zusammen: $1210 + 1100 + 1000 = 3310$ .

Zusammen: $3310 \cdot 1, 1 = 3641$ .

MerkeAm Jahresanfang eingezahlt: alles noch einmal mal

q

K_{3} = 2000 \cdot \frac{1 , 03 ^{3} - 1}{0 , 03} = 6181, 80

Einzahlung		Endkapital nach 3 Jahren
$Ende Jahr$	→	$6181, 80$
$Anfang Jahr$	→	$6181, 80 \cdot 1, 03 \approx 6367, 25$

$E = 2000$ CHF, $3$ Einzahlungen, Zinsfaktor $q = 1, 03$ .
Ende Jahr eingezahlt: $2121, 80 + 2060 + 2000 = 6181, 80$ .
Das ist die geometrische Reihe mit $a_{1} = 2000$ und $q = 1, 03$ .

Summe: $6181, 80$ Franken.

Merke

2000

pro Jahr,

3

Jahre:

6181, 80

Franken.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Sparplan: Endkapital», Schritt 4

2Einzahlung oder Laufzeit gesucht

E = K_{n} \cdot \frac{q - 1}{q ^{n} - 1}

gesucht		Formel
$E$	→	$K_{n} \cdot \frac{q - 1}{q ^{n} - 1}$
$n$	→	$ln (\frac{K _{n} ( q - 1 )}{E} + 1) : ln q$

Für $E$ : durch den Bruch $\frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ teilen.
Für $n$ : zuerst $q^{n}$ allein stellen, dann logarithmieren und aufrunden.
Den Zinssatz kann man so nicht auflösen: Er kommt nur durch Probieren.

Kontostand nach jeder Einzahlung $E$ .

Merke

n

gesucht:

q^{n}

allein stellen, logarithmieren, aufrunden.

E = 40000 \cdot \frac{0 , 025}{1 , 025 ^{12} - 1} \approx 2899, 49

gesucht		Beispiel
$E$	→	$40000 \cdot \frac{0 , 025}{1 , 025 ^{12} - 1} \approx 2899, 49$
$n$	→	$ln (\frac{1 000}{3 000} + 1) : ln 1, 025 \approx 11, 65$

Für $40000$ CHF in $12$ Jahren bei $2, 5 %$ : $E \approx 2899, 49$ CHF pro Jahr.
Mit $3000$ pro Jahr: $1, 025^{n} = \frac{40 000 \cdot 0 , 025}{3 000} + 1$ , also $n \approx 11, 65$ .
Aufgerundet $12$ Einzahlungen: $37450, 40$ reicht nicht, $41386, 66$ schon.

Nach 11 Einzahlungen $37450, 40$ , nach 12 Einzahlungen $41386, 66$ .

Merke

11, 65

Einzahlungen gibt es nicht: Es braucht

12

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Einzahlung oder Laufzeit gesucht», Schritt 4

3Annuität

A = K_{0} \cdot \frac{q ^{n} ( q - 1 )}{q ^{n} - 1}

gesucht		Formel
$A$	→	$K_{0} \cdot \frac{q ^{n} ( q - 1 )}{q ^{n} - 1}$
$K_{0}$	→	$A \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q ^{n} ( q - 1 )}$
$n$	→	$- ln (1 - \frac{K _{0} ( q - 1 )}{A}) : ln q$

Annuität $A$ : gleich hohe Zahlung pro Jahr, die einen Kredit $K_{0}$ samt Zins zurückzahlt.
Idee: Nach $n$ Jahren ist die verzinste Schuld $K_{0} q^{n}$ gleich dem Sparplan der Annuitäten.
Auflösen nach $A$ , $K_{0}$ oder $n$ , nicht nach dem Zinssatz.

Die Schuld $K_{0}$ wächst mit Zins: $K_{0} \cdot q^{k}$ .

MerkeSchuld mit Zins gleich Sparplan der Annuitäten: daraus kommt die Formel.

A = 20000 \cdot \frac{1 , 05 ^{4} \cdot 0 , 05}{1 , 05 ^{4} - 1} \approx 5640, 24

gesucht		Beispiel
$A$	→	$20000 \cdot \frac{1 , 05 ^{4} \cdot 0 , 05}{1 , 05 ^{4} - 1} \approx 5640, 24$
$K_{0}$	→	$5640, 24 \cdot \frac{1 , 05 ^{4} - 1}{1 , 05 ^{4} \cdot 0 , 05} \approx 20000$
$n$	→	$- ln (1 - \frac{1 000}{5 640 , 24}) : ln 1, 05 \approx 4$

Kredit $K_{0} = 20000$ CHF zu $5 %$ , in $4$ Jahren zurück: $A \approx 5640, 24$ CHF.
Verzinste Schuld $20000 \cdot 1, 05^{4} \approx 24310, 13$ , ebenso viel bringen die vier Annuitäten.
Bezahlt werden $4 \cdot 5640, 24 = 22560, 96$ CHF, davon $2560, 96$ CHF Zins.

Nach 4 Jahren beide $24310, 13$ : Die Schuld ist bezahlt.

MerkeGleich hohe Zahlungen von

5640, 24

CHF tilgen

20000

4

Jahren.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Annuität», Schritt 4

4Tilgungsplan

A = Z + T

pro Jahr		Rechnung
$Zins Z$	→	$Restschuld \cdot \frac{p}{100}$
$Tilgung T$	→	$A - Z$
$neue Restschuld$	→	$Restschuld - T$

Zins $Z$ : Restschuld mal $\frac{p}{100}$ . Er wird jedes Jahr kleiner.
Tilgung $T$ : der Teil der Annuität, der die Schuld verkleinert, $T = A - Z$ .
Neue Restschuld: alte Restschuld minus $T$ . Nach $n$ Jahren ist sie $0$ .

Jedes Jahr dieselbe Annuität: Zins oben, Tilgung unten.

MerkeZins immer auf die Restschuld, nicht auf den ganzen Kredit.

5640, 24 = 1000 + 4640, 24

pro Jahr		Rechnung
$Zins Z$	→	$Restschuld \cdot \frac{p}{100}$
$Tilgung T$	→	$A - Z$
$neue Restschuld$	→	$Restschuld - T$

Jahr 1: Zins $Z = 20000 \cdot 0, 05 = 1000$ CHF.
Tilgung $T = 5640, 24 - 1000 = 4640, 24$ CHF verkleinert die Schuld.
Neue Restschuld $20000 - 4640, 24 = 15359, 76$ CHF für Jahr 2.

Jahr 4: Rest $0$ . Die letzte Annuität ist wegen Rundung $5640, 23$ .

MerkeDie Tilgung wächst jedes Jahr mit dem Faktor

q

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Tilgungsplan», Schritt 4

Im Alltag

Wo dir das ausserhalb der Schule begegnet.

Sparziel Velo

Jahr 1: CHF 600 kommen ins Sparschwein, dann aufs Konto.

Du legst drei Jahre lang jeweils Ende Jahr CHF 600 auf ein Sparkonto mit $1 %$ Zins. Danach hast du $600 \cdot \frac{1 , 0 1 ^{3} - 1}{0 , 01} = 1818, 06$ Franken.

Kleinkredit

Die Bank leiht CHF 10 000 zu $6 %$ (angenommen).

Ein Kredit über CHF 10 000 zu $6 %$ (angenommen) wird in drei Jahren zurückbezahlt. Die Annuität beträgt $10000 \cdot \frac{1 , 0 6 ^{3} \cdot 0 , 06}{1 , 0 6 ^{3} - 1} \approx 3741, 10$ Franken pro Jahr.

Hypothek

Die Bank leiht CHF 300 000 für das Haus, $2 %$ (angenommen).

Für ein Haus leiht die Bank CHF 300 000 zu $2 %$ (angenommen). Mit 25 gleichen Jahreszahlungen sind es je $15366, 13$ Franken.

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Für ihr Patenkind zahlt Gotte Sara 18 Jahre lang jeweils am Jahresende CHF 1 500 auf ein Konto mit $1, 5 %$ Zins ein. Wie viel ist direkt nach der letzten Einzahlung auf dem Konto, und wie viel davon ist Zins? Wie viel wäre es, wenn sie jeweils am Jahresanfang einzahlt?

E = 1500, q = 1, 015, n = 18

18 Einzahlungen zu CHF 1500, $1, 5 %$ Zins.

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Sparplan am Jahresende
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Zinsanteil
…
3
Am Jahresanfang
…

Typische Fehler

✗
Beim Sparplan nur $n \cdot E$ rechnen: Das sind die Einzahlungen ohne Zins.
✗
Jahresanfang und Jahresende verwechseln: Am Jahresanfang eingezahlt gibt es noch einmal den Faktor $q$ .
✗
Im Tilgungsplan den Zins immer auf den ganzen Kredit rechnen: Er gilt nur für die Restschuld.

Prüfungstipp

Zeichne einen Zeitstrahl mit allen Zahlungen. Dann siehst du, ob am Jahresende oder Jahresanfang gezahlt wird und wie viele Zahlungen es sind. Erst danach in die Formel einsetzen.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an einer Abschlussprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Hilfsmittel legt deine Schule fest. Üben: Formelsammlung erlaubt, Taschenrechner nur, wo die Aufgabe es sagt.

2 Aufgaben auf Prüfungsniveau

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Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Abo.

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Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du berechnest das Endkapital eines Sparplans mit gleichen Einzahlungen am Jahresende oder Jahresanfang.
Du löst den Sparplan nach der Einzahlung oder nach der Laufzeit auf.
Du berechnest die Annuität eines Kredits und erstellst einen Tilgungsplan.

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Schritt 8

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