Wahrscheinlichkeit

Baumdiagramm, Kombinatorik, bedingte Wahrscheinlichkeit, Binomialverteilung

Sehr prüfungsrelevantca. 60 Min.Adaptiver Trainer

Auf einen Blick

Jeder Wurf ist ein Ast, an dem seine Wahrscheinlichkeit steht.

Nach dieser Lektion

✓
Du modellierst mehrstufige Experimente mit Baumdiagrammen.
✓
Du rechnest «mindestens einmal» über das Gegenereignis.
✓
Du arbeitest mit Vierfeldertafeln, bedingter Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit.

An der Prüfung: In jeder Passerelle-Prüfung ist eine ganze Aufgabe Wahrscheinlichkeit, meist 10 bis 14 von 40 Punkten.

Schritt 2

Entdecken

Spiel zuerst. Formeln ergeben mehr Sinn, wenn du schon gesehen hast, was sie tun.

P = 1 - (1 - \frac{1}{6})^{3} = 42, 1 %

Chance pro Versuch: 1 von

k

6Anzahl Versuche

n

$p$

16,7%

$P (nie)$

57,9%

$P (mindestens einmal)$

42,1%

Noch unter $50 %$ : Die ersten Versuche bringen am meisten.

Aufträge

0 von 3 geschafft

Würfel ( $k = 6$ ): Ab welchem $n$ ist eine Sechs wahrscheinlicher als nicht? Stelle das kleinste $n$ ein.
(offen)
Würfel ( $k = 6$ ): Wie oft musst du würfeln für mehr als 90 % Chance auf eine Sechs?
(offen)
Münze ( $k = 2$ ): Kleinstes $n$ für mehr als 95 % Chance auf Kopf?
(offen)

Entdecke:

«Mindestens einmal» rechnest du über das Gegenereignis: $1 - (1 - p)^{n}$ . Warum steigt die Kurve erst steil und dann flach?

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Pfadregeln

Entlang eines Pfads wird multipliziert.
Mehrere Pfade zum Ziel werden addiert.
Ohne Zurücklegen ändern sich die Brüche in Stufe 2.

Zwei Kugeln ohne Zurücklegen: 2 rot, 3 blau.

MerkePfad: mal. Pfade: plus.

2Gegenereignis

P (\geq 1 Treffer) = 1 - (1 - p)^{n}

«Nie» ist leichter zu berechnen als «mindestens einmal».

Drei Würfe: alle Möglichkeiten zusammen sind $100 %$ .

MerkeMindestens einmal = 1 minus nie.

3Binomialformel

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

$n$ Versuche, jeder mit Trefferchance $p$ .
$(k n)$ zählt die Pfade mit genau $k$ Treffern.

5 Münzwürfe: Wie oft Kopf? Jeder Balken ist ein Wert von $k$ .

MerkeGleiches

p

, unabhängige Versuche.

4Bedingte Wahrscheinlichkeit

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

Wie wahrscheinlich ist $A$ , wenn $B$ schon sicher ist?
Unabhängig: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ .

Vierfeldertafel: alle Wahrscheinlichkeiten auf einen Blick.

MerkeDie Grundmenge ist

B

, nicht alles.

Schritt 4

Musterbeispiel

Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

In einer Urne liegen 4 rote und 6 blaue Kugeln. Du ziehst zwei Kugeln ohne Zurücklegen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass (a) beide rot sind, (b) sie verschiedenfarbig sind, (c) mindestens eine rot ist?

Urne: 4 rot, 6 blau. Zwei Züge ohne Zurücklegen.

Wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Baumdiagramm
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
(a) beide rot
…
3
(b) verschiedenfarbig
…
4
(c) mindestens eine rot
…

Typische Fehler

✗
Wahrscheinlichkeiten von Versuchen addieren statt das Gegenereignis zu nutzen.
✗
Bei «verschiedenfarbig» nur einen der beiden Pfade zählen.
✗
Bei bedingter Wahrscheinlichkeit durch die falsche Grundmenge teilen.

Prüfungstipp

Schreib bei jeder Teilaufgabe das Ereignis in Worten auf, bevor du rechnest («Ereignis E: mindestens eine 6»). Das bringt Klarheit und zeigt dem Korrektor deinen Lösungsweg.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie in der Passerelle. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

2 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Glücksrad
Medizinischer Test (bedingte Wahrscheinlichkeit)

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Abo.

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Danach: echte Prüfungen im Prüfungsarchiv.

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du modellierst mehrstufige Experimente mit Baumdiagrammen.
Du rechnest «mindestens einmal» über das Gegenereignis.
Du arbeitest mit Vierfeldertafeln, bedingter Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit.

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