Lektion 01

Terme, Potenzen und Wurzeln

Ausmultiplizieren und Ausklammern, binomische Formeln, Potenzgesetze, Wurzeln als Potenzen, Wurzeln vereinfachen, Nenner rational machen, Bruchterme mit Definitionsbereich

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In 30 Sekunden

Ein Quadrat mit der Seite $x + 3$ . Wie gross ist seine Fläche?

Nach dieser Lektion

Du multiplizierst aus, klammerst aus und nutzt die binomischen Formeln.
Du rechnest mit den Potenzgesetzen, auch mit negativen Exponenten und Brüchen als Exponenten.
Du vereinfachst Wurzeln, machst Nenner rational und gibst bei Bruchtermen den Definitionsbereich an.

An der Prüfung: Handwerk für fast jede Aufgabe: Terme, Potenzen und Wurzeln stecken in vielen Teilaufgaben, oft ohne Taschenrechner.

Schritt 2

Entdecken

Verschieb die Regler und löse die Aufträge. Achte darauf, was sich im Bild ändert; die Formel zeigt dir, warum.

true

Rechteck mit den Seiten a und b + c: links a · b (blau), rechts a · c (orange).

Seite

a

Seite

b

Seite

c

$blau a \cdot b$

$orange a \cdot c$

$ganzes Rechteck$

Rechteck mit den Seiten a und b + c: links a · b (blau), rechts a · c (orange).

Aufträge

0 von 3 geschafft

Mach die orange Fläche genau doppelt so gross wie die blaue.
(offen)
Ausklammern rückwärts: Blau ist $12$ gross, orange $8$ . Stell es mit der grösstmöglichen gemeinsamen Seite $a$ ein.
(offen)
Das ganze Rechteck soll $30$ gross sein, die blaue Fläche $18$ .
(offen)

Entdecke:

Die Fläche des Rechtecks lässt sich auf zwei Arten rechnen: als $a \cdot (b + c)$ oder als Summe der Teile $a \cdot b + a \cdot c$ . Das ist das Ausmultiplizieren. Von rechts nach links gelesen klammerst du $a$ aus.

Schritt 3

Verstehen

Das Wichtigste auf einen Blick.

1Ausmultiplizieren und Ausklammern

a \cdot (b + c) = a b + a c

Term		umgeformt
	→	$3 x + 12$
	→	$3 x (2 x + 3)$
	→	$x^{2} + 7 x + 10$

Ausmultiplizieren: Jeder Summand in der Klammer wird mit $a$ multipliziert.
Ausklammern ist der Weg zurück: Der gemeinsame Faktor kommt vor die Klammer.
Ein Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen: $- (x - 5) = - x + 5$ .

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

Ein Rechteck mit den Seiten $a$ und $b + c$ .

Ganze Fläche: $3 (x + 4) = 3 x + 12$ .

Restseiten $2 x$ und $3$ : $6 x^{2} + 9 x = 3 x (2 x + 3)$ .

Zusammengefasst: $x^{2} + 7 x + 10$ .

MerkeAusmultiplizieren: jeder Summand einzeln. Ausklammern: den gemeinsamen Faktor nach vorn.

4 \cdot (x + 3) = 4 x + 12

Term		umgeformt
	→	$3 x + 12$
	→	$3 x (2 x + 3)$
	→	$x^{2} + 7 x + 10$

Jeder Summand mal $4$ : $4 \cdot x$ und $4 \cdot 3 = 12$ .
Zurück: In $4 x + 12$ steckt der Faktor $4$ , also $4 (x + 3)$ .
$- (2 x - 7) = - 2 x + 7$ : Beide Vorzeichen drehen.

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

$4 (x + 3) = 4 x + 12$

Ganze Fläche: $3 (x + 4) = 3 x + 12$ .

Restseiten $2 x$ und $3$ : $6 x^{2} + 9 x = 3 x (2 x + 3)$ .

Zusammengefasst: $x^{2} + 7 x + 10$ .

MerkeProbe fürs Ausklammern: wieder ausmultiplizieren.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Binomische Formeln», Schritt 4

2Binomische Formeln

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Formel		ausmultipliziert
	→	$a^{2} + 2 a b + b^{2}$
	→	$a^{2} - 2 a b + b^{2}$
	→	$a^{2} - b^{2}$

Der Mittelteil $2 a b$ fehlt nie: $(a + b)^{2} \neq = a^{2} + b^{2}$ .
Bei $(a - b)^{2}$ ist nur der Mittelteil negativ.
Von rechts nach links gelesen zerlegen sie einen Term in Faktoren.

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

Quadrat mit der Seite $a + b$ .

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$

Ecke einmal zurück: $a^{2} - 2 ab + b^{2}$ .

Rechteck mit den Seiten $a + b$ und $a - b$ .

MerkeQuadrat einer Summe: drei Teile, der Mittelteil doppelt.

(2 x + 5)^{2} = 4 x^{2} + 20 x + 25

Formel		ausmultipliziert
	→	$a^{2} + 2 a b + b^{2}$
	→	$a^{2} - 2 a b + b^{2}$
	→	$a^{2} - b^{2}$

Mittelteil: $2 \cdot 2 x \cdot 5 = 20 x$ . Ohne ihn fehlt etwas.
$(x - 6)^{2} = x^{2} - 12 x + 36$ : Nur $- 12 x$ ist negativ.
Rückwärts: $x^{2} - 49 = (x + 7) (x - 7)$ .

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

$4 x^{2} + 20 x + 25$

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$

Ecke einmal zurück: $a^{2} - 2 ab + b^{2}$ .

Rechteck mit den Seiten $a + b$ und $a - b$ .

Merke

2 \cdot 2 x \cdot 5

: den Faktor

2

nicht vergessen.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Binomische Formeln», Schritt 4

3Potenzgesetze

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

Term		vereinfacht
	→	$a^{m + n}$
	→	$a^{m - n}$
	→	$a^{m \cdot n}$
	→	$(a b)^{n}$

Eine Potenz $a^{n}$ ist ein Produkt aus $n$ gleichen Faktoren $a$ : $a$ heisst Basis, $n$ Exponent.
Gleiche Basis: beim Multiplizieren Exponenten addieren, beim Dividieren subtrahieren.
Potenz einer Potenz: Exponenten multiplizieren.

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

$a^{3}$ hat drei Faktoren $a$ , $a^{2}$ zwei.

$a^{3} \cdot a^{2} = a^{3 + 2} = a^{5}$

Drei bleiben: $a^{5} : a^{2} = a^{5 - 2} = a^{3}$ .

$(a^{2})^{3} = a^{2 \cdot 3} = a^{6}$

$a^{3} \cdot b^{3} = (ab)^{3}$

MerkeMal: Exponenten plus. Potenz einer Potenz: Exponenten mal.

x^{5} \cdot x^{3} = x^{8}

Term		vereinfacht
$x^{5} \cdot x^{3}$	→	$x^{8}$
$x^{7} : x^{3}$	→	$x^{4}$
$(x^{4})^{3}$	→	$x^{12}$
$2^{3} \cdot 5^{3}$	→	$(2 \cdot 5)^{3} = 1000$

In $2^{5}$ ist $2$ die Basis und $5$ der Exponent: $2^{5} = 32$ .
$x^{7} : x^{3} = x^{4}$ , denn $7 - 3 = 4$ .
$(x^{4})^{3} = x^{12}$ , aber $x^{4} \cdot x^{3} = x^{7}$ .

$a^{3} \cdot a^{2} = a^{3 + 2} = a^{5}$

Merke

x^{4} \cdot x^{3} = x^{7}

, aber

(x^{4})^{3} = x^{12}

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Potenzgesetze», Schritt 4

4Null und negative Exponenten

a^{0} = 1, a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

Potenz		Wert
$2^{0}$	→	$1$
$2^{- 3}$	→	$\frac{1}{8} = 0, 125$
$1 0^{- 3}$	→	$\frac{1}{1000} = 0, 001$

Exponent eins kleiner heisst: durch $a$ teilen. So entstehen $a^{0}$ und $a^{- 1}$ .
Ein negativer Exponent gibt den Kehrwert, keine negative Zahl: $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ .
Das gilt für $a \neq = 0$ , und die Potenzgesetze bleiben gültig.

2³8

2²4

2¹2

Jeder Exponent eins kleiner: durch $2$ .

MerkeNegativer Exponent: Kehrwert. Exponent null:

1

5^{- 2} = \frac{1}{5 ^{2}} = \frac{1}{25} = 0, 04

Potenz		Wert
$2^{0}$	→	$1$
$2^{- 3}$	→	$\frac{1}{8} = 0, 125$
$1 0^{- 3}$	→	$\frac{1}{1000} = 0, 001$

$5^{1} = 5$ , durch $5$ gibt $5^{0} = 1$ , nochmals gibt $5^{- 1} = \frac{1}{5}$ .
$5^{- 2} = \frac{1}{25} = 0, 04$ , nicht $- 25$ .
$x^{- 3} \cdot x^{5} = x^{2}$ : Die Gesetze gelten weiter.

5²25

5¹5

5⁰1

5⁻¹0,2

5⁻²0,04

$5^{- 1} = 0, 2$ und $5^{- 2} = 0, 04$ .

Merke

5^{- 2}

ist klein und positiv:

0, 04

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Potenzgesetze», Schritt 4

5Wurzeln als Potenzen

n a = a^{\frac{1}{n}}, n a^{m} = a^{\frac{m}{n}} (a > 0)

Wurzel	Potenz
$a$	$a^{\frac{1}{2}}$
$3 a$	$a^{\frac{1}{3}}$
$3 a^{2}$	$a^{\frac{2}{3}}$

$n a$ ( $n$ heisst Wurzelexponent) ist für $a \geq 0$ die Zahl $\geq 0$ , die hoch $n$ genau $a$ gibt.
Negative Zahlen: $- 4$ ist nicht definiert; $3 - 8 = - 2$ gibt es nur bei ungeradem Wurzelexponenten.
Brüche im Exponenten nur für $a > 0$ : Dann gelten alle Potenzgesetze, denn $(a^{\frac{1}{n}})^{n} = a$ .

Ein Quadrat mit der Fläche $a$ .

MerkeWurzel als Potenz: Der Wurzelexponent kommt in den Nenner.

9 = 9^{\frac{1}{2}} = 3

Wurzel	Potenz
$a$	$a^{\frac{1}{2}}$
$3 a$	$a^{\frac{1}{3}}$
$3 a^{2}$	$a^{\frac{2}{3}}$

$3 \cdot 3 = 9$ , also $9 = 3$ ; ebenso $38 = 8^{\frac{1}{3}} = 2$ .
$3 - 27 = - 3$ , denn $(- 3)^{3} = - 27$ ; aber $- 9$ gibt es nicht.
$8^{\frac{2}{3}} = (38)^{2} = 2^{2} = 4$ .

$9^{\frac{1}{2}} \cdot 9^{\frac{1}{2}} = 9$ , also $9^{\frac{1}{2}} = 3$ .

Merke

9 = 9^{\frac{1}{2}} = 3

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Wurzeln als Potenzen», Schritt 4

6Wurzelgesetze

a \cdot b = a \cdot b (a, b \geq 0)

Term		vereinfacht
$50$	→	$25 \cdot 2 = 52$
$12 \cdot 3$	→	$36 = 6$
$18 + 8$	→	$32 + 22 = 52$

Ebenso $\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ ; beide Gesetze nur für $a \geq 0$ , $b \geq 0$ (im Nenner $b > 0$ ).
Teilweise Wurzel ziehen (teilweise radizieren): die grösste Quadratzahl abspalten.
Für Summen gibt es kein Gesetz: $9 + 16 = 5$ , nicht $3 + 4$ .

72

Gesucht: $72$ ohne Taschenrechner.

MerkeWurzeln von Produkten trennen, von Summen nie.

9 \cdot 5 = 35

Term		vereinfacht
$50$	→	$25 \cdot 2 = 52$
$12 \cdot 3$	→	$36 = 6$
$18 + 8$	→	$32 + 22 = 52$

$\frac{49}{4} = \frac{49}{4} = \frac{7}{2}$ .
$48 = 16 \cdot 3 = 43$ , mit der grössten Quadratzahl $16$ .
$36 + 64 = 100 = 10$ , nicht $6 + 8 = 14$ .

45

=

9 \cdot 5

=

9 \cdot 5

=

35

$9 = 3$ : Es bleibt $35$ .

Merke

48 = 43

: die grösste Quadratzahl zuerst.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Wurzelgesetze», Schritt 4

7Nenner rational machen

\frac{a}{b} = \frac{a \cdot b}{b \cdot b} = \frac{a b}{b}

Bruch		ohne Wurzel im Nenner
$\frac{6}{3}$	→	$\frac{6 3}{3} = 23$
$\frac{1}{2}$	→	$\frac{2}{2}$
$\frac{4}{5 + 1}$	→	$\frac{4 ( 5 - 1 )}{5 - 1} = 5 - 1$

Rational machen heisst: Im Nenner steht danach keine Wurzel mehr.
Erweitern mit $b$ , denn $b \cdot b = b$ . Der Wert bleibt gleich.
Steht $b + c$ im Nenner: mit $b - c$ erweitern (3. binomische Formel).

\frac{6}{3}

Im Nenner steht $3$ .

MerkeMit der Wurzel aus dem Nenner erweitern.

\frac{10}{5} = \frac{10 5}{5} = 25

Bruch		ohne Wurzel im Nenner
$\frac{6}{3}$	→	$\frac{6 3}{3} = 23$
$\frac{1}{2}$	→	$\frac{2}{2}$
$\frac{4}{5 + 1}$	→	$\frac{4 ( 5 - 1 )}{5 - 1} = 5 - 1$

Im Nenner steht $5$ : Das soll weg.
Mal $\frac{5}{5}$ : Im Nenner steht dann $5 \cdot 5 = 5$ .
$\frac{2}{3 - 1}$ : mit $3 + 1$ erweitern, Nenner $3 - 1 = 2$ , Ergebnis $3 + 1$ .

\frac{10}{5}

=

\frac{10 \cdot 5}{5 \cdot 5}

=

\frac{10 5}{5}

=

25

Kürzen: $25$ .

MerkeProbe:

\frac{10}{5} \approx 4, 47

und

25 \approx 4, 47

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Wurzelgesetze», Schritt 4

8Bruchterme und Definitionsbereich

\frac{x - 3}{x ( x + 2 )} : x \neq = 0, x \neq = - 2

Bruchterm		Definitionsbereich
	→	$R ∖ {4}$
	→	$R ∖ {- 3; 3}$
	→	$R ∖ {- 5; 0}$

Ein Nenner darf nie $0$ sein: Für jeden Faktor im Nenner fällt eine Zahl weg.
Definitionsbereich $D$ : alle reellen Zahlen ( $R$ ) ohne diese, hier $D = R ∖ {0; - 2}$ .
Kürzen darf man nur gemeinsame Faktoren: zuerst Zähler und Nenner in Faktoren zerlegen.

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

Nenner $x (x + 2)$ .

$D = R ∖ {4}$

$D = R ∖ {- 3; 3}$

$D = R ∖ {- 5; 0}$

MerkeZuerst

D

bestimmen, dann kürzen.

\frac{x ^{2} - 16}{x ( x + 4 )} = \frac{x - 4}{x}

Bruchterm		Definitionsbereich
	→	$R ∖ {4}$
	→	$R ∖ {- 3; 3}$
	→	$R ∖ {- 5; 0}$

Nenner $0$ für $x = 0$ oder $x = - 4$ : Diese Zahlen fallen weg.
$D = R ∖ {- 4; 0}$ .
Zähler $x^{2} - 16 = (x + 4) (x - 4)$ : Der Faktor $x + 4$ kürzt sich weg.

Wähle eine Zeile: Das Bild zeigt dann diesen Fall.

$D = R ∖ {- 4; 0}$

$D = R ∖ {4}$

$D = R ∖ {- 3; 3}$

$D = R ∖ {- 5; 0}$

MerkeAuch nach dem Kürzen bleibt

x = - 4

verboten.

Jetzt anwenden: Musterbeispiel «Bruchterme und Definitionsbereich», Schritt 4

Im Alltag

Wo dir das ausserhalb der Schule begegnet.

A4-Papier

A4: $21$ cm breit, $29, 7$ cm lang.

Ein A4-Blatt ist $21$ cm breit und $2$ -mal so lang: $21 \cdot 2 \approx 29, 7$ cm. Halbiert man es, hat das A5-Blatt wieder dieselbe Form.

Terrasse mit Rand

Terrasse: Quadrat mit der Seite $x$ .

Eine quadratische Terrasse mit der Seite $x$ bekommt rundum einen Rand von $1$ m. Die neue Fläche ist $(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4$ .

Medikament

Am Anfang die ganze Menge: $2^{0} = 1$ .

Ein Medikament wird im Körper jede Stunde zur Hälfte abgebaut. Nach $3$ Stunden ist noch $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ der Menge im Blut.

Schritt 4

Musterbeispiele

Zu jeder Karte aus «Verstehen» ein Beispiel. Deck Schritt für Schritt auf und überlege dir jeden Schritt zuerst selbst.

Musterbeispiel

Vereinfache $(x + 5)^{2} - (x - 1)^{2}$ so weit wie möglich und klammere am Schluss aus.

(x + 5)^{2} - (x - 1)^{2}

Zwei Quadrate, dazwischen ein Minus.

Tippe oder wische auf der Grafik für den nächsten Schritt.

1
Erstes Quadrat
Überlege zuerst selbst: Wie würdest du diesen Schritt machen?
2
Zweites Quadrat
…
3
Minus vor der Klammer
…
4
Ausklammern
…

Typische Fehler

✗
$(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ ist falsch: Der Mittelteil $2 ab$ fehlt.
✗
Exponenten bei gleicher Basis addieren, nicht multiplizieren: $x^{3} \cdot x^{4} = x^{7}$ , nicht $x^{12}$ .
✗
Ein negativer Exponent macht die Zahl nicht negativ: $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ , nicht $- 8$ .
✗
$a + b$ ist nicht $a + b$ : $9 + 16 = 5$ .

Prüfungstipp

Ohne Taschenrechner: Schreib jede Wurzel als Potenz mit einem Bruch im Exponenten, dann rechnest du nur noch mit den Potenzgesetzen. Bei Bruchtermen zuerst Zähler und Nenner in Faktoren zerlegen und $D$ notieren.

Schritt 5

Üben

Unendlich viele Aufgaben. Nach drei richtigen in Folge wird es schwerer, bei Fehlern wieder leichter. Hinweise bekommst du schrittweise, nicht sofort die ganze Lösung.

Schritt 6

Prüfungsniveau

Aufgaben mit mehreren Teilaufgaben und Punkten, aufgebaut wie an einer Abschlussprüfung. Du siehst sie mit einem kostenlosen Konto.

Hilfsmittel: Hilfsmittel legt deine Schule fest. Üben: Formelsammlung erlaubt, Taschenrechner nur, wo die Aufgabe es sagt.

2 Aufgaben auf Prüfungsniveau

Terme umformen ohne Taschenrechner
Papierformate A0 bis A4

Mit einem Gratis-Konto siehst du die Aufgaben. Lösungswege gibt es im Abo.

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Schritt 7

Selbstcheck: Wie sicher bist du?

Sei ehrlich zu dir. Nur so zeigen wir dir, was du als Nächstes üben solltest.

Du multiplizierst aus, klammerst aus und nutzt die binomischen Formeln.
Du rechnest mit den Potenzgesetzen, auch mit negativen Exponenten und Brüchen als Exponenten.
Du vereinfachst Wurzeln, machst Nenner rational und gibst bei Bruchtermen den Definitionsbereich an.

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Schritt 8

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